Hybrid Prss

Hybrid Prss（HBprss 1.1）是一种Worm型序数记号。目前Hybrid Prss已经被发现无穷降链。

定义

一个合法的 HBprss 表达式是以 1 开头的有限长正整数序列，即形如

$a_1,a_2,\cdots ,a_n|n,a_1,a_2,\cdots ,a_n\in \mathbb{\mathbb{N}},a_1=1$

的序列。

例如：$1,4,6,4$和$1,1,4,5,1,4$都是合法的 HBprss 表达式，而$1,2,\pi$和$2,2,2$不是。

展开方法

任意 HBprss 序列后加上一个新项 1 表示原序列对应的序数加一。

阶差序列

• 若阶差序列最后一项为 1，原式按照 PrSS 展开。
• 当阶差序列最后一项与其父项差距为1，则原式按照 LPrSS 规则展开。
• 当阶差序列最后一项 b+n 与其父项 b 差距为 n，继续取阶差序列直到阶差序列末项与父项差为 1，然后逐层按照 0-Y 展开。

特殊情况

当表达式形如 $1,n+1$，则展开为 $1,n,n^2,n^3,\cdots$

如果第 $a$ 项和次项差值值为 $n$，且序列第二项为 $m$，那么，下一项的阶差序列的值应该被限制在 $n\cdot m$ 以及之下。

特殊情况举例：

• $1,4=1,3,9,27,81,\cdots$
• $1,3=1,2,4,8,16,\cdots$

HBprss的极限表达式为 $1,\omega$.

分析

• $1,2,3,4,\cdots =1,2,4$
• $1,2,4,2,4={\epsilon }_0\cdot {\epsilon }_0$
• $1,2,4,3={\omega }^{{\omega }^{{\epsilon }_0+1}}$
• $1,2,4,3,5={\omega }^{{\omega }^{{\epsilon }_0\cdot 2}}$
• $1,2,4,4=1,2,4,3,5,4,6,...={\epsilon }_1$
• $1,2,4,5={\epsilon }_{\omega }$
• $1,2,4,6={\epsilon }_{{\epsilon }_0}$
• $1,2,4,6,4,6={\epsilon }_{{\epsilon }_0\cdot 2}$
• $1,2,4,6,5,7={\epsilon }_{{\omega }^{{\epsilon }_0+{\epsilon }_0}}$
• $1,2,4,6,6={\epsilon }_{{\epsilon }_1}$
• $1,2,4,6,7={\epsilon }_{{\epsilon }_{\omega }}$
• $1,2,4,6,8={\epsilon }_{{\epsilon }_{{\epsilon }_0}}$
• $1,2,4,6,8,8={\epsilon }_{{\epsilon }_{{\epsilon }_1}}$
• $1,2,4,7={\zeta }_0$
• $1,2,4,7,5={\epsilon }_{{\zeta }_0+{\zeta }_0}$
• $1,2,4,7,5={\epsilon }_{{\omega }^{{\zeta }_0+1}}$
• $1,2,4,7,5,8={\epsilon }_{{\omega }^{{\zeta }_0\cdot 2}}$
• $1,2,4,7,6={\epsilon }_{{\epsilon }_{{\zeta }_0+1}}$
• $1,2,4,7,6,9={\epsilon }_{{\epsilon }_{{\zeta }_0\cdot 2}}$
• $1,2,4,7,6,9,7={\epsilon }_{{\epsilon }_{{\omega }^{{\zeta }_0+1}}}$
• $1,2,4,7,6,9,8={\epsilon }_{{\epsilon }_{{\epsilon }_{{\zeta }_0+1}}}$
• $1,2,4,7,7={\zeta }_1$
• $1,2,4,7,9={\zeta }_{{\epsilon }_0}$
• $1,2,4,7,10={\zeta }_{{\zeta }_0}$
• $1,2,4,7,10,8={\zeta }_{{\zeta }_0\cdot \omega }$
• $1,2,4,7,10,9={\zeta }_{{\epsilon }_{{\zeta }_0+1}}$
• $1,2,4,7,10,10={\zeta }_{{\zeta }_1}$
• $1,2,4,7,10,11={\zeta }_{{\zeta }_{\omega }}$
• $1,2,4,7,10,13={\zeta }_{{\zeta }_{{\zeta }_0}}$
• $1,2,4,7,11={\eta }_0$
• $1,2,4,8=\mathrm{H}\mathrm{C}\mathrm{O}=\phi (\omega ,0)$
• $1,2,4,8,2,4,8=\psi ({\mathrm{\Omega }}^{\omega }{)}^2$
• $1,2,4,8,3=\psi ({\mathrm{\Omega }}^{\omega }{)}^{\omega }$
• $1,2,4,8,4=\psi ({\mathrm{\Omega }}^{\omega }+1)$
• $1,2,4,8,4,8=\psi ({\mathrm{\Omega }}^{\omega }+\psi ({\mathrm{\Omega }}^{\omega }))$
• $1,2,4,8,5=\psi ({\mathrm{\Omega }}^{\omega }+{\omega }^{\psi ({\mathrm{\Omega }}^{\omega })+1)}$
• $1,2,4,8,5,9=\psi ({\mathrm{\Omega }}^{\omega }+{\omega }^{\psi ({\mathrm{\Omega }}^{\omega })\cdot 2)}$
• $1,2,4,8,6=\psi ({\mathrm{\Omega }}^{\omega }+\psi ({\mathrm{\Omega }}^{\omega }+1))$
• $1,2,4,8,6,10=\psi ({\mathrm{\Omega }}^{\omega }+\psi ({\mathrm{\Omega }}^{\omega }+\psi ({\mathrm{\Omega }}^{\omega })))$
• $1,2,4,8,6,10,8=\psi ({\mathrm{\Omega }}^{\omega }+\psi ({\mathrm{\Omega }}^{\omega }+\psi ({\mathrm{\Omega }}^{\omega }+1)))$
• $1,2,4,8,6,10,8,12=\psi ({\mathrm{\Omega }}^{\omega }+\psi ({\mathrm{\Omega }}^{\omega }+\psi ({\mathrm{\Omega }}^{\omega }+\psi ({\mathrm{\Omega }}^{\omega }))))$
• $1,2,4,8,7=\psi ({\mathrm{\Omega }}^{\omega }+\mathrm{\Omega })$
• $1,2,4,8,7,9=\psi ({\mathrm{\Omega }}^{\omega }+\mathrm{\Omega }\cdot \psi (\mathrm{\Omega }))$
• $1,2,4,8,7,11=\psi ({\mathrm{\Omega }}^{\omega }+\mathrm{\Omega }\cdot \psi ({\mathrm{\Omega }}^{\omega }))$
• $1,2,4,8,7,11,9=\psi ({\mathrm{\Omega }}^{\omega }+\mathrm{\Omega }\cdot \psi ({\mathrm{\Omega }}^{\omega }+1))$
• $1,2,4,8,7,11,9,13=\psi ({\mathrm{\Omega }}^{\omega }+\mathrm{\Omega }\cdot \psi ({\mathrm{\Omega }}^{\omega }+\psi ({\mathrm{\Omega }}^{\omega })))$
• $1,2,4,8,7,11,9,13,11=\psi ({\mathrm{\Omega }}^{\omega }+\mathrm{\Omega }\cdot \psi ({\mathrm{\Omega }}^{\omega }+\psi ({\mathrm{\Omega }}^{\omega }+1)))$
• $1,2,4,8,7,11,10=\psi ({\mathrm{\Omega }}^{\omega }+\mathrm{\Omega }\cdot \psi ({\mathrm{\Omega }}^{\omega }+\mathrm{\Omega }))$
• $1,2,4,8,7,11,10,14=\psi ({\mathrm{\Omega }}^{\omega }+\mathrm{\Omega }\cdot \psi ({\mathrm{\Omega }}^{\omega }+\mathrm{\Omega }\cdot \psi ({\mathrm{\Omega }}^{\omega })))$
• $1,2,4,8,7,11,11=\psi ({\mathrm{\Omega }}^{\omega }+{\mathrm{\Omega }}^2)$
• $1,2,4,8,7,11,11,7,11,11=\psi ({\mathrm{\Omega }}^{\omega }+{\mathrm{\Omega }}^2+\mathrm{\Omega }\cdot \psi ({\mathrm{\Omega }}^{\omega }+{\mathrm{\Omega }}^2))$
• $1,2,4,8,7,11,11,9=\psi ({\mathrm{\Omega }}^{\omega }+{\mathrm{\Omega }}^2+\mathrm{\Omega }\cdot \psi ({\mathrm{\Omega }}^{\omega }+{\mathrm{\Omega }}^2+1))$
• $1,2,4,8,7,11,11,9,13,13=\psi ({\mathrm{\Omega }}^{\omega }+{\mathrm{\Omega }}^2+\mathrm{\Omega }\cdot \psi ({\mathrm{\Omega }}^{\omega }+{\mathrm{\Omega }}^2+\psi ({\mathrm{\Omega }}^{\omega }+{\mathrm{\Omega }}^2)))$
• $1,2,4,8,7,11,11,10,14,14=\psi ({\mathrm{\Omega }}^{\omega }+{\mathrm{\Omega }}^2+\mathrm{\Omega }\cdot \psi ({\mathrm{\Omega }}^{\omega }+{\mathrm{\Omega }}^2+\mathrm{\Omega }\cdot \psi ({\mathrm{\Omega }}^{\omega }+{\mathrm{\Omega }}^2)))$
• $1,2,4,8,7,11,11,11=\psi ({\mathrm{\Omega }}^{\omega }+{\mathrm{\Omega }}^2\cdot 2)$
• $1,2,4,8,7,11,12=\psi ({\mathrm{\Omega }}^{\omega }+{\mathrm{\Omega }}^2\cdot \omega )$
• $1,2,4,8,7,11,13=\psi ({\mathrm{\Omega }}^{\omega }+{\mathrm{\Omega }}^2\cdot \psi (\mathrm{\Omega }))$
• $1,2,4,8,7,11,15,15=\psi ({\mathrm{\Omega }}^{\omega }+{\mathrm{\Omega }}^2\cdot \psi ({\mathrm{\Omega }}^{\omega }+{\mathrm{\Omega }}^2))$
• $1,2,4,8,7,11,15,15,15=\psi ({\mathrm{\Omega }}^{\omega }+{\mathrm{\Omega }}^3)$
• $1,2,4,8,7,11,16=\psi ({\mathrm{\Omega }}^{\omega }\cdot 2)$