Fake Fake Fake Zeta

Fake Fake Fake Z(FFFZ)，是由 yahtzee 于 2022 年提出，后续由国内的大数研究者夏夜星空完善的前沿记号。

定义

注意：FFFZ 的定义尚未完全确定，且有较为频繁的更改(大部分是修改一些小问题,比如简化、修错别字)。这里叙述最新一版(2025.7.26)的定义。

注意：部分概念的定义被修改为了等价版本。这些修改与原始文本之间是逻辑意义上的等价。

主体规则

FFFZ的合法表达式形如${\psi }_Z[\mathrm{\#}](n)$，极限基本列为$\{{\psi }_Z(0),{\psi }_Z({\psi }_Z(0)),{\psi }_Z({\psi }_Z({\psi }_Z(0))),\cdots \}$。

1. ${\psi }_Z(0)[s]=1$
2. ${\psi }_Z[\mathrm{\#}](n+1)[s]={\psi }_Z[\mathrm{\#}](n)\times s$
3. 如果$[\mathrm{\#},m,n]$存在，${\psi }_Z[\mathrm{\#},m](n)[s]=f^s(n)$，其中$f(x)={\psi }_Z[\mathrm{\#},m,n](x)$
4. 如果$[\mathrm{\#},m,n]$不存在，${\psi }_Z[\mathrm{\#},m](n)[s]={\psi }_Z[\mathrm{\#},m](n[t+s])$。其中$t$定义如下：

• 如果$m\ge n$，那么$t=0$。
• 如果$m<n$，那么$t$是满足$n[t]\ge m$的最小非负整数。

化简规则

• ${\psi }_Z[\mathrm{\#},m](n)={\psi }_Z[\mathrm{\#}](n)$，$m>n$
• ${\psi }_Z[](n)={\psi }_Z(n)$

为了判定$[\mathrm{\#}]$的存在性，定义以下概念：

名称解释

对于序列$\mathrm{\#}={\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m$，记它的末项为$Endseq(\mathrm{\#})={\alpha }_m$。

对于序数$\alpha$，写出它的Cantor范式$\sum _{k=1}^n{\omega }^{{\alpha }_k}$。称${\omega }^{{\alpha }_n}$为$\alpha$的末项。

如果$\alpha$等于它的末项，称$\alpha$为简单序数，否则为复合序数。

对于非零简单序数$\alpha$，它形如$\alpha ={\psi }_Z[\mathrm{\#}](n)$：

1. 如果$n$是后继序数，称$\alpha$是$+$型极限，或0级极限，等级为0。
2. 如果$[\mathrm{\#},n]$不存在，称$\alpha$是$\omega$型极限，或1级极限，等级为1。
3. 如果$[\mathrm{\#},n]$存在，称$\alpha$是$\epsilon$型极限，或2级极限，等级为2。

对于两个非零简单序数$\alpha$和$\beta$：

1. 如果$\alpha$的等级大于$\beta$的等级，称$\alpha$比$\beta$高等。
2. 如果$\alpha$的等级等于$\beta$的等级，称$\alpha$和$\beta$同等。
3. 如果$\alpha$的等级小于$\beta$的等级，称$\alpha$比$\beta$低等。

对于非零简单序数$\alpha$，它形如$\alpha ={\psi }_Z[\mathrm{\#},m](n)$：

1. 如果$[\mathrm{\#},m,n]$不存在，则$\alpha$的根为$n$。
2. 如果$[\mathrm{\#},m,n]$存在，则$\alpha$的根为$m$。

对于非零简单序数$\alpha$，它形如$\alpha ={\psi }_Z(n)$，则它的根为$n$。

对于序数$\alpha$：

1. 如果它是复合序数，它形如$\sum _{k=1}^n{\omega }^{{\alpha }_k}$，则每个${\omega }^{{\alpha }_k}$被它直接包含。
2. 如果它是非零简单序数，它形如${\psi }_Z[{\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m](n)$，则每个${\alpha }_k$均被它直接包含，$n$也被它直接包含。
3. 如果它是0，没有任何序数被它直接包含。

$\alpha$直接包含$\beta$，记为$dInc(\beta ,\alpha )$。

接下来是几个较为复杂的定义。

末项，核与层数

对于非零序数$\alpha$和简单序数$s$，$\alpha$关于$s$的末项是以下两个序数$u$中较大者：

• $u$是满足“$u<s$，且存在序数$v$使$v+u=\alpha$”的最大序数。
• $u$是满足“$u$是简单序数且存在序数$w$，使得$\alpha =u\times w$”的最大序数。
• 如果上述两个规则中某条规则没有任何序数$u$能够满足，那么忽视那条规则。

$\alpha$关于$s$的末项记为$End(\alpha ,s)$。特别地，$\alpha$关于$0$的末项与上文定义的末项等价，记为$End(\alpha )$。

对于序数$\alpha$，序数$s$，不小于-1的整数$k$，$\alpha$关于$s$的$k$层核，记为$Ker(\alpha ,s,k)$，定义如下：

• $Ker(\alpha ,s,-1)=\alpha$
• $Ker(0,s,k)=0$

以下假设$\alpha$非零，$k$是非负整数：

• $Ker(\alpha ,s,k)=Ker(End(\alpha ),End(s),k)$

以下假设$\alpha$和$s$都是非零简单序数，$k$是非负整数，$\alpha$形如${\psi }_Z[{\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m](n)$：

• $Ker(\alpha ,s,0)={\psi }_Z[End({\alpha }_1,s),End({\alpha }_2,s),\cdots ,End({\alpha }_m,s)](End(n,s))$
• $Ker(\alpha ,s,k+1)=Ker({\psi }_Z[Ker({\alpha }_1,s,k),Ker({\alpha }_2,s,k),\cdots ,Ker({\alpha }_m,s,k)](Ker(n,s,k)),s,0)$

对于序数$\alpha$，其层数是一个非负整数，记为$Lev(\alpha )$，定义如下：

• $Lev(0)=0$
• $Lev(\alpha )=max\{Lev(\beta )\mid dInc(\beta ,\alpha )\}+1$

层数可以简单的理解为“ψZ嵌套的次数”

对于非零序数$\alpha$，序数$s$，$\alpha$关于$s$的核记为$Ker(\alpha ,s)$，它定义为$Ker(\alpha ,s)=Ker(\alpha ,s,Lev(\alpha ))$。

特别地，$\alpha$的核记为$Ker(\alpha )$，它定义为$Ker(\alpha )=Ker(\alpha ,0,Lev(\alpha ))$。

双元兼容

对于序数$\alpha ={\psi }_Z[\mathrm{\#}](n)$和$\beta ={\psi }_Z[\mathrm{\&}](m)$，依次进行以下判定：

1. 如果$\alpha >\beta$，则$[\alpha ,\beta ]$存在。
2. 如果$\alpha$和$\beta$中至少有一个复合序数，则$[\alpha ,\beta ]$存在当且仅当$[End(\alpha ),End(\beta )]$存在。
3. 如果$\alpha =0$，则$[\alpha ,\beta ]$不存在。
4. 当$\mathrm{\#}=\mathrm{\&}$时，$[\alpha ,\beta ]$存在当且仅当$[n,m]$存在；否则，如果存在序列$\mathrm{\%}$使得$End(Endseq(\mathrm{\%}))$与$End(Endseq(\mathrm{\#}))$，$End(Endseq(\mathrm{\&}))$之一相等，且存在序数$x$和序数$y$使得$\alpha ={\psi }_Z[\mathrm{\%}](x)$且$\beta ={\psi }_Z[\mathrm{\%}](y)$，则若$[x,y]$存在那么$[\alpha ,\beta ]$存在
5. 如果$\beta \ge {\psi }_Z[\alpha ](\alpha )$，则$[\alpha ,\beta ]$存在当且仅当$[\alpha ,\beta$的根$]$存在；否则，如果存在简单序数$s$和不小于-1的整数$k$，使得$Ker(\beta ,s,k)\ge {\psi }_Z[Ker(\alpha ,s,k)](Ker(\alpha ,s,k))$且不存在非零序数$x$和序列$\mathrm{\%}$使得$Ker(\beta ,s,k)={\psi }_Z[Ker(\alpha ,s,k)\times \omega ,\mathrm{\%}](Ker(\alpha ,s,k)\times x)$，则当$[\alpha ,\beta$的根$]$存在时$[\alpha ,\beta ]$存在
6. 如果存在两个序数$A$，$B$，$Ker(A)=Ker(\alpha )$，$Ker(B)=Ker(\beta )$，$A$属于$B$基本列，且$\alpha$比$\beta$高等，则$[\alpha ,\beta ]$存在
7. 如果通过上述规则均无法说明$[\alpha ,\beta ]$存在，则$[\alpha ,\beta ]$不存在

多元兼容

对于序列$\mathrm{\#}={\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m$，如果任取满足$k>j$的$\alpha ={\alpha }_j$，$\beta ={\alpha }_k$都有以下两个条件至少成立一个，则$[\mathrm{\#}]$存在。

条件I：以下两个条件至少成立一个：

1. $[\alpha ,\beta ]$存在
2. $k<m$且存在满足$k>l$的$\gamma ={\alpha }_l$，使得$[\gamma ,\beta ]$不存在

条件II：对于任何满足$k<l$的$\gamma ={\alpha }_l$，存在简单序数$s$，不小于-1的整数$n$，使得以下两个条件同时成立：

1. $[\beta ,\gamma ]$存在，且$Ker(\alpha ,s,n)>Ker(\beta ,s,n)$

(好吧还没写完(因为看不懂)。除了这条规则(平移转移)，特殊规则以及各种优先级，还要补不少定义域限制，比如“m为序数或空”之类)

直观解释

FFFZ的前几条规则是

1. ${\psi }_Z(0)[s]=1$
2. ${\psi }_Z[\mathrm{\#}](n+1)[s]={\psi }_Z[\mathrm{\#}](n)\times s$

类似于BOCF的规则。为了提升强度，我们需要引入“兼容”的概念。

“兼容”就是中括号里的东西(有时也叫“伪链”，伪即Fake)，通过类似于“挡刀”的方式提升强度。举个例子：对${\psi }_Z(n)$取极限，得到的并不是${\psi }_Z(\omega )$，而是${\psi }_Z[\omega ](\omega )$，中括号内出现了挡刀的$\omega$。只有达到$\alpha \to {\psi }_Z[\omega ](\alpha )$的第一个不动点时，才能得到${\psi }_Z(\omega )$。

当然，我们并不局限于只把一个序数放进兼容里。兼容里可以有多个序数，举个例子：对${\psi }_Z[{\omega }^2]({\omega }^2+n)$取极限，得到的并不是${\psi }_Z[{\omega }^2]({\omega }^2+\omega )$，而是${\psi }_Z[{\omega }^2,{\omega }^2+\omega ]({\omega }^2+\omega )$。

从提升强度的角度考虑，我们当然希望设计一套规则，允许更多的兼容，从而最大限度地提升强度。但是，这样的规则并不是总是可行——考虑这样的规则：“任意一系列极限序数可以兼容”，那么我们有

${\psi }_Z(\omega )\to {\psi }_Z[\omega ]({\psi }_Z[\omega ](\omega ))\to {\psi }_Z[\omega ]({\psi }_Z[\omega ](2))\to {\psi }_Z[\omega ](\omega \times 2)\to {\psi }_Z[\omega ,\omega \times 2]({\psi }_Z[\omega ,\omega \times 2](\omega \times 2))\to {\psi }_Z[\omega ,\omega \times 2](\omega \times 3)\to \cdots$

无穷降链。

造成这种结果的原因在于，$[\omega ,\omega \times 2,\omega \times 3,\cdots ]$这些序数可以无限地兼容下去，形成无限兼容链。所以，我们希望的规则应该满足以下两个条件：

1. 允许兼容存在，以提升强度。

2. 不允许某些兼容存在，以避免无限兼容链。

由于实际分析和构造的需要，我们还有第三个条件：

3. 允许某些关键节点的特殊兼容存在。

基于上述的理念，作者给出了上文提到的那一系列规则。

(未完待续。主要是补充一些概念的直观理解，比如“末项”之类的)

一些展开

(1)${\psi }_Z(\omega )[2]$

注意到$[,\omega ]$等价于$[\omega ]$,存在,故原式=${\psi }_Z[\omega ]({\psi }_Z[\omega ](\omega ))$. 这印证了前文里伪链存在的必要.

(2)${\psi }_Z[\omega ](\omega \times 2)$[2]

让我们检验一下$[\omega ,\omega \times 2]$是否存在.

$\omega$的末项为$\omega$,$\omega \times 2$的末项为$\omega$. 化简完后为$[\omega ,\omega ]$.

第一条:$\omega \le \omega$，不行

第二条:$\omega$为简单序数，不行

第三条:$\omega \ne 0$，不行

第四条:[n,m]=[1,1]，这是什么？

第五条:$\omega <{\psi }_Z[\omega ](\omega )$,后面的第一个条件不成立,还不行

第六条:$\omega \omega$同等,仍然不行

故$[\omega ,\omega \times 2]$不存在,${\psi }_Z[\omega ](\omega \times 2)[2]={\psi }_Z[\omega ](\omega [2])={\psi }_Z[\omega ](\omega +2).$这样避免了上文的无穷降链.

本质上讲,展开一个fffz重点在于判断伪链. 故(3)以后均是这类例子.

(3)$[{\omega }^2,{\omega }^2+\omega ]$是否存在?

${\omega }^2+\omega$的末项为$\omega$,又${\omega }^2>\omega$，存在.

衍生版本

上文介绍的版本称为$\mathrm{S}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{g}$版本。除此之外，还有$\mathrm{A}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{u}\mathrm{a}\mathrm{l}$版本和$\mathrm{W}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{k}$版本，各版本区别如下：

$\mathrm{A}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{u}\mathrm{a}\mathrm{l}$版本

  1.除双元兼容第6条外，所有核都必须是关于$\omega$的
  2.对于能合法而不必标准的写成“${\psi }_Z$[#](X+n)，其中X的末项等于$\omega$，n是正整数，#是任意序列(可以为空)”的形式的序数A，需遵守下列要求：(k可取全体小于$\omega$的序数)
    (1).当A处在[]中时，强制固定A关于$\omega$的k层核为A关于$\omega$的核(该核无视其它要求另算)
    (2).除(1)之外，强制固定A关于$\omega$的k层核为A本身

$\mathrm{W}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{k}$版本

  1.双元兼容第5条失效
  2.所有核都必须是-1层的

分析

主词条：fffz分析

fffz vs BOCF vs BMS

Fake Fake Fake Zeta	MOCF	BMS
${\psi }_Z(0)$	1	$(0)$
${\psi }_Z(1)$	$\omega$	$(0)(1)$
${\psi }_Z(2)$	${\omega }^2$	$(0)(1)(1)$
${\psi }_Z[\omega ](\omega )$	${\omega }^{\omega }$	$(0)(1)(2)$
${\psi }_Z[\omega ](\omega +1)$	${\omega }^{\omega +1}$	$(0)(1)(2)(1)$
${\psi }_Z[\omega ]({\omega }^2)$	${\omega }^{{\omega }^2}$	$(0)(1)(2)(2)$
${\psi }_Z[\omega ]({\psi }_Z[\omega ](\omega ))$	${\omega }^{{\omega }^{\omega }}$	$(0)(1)(2)(3)$
${\psi }_Z[\omega ]({\psi }_Z[\omega ]({\psi }_Z[\omega ](\omega )))$	${\omega }^{{\omega }^{{\omega }^{\omega }}}$	$(0)(1)(2)(3)(4)$
${\psi }_Z(\omega )$	$\psi (0)$	$(0,0)(1,1)$