增长率：修订间差异

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2025年8月20日 (三) 16:36的最新版本

增长率是描述函数增长速度的工具。它的定义依赖于序数和增长层级。

对于同一个给定函数，不同的增长层级会给出不同的增长率。FGH 是最常用的增长层级。因此，一般提及增长率默认指 FGH 增长率。

FGH 增长率

定义

如果 $f (x)$ 增长速度慢于 $f_{α} (x)$ 的有限次复合，且任取 $β < α$ 都有 $f (x)$ 快于 $f_{β} (x)$ 的任意多次复合，则 $f (x)$ 的 FGH 增长率是 $α$ 。

举例

对于函数 $f (x) = x \times 7$ ，它慢于 $f_{1} (x)$ 的三次复合（即 $f_{1} (f_{1} (f_{1} (x))) = 8 x$ ），但快于 $f_{0} (x)$ 的任意多次复合，因此它的 FGH 增长率是 1。

对于函数 $f (x) = x^{2}$ ，它慢于 $f_{2} (x)$ 的一次复合（即 $f_{2} (x) = x \times 2^{x}$ ），但快于 $f_{1} (x)$ 的任意多次复合，因此它的 FGH 增长率是 2。

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-增长率是描述函数增长速度的工具。它的定义依赖于[[序数]]和[[增长层级]]。对于同一个给定函数，不同的增长层级会给出不同的增长率。[[快速增长层级|FGH]]是最常用的增长层级。因此，一般提及增长率默认指FGH增长率
+增长率是描述函数增长速度的工具。它的定义依赖于[[序数]]和[[增长层级]]。
-== FGH增长率 ==
+对于同一个给定函数，不同的增长层级会给出不同的增长率。[[增长层级#快速增长层级|FGH]] 是最常用的增长层级。因此，一般提及增长率默认指 FGH 增长率。
-定义：
-如果<math>f(x)</math>增长速度慢于<math>f_{\alpha}(x)</math>的有限次复合，且任取<math>\beta < \alpha </math>,都有<math>f(x)</math>快于<math>f_{\beta}(x)</math>的任意多次复合，则<math>f(x)</math>的FGH增长率是α。
+== FGH 增长率 ==
-举例：
+=== 定义 ===
+如果 <math>f(x)</math> 增长速度慢于 <math>f_{\alpha}(x)</math> 的有限次复合，且任取 <math>\beta < \alpha </math> 都有 <math>f(x)</math> 快于 <math>f_{\beta}(x)</math> 的任意多次复合，则 <math>f(x)</math> 的 FGH 增长率是 <math>\alpha</math>。
-<math>f(x)=x\times7</math>,它慢于<math>f_1(x)</math>的三次复合（即<math>f_1(f_1(f_1(x)))=8x</math>），但快于<math>f_0(x)</math>的任意多次复合，因此它的FGH增长率是1.
+=== 举例 ===
+对于函数 <math>f(x)=x\times7</math>，它慢于 <math>f_1(x)</math> 的三次复合（即 <math>f_1(f_1(f_1(x)))=8x</math>），但快于 <math>f_0(x)</math> 的任意多次复合，因此它的 FGH 增长率是 1。
+对于函数 <math>f(x)=x^{2}</math>，它慢于 <math>f_2(x)</math> 的一次复合（即 <math>f_2(x)=x\times2^x</math>），但快于 <math>f_1(x)</math> 的任意多次复合，因此它的 FGH 增长率是 2。
-<math>f(x)=x^2</math>,它慢于<math>f_2(x)</math>的一次复合（即<math>f_2(x)=x\times2^x</math>），但快于<math>f_1(x)</math>的任意多次复合，因此它的FGH增长率是2.
+[[分类:入门]]
+[[分类:重要概念]]