递归 Mahlo 序数

递归 Mahlo 序数 $M$ 是一个大反射序数，定义为 $2-2$。

Mahlo OCF

Mahlo OCF 是一种使用递归 Mahlo 序数进行折叠的 OCF。目前没有通用的 Mahlo OCF 的定义，以下给出几种被使用的定义。

Suzuka Cat 版：

1. ${\psi }_M(0)=\mathrm{\Omega }$
2. 当 ${\psi }_M(\alpha +1)>{\psi }_M(\alpha )$ 时，有 ${\psi }_M(\alpha +1)=2\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{t}{\psi }_M(\alpha )$
3. 在 ${\psi }_M$ 内部以 M 收尾时，${\psi }_M(\mathrm{\#}\sim M)$ 是函数 $f(\alpha )={\psi }_M(\mathrm{\#}\sim \alpha )$ 的最小的容许点，其中 $\mathrm{\#}$ 是任意合法字符，$\sim$ 是加、乘、幂三种运算之一
4. 在 ${\psi }_M$ 内部不符合规则 (2) 和 (3) 的情况时，有 ${\psi }_M(\alpha )[n]={\psi }_M(\alpha [n])$

这里的规则 (2) 有一个限制条件，是为了防止类似 $\psi ({\zeta }_0+1)$ 之类“卡住”的情况。规则 (3) 的“以 M 收尾”的概念与这篇文章里的“以 ω 收尾”的概念类似；这里的规则 (4) 则相当于一条“兜底条款”，也适用于 ${\psi }_M(\mathrm{\Omega }),{\psi }_M(M\times I)$ 等显式基本列的长度大于 ω 的情形。

帕秋莉版：

1. ${\psi }_M(0)={\mathrm{\Pi }}_2$
2. ${\psi }_M(\alpha +1)=21-{\psi }_M(\alpha )$
3. ${\psi }_M(\mathrm{\#}\sim M)=(21-{)}^{\min 21-\{{\psi }_M(\mathrm{\#}\sim x)|x<M\}}$

这个第三条规则看上去有些奇怪，我们看看如果把它改成之前那样的不动点定义有什么后果：

3'. ${\psi }_M(\mathrm{\#}\sim M)={\psi }_M(\mathrm{\#}\sim (1,0))$

• ${\psi }_M(0)={\mathrm{\Pi }}_2=\mathrm{\Omega }$
• ${\psi }_M(1)=21-2=I$
• ${\psi }_M(2)=(21-{)}^{2}2=I(1,0)$
• ${\psi }_M(\omega )=(21-{)}^{\omega }2=I(\omega ,0)$
• ${\psi }_M(\mathrm{\Omega })=(21-{)}^{\mathrm{\Omega }}2=I(\mathrm{\Omega },0)$
• ${\psi }_M(I)=(21-{)}^{I}2=I(I,0)$
• ${\psi }_M({\psi }_M(\omega ))=(21-{)}^{I(\omega ,0)}2=I(I(\omega ,0),0)$
• ${\psi }_M(M)={\psi }_M({\psi }_M(\cdots ))=(21-{)}^{(1,0)}2=(x\mapsto I(x,0))(1,0)$

再之后依然是和之前一样的，去折叠 $(21-{)}^{x}2$ 的递归运算。也就是说，我们卡在了 $I(1,0,0)$ 之下。