超E记号：修订间差异

2025年8月20日 (三) 16:25的最新版本

超 E 记号（Hyper-E Notation，简称 E# 表示法）是 Sbiis Saibian 发明的大数记号。^[1]

定义

原始的超 E 记号由一个或多个正整数参数的序列 $a_{n}$ 组成，这些参数由 # 分隔。我们将其标记为 $E [b] a_{1} # a_{2} # a_{3} # \dots # a_{n}$ 。b 称为底数。如果省略它，则默认为 10。E# 的具体操作规则如下：

$E [b] x = b^{x}$
$E [b] a_{1} # a_{2} # a_{3} # \dots # a_{n} # 1 = E [b] a_{1} # a_{2} # a_{3} # \dots # a_{n}$
$E [b] a_{1} # a_{2} # a_{3} # \dots # a_{n - 2} # a_{n - 1} # a_{n} = E [b] a_{1} # a_{2} # a_{3} # \dots # a_{n - 2} # (E [b] a_{1} # a_{2} # a_{3} # \dots # a_{n - 2} # a_{n - 1} # (a_{n} - 1))$

通俗的说:

如果序列只有一个参数 x，则返回 $b^{x}$
否则，如果序列末项为 1，可以直接去掉，不影响结果
否则，删除原表达式的最后两个条目，随后在后面加入一个新条目 x，其中 x 是原表达式中把末项减一得到的新表达式的值

举例：

$E 306 # 6 = E E 306 # 5 = E E E 306 # 4 = \dots = E E E E E E 306 = E E E E E 1 0^{306} = \dots = 1 0^{1 0^{1 0^{1 0^{1 0^{1 0^{306}}}}}}$

$E 3 # 1 # 8 # 4$

$= E 3 # 1 # (E 3 # 1 # 8 # 3)$

$= E 3 # 1 # (E 3 # 1 # (E 3 # 1 # 8 # 2))$

$= E 3 # 1 # (E 3 # 1 # (E 3 # 1 # (E 3 # 1 # 8 # 1)))$

$= E 3 # 1 # (E 3 # 1 # (E 3 # 1 # (E 3 # 1 # 8)))$

$= E 3 # 1 # (E 3 # 1 # (E 3 # 1 # (E 3 # (E 3 # 1 # 7))))$

$= \dots$

关于它的强度，我们有如下结论：

$a ↑^{c} b = E [a] \underset{c - 1 个 1}{\underset{⏟}{1 # 1 # \dots 1 #}} b$ ^[2]

Nathan Ho 和 Wojowu 证明了超 E 记号规则的停机性。^[3]

扩展定义

扩展的超 E 记号

扩展的超 E 记号允许在每个条目之间显示多个 #。为了这个定义， $#^{n}$ 是 n 个连续的 # 的简写。例如，完整表达式将写成 $E [b] a_{1} #^{n_{1}} a_{2} #^{n_{2}} \dots #^{n_{i - 1}} a_{i}$ ，其中 $a_{i}, n_{i}$ 都是自然数。

以下为操作规则，其中&指序列的其余部分。

$E [b] x = b^{x}$
末项是 1 的情况下， $E [b] & #^{n_{i - 1}} a_{i} #^{n_{i}} 1 = E [b] & #^{n_{i - 1}} a_{i}$
如果 $n_{i - 1} > 1$ ， $E [b] & #^{n_{i - 2}} a_{i - 1} #^{n_{i - 1}} a_{i} = E [b] & #^{n_{i - 2}} a_{i - 1} #^{n_{i - 1} - 1} a_{i - 1} #^{n_{i - 1}} a_{i} - 1$
否则， $E [b] & #^{n_{i - 2}} a_{i - 1} # a_{i} = E [b] & #^{n_{i - 2}} (E [b] & #^{n_{i - 2}} a_{i - 1} # (a_{i} - 1))$

通俗的说，序列只有一个参数、末项是 1、末项之前是单独的 # 的情况，和原超 E 记号是相同的。只有末项之前是多于 1 个 # 的情况下， $a_{i - 1} #^{n_{i - 1}} a_{i} = \underset{n 个 a_{i - 1}}{\underset{⏟}{a_{i - 1} #^{n_{i - 1} - 1} a_{i - 1} #^{n_{i - 1} - 1} a_{i - 1} #^{n_{i - 1 - 1}} \dots a_{i - 1}}}$ .

举例：

$E 5 #^{2} 2 #^{3} 3$

$= E 5 #^{2} 2 #^{2} 2 #^{2} 2$

$= E 5 #^{2} 2 #^{2} 2 # 2$

$= E 5 #^{2} 2 #^{2} (E 5 #^{2} 2 #^{2} 2 # 1)$

$= E 5 #^{2} 2 #^{2} (E 5 #^{2} 2 #^{2} 2)$

=……

它的极限 FGH 增长率是 $ω^{ω}$ 。

级联 E 记号

以上讨论暗示着我们可以引入一个超越一切 $E n #^{m} n$ 的记号。实际我们选取的是如下记号： $E a #^{#} n = E a #^{n} n$ 。这一做法实际上是收到了 FGH 中 ω 的启发。

一般的，我们允许级联 E 记号中出现形如 $#^{X_{1}} \times #^{X_{2}} \times \dots #^{X_{n - 1}} \times #^{X_{n}}$ 的超分隔符，其中的 $X_{n}$ 为正整数，或者为一个合法的超分隔符，可以类比康托范式。级联 E 记号的合法表达式为 $E [a] a_{1} &_{1} a_{2} &_{2} \dots a_{n} &_{n}$ ，其中 $a_{i}$ 是正整数， $&_{i}$ 是合法的超分隔符。下面我们给出级联 E 记号的递归定义：

令 $&_{k}$ 为第 k 个超分隔符，以及 $L (&_{k})$ 为第 k 个超分隔符最右端的 $#^{n}$ ，% 为合法表达式。

$E [a] b = a^{b}$
如果 $L (&_{n - 1}) \neq #^{n}$ ，则 $E [a] b % X #^{X #^{n}} % c = E [a] b % X #^{(X #^{n - 1})^{b}} % b$
$E % a #^{n} 1 = E % a$
如果 $L (&_{n - 1}) = #^{n}$ 且 $&_{k} \neq #$ ，则 $E % a X #^{n} b = E % a X #^{n - 1} a X #^{n} (b - 1)$
$E % a # b = E % (E % a # (b - 1))$

我们有如下的展开示例：

$E 10 #^{#} 3 = E # # # 3$

$E 10 #^{#} 10 #^{#} 3 = E 10 #^{#} 10 # # # 10$

$E 10 #^{#^{#}} 16 = E 10 #^{#^{16}} 10$

等等。级联 E 记号的极限 $E a \underset{n 个 #}{\underset{⏟}{#^{#^{#^{\dots}}}}} n$ 的 FGH 增长率是 $ε_{0}$ 。

参考资料

↑ Large Numbers. 4.3.1 - A 2nd Grader's Close Encounter with the Infinite. (EB/OL), Large Numbers. https://sites.google.com/site/largenumbers/home/4-3/4-3-1-foray
↑ Kyodaisuu (2021). Comparison of up-arrow notation with hyper-E notation. (EB/OL), Googology Wiki. https://googology.fandom.com/wiki/User_blog:Kyodaisuu/Comparison_of_up-arrow_notation_with_hyper-E_notation
↑ Snappizz. Termination. (EB/OL), Snappizz. https://web.archive.org/web/20160513034718/http://snappizz.com/termination

[1] Large Numbers. 4.3.1 - A 2nd Grader's Close Encounter with the Infinite. (EB/OL), Large Numbers. https://sites.google.com/site/largenumbers/home/4-3/4-3-1-foray

[2] Kyodaisuu (2021). Comparison of up-arrow notation with hyper-E notation. (EB/OL), Googology Wiki. https://googology.fandom.com/wiki/User_blog:Kyodaisuu/Comparison_of_up-arrow_notation_with_hyper-E_notation

[3] Snappizz. Termination. (EB/OL), Snappizz. https://web.archive.org/web/20160513034718/http://snappizz.com/termination

[1]

[2]

[3]

@@ 第1行： / 第1行： @@
-超E记号（Hyper-E Notation，简称E#表示法）是Sbiis Saibian发明的大数记号。<ref>[https://sites.google.com/site/largenumbers/home/4-3/4-3-1-foray 4.3.1 - A 2nd Grader's Close Encounter with the Infinite - Large Numbers]</ref>
+超 E 记号（Hyper-E Notation，简称 E# 表示法）是 Sbiis Saibian 发明的大数记号。<ref>Large Numbers. 4.3.1 - A 2nd Grader's Close Encounter with the Infinite. ''(EB/OL), Large Numbers''. https://sites.google.com/site/largenumbers/home/4-3/4-3-1-foray</ref>
 == 定义 ==
-原始的超E记号由一个或多个正整数参数的序列<math>a_n</math>组成，这些参数由#分隔。我们将其标记为 <math>E[b]a_1\#a_2\#a_3\#\cdots\#a_n</math>.b称为底数。如果省略它，则默认为 10。E#的具体操作规则如下：
+原始的超 E 记号由一个或多个正整数参数的序列 <math>a_n</math> 组成，这些参数由 # 分隔。我们将其标记为 <math>E[b]a_1\#a_2\#a_3\#\cdots\#a_n</math>。b 称为底数。如果省略它，则默认为 10。E# 的具体操作规则如下：
 # <math>E[b]x=b^x</math>
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 通俗的说:
-# 如果序列只有一个参数x，则返回<math>b^x</math>.
+# 如果序列只有一个参数 x，则返回<math>b^x</math>
-# 否则，如果序列末项为1，可以直接去掉，不影响结果。
+# 否则，如果序列末项为 1，可以直接去掉，不影响结果
-#否则，删除原表达式的最后两个条目，随后在后面加入一个新条目x，其中x是原表达式中把末项减一得到的新表达式的值。
+#否则，删除原表达式的最后两个条目，随后在后面加入一个新条目 x，其中 x 是原表达式中把末项减一得到的新表达式的值
 举例：
@@ 第34行： / 第34行： @@
 关于它的强度，我们有如下结论：
-<math>a\uparrow^cb=E[a]\underbrace{1\#1\#\cdots1\#}_{c-1\text{个}1}b</math><ref>Fish, [https://googology.fandom.com/wiki/User_blog:Kyodaisuu/Comparison_of_up-arrow_notation_with_hyper-E_notation Comparison of up-arrow notation with hyper-E notation] 1 July 2021</ref>
+<math>a\uparrow^cb=E[a]\underbrace{1\#1\#\cdots1\#}_{c-1\text{个}1}b</math><ref>Kyodaisuu (2021). Comparison of up-arrow notation with hyper-E notation. ''(EB/OL), Googology Wiki''. https://googology.fandom.com/wiki/User_blog:Kyodaisuu/Comparison_of_up-arrow_notation_with_hyper-E_notation</ref>
-Nathan Ho和Wojowu证明了超E记号规则的停机性。<ref>https://web.archive.org/web/20160513034718/http://snappizz.com/termination</ref>
+Nathan Ho 和 Wojowu 证明了超 E 记号规则的停机性。<ref>Snappizz. Termination. ''(EB/OL), Snappizz''. https://web.archive.org/web/20160513034718/http://snappizz.com/termination</ref>
 == 扩展定义 ==
-=== 扩展的超E记号 ===
+=== 扩展的超 E 记号 ===
-'''扩展的超E记号'''允许在每个条目之间显示多个#。为了这个定义，<math>\#^n</math>是 ''n'' 个连续的#的简写。例如，完整表达式将写成<math>E[b]a_1\#^{n_1}a_2\#^{n_2}\cdots\#^{n_{i-1}}a_i</math>,其中<math>a_i,n_i</math>都是自然数。
+'''扩展的超 E 记号'''允许在每个条目之间显示多个 #。为了这个定义，<math>\#^n</math> 是 ''n'' 个连续的 # 的简写。例如，完整表达式将写成<math>E[b]a_1\#^{n_1}a_2\#^{n_2}\cdots\#^{n_{i-1}}a_i</math>，其中 <math>a_i,n_i</math> 都是自然数。
 以下为操作规则，其中&指序列的其余部分。
 # <math>E[b]x=b^x</math>
-# 末项是1的情况下，<math>E[b]\&\#^{n_{i-1}}a_i\#^{n_i}1=E[b]\&\#^{n_{i-1}}a_i</math>
+# 末项是 1 的情况下，<math>E[b]\&\#^{n_{i-1}}a_i\#^{n_i}1=E[b]\&\#^{n_{i-1}}a_i</math>
-# 如果<math>n_{i-1}>1</math>,<math>E[b]\&\#^{n_{i-2}}a_{i-1}\#^{n_{i-1}}a_i=E[b]\&\#^{n_{i-2}}a_{i-1}\#^{n_{i-1}-1}a_{i-1}\#^{n_{i-1}}a_i-1</math>
+# 如果 <math>n_{i-1}>1</math>，<math>E[b]\&\#^{n_{i-2}}a_{i-1}\#^{n_{i-1}}a_i=E[b]\&\#^{n_{i-2}}a_{i-1}\#^{n_{i-1}-1}a_{i-1}\#^{n_{i-1}}a_i-1</math>
 # 否则，<math>E[b]\&\#^{n_{i-2}}a_{i-1}\#a_i=E[b]\&\#^{n_{i-2}}(E[b]\&\#^{n_{i-2}}a_{i-1}\#(a_i-1))</math>
-通俗的说，序列只有一个参数、末项是1、末项之前是单独的#的情况，和原超E记号是相同的。只有末项之前是多于1个#的情况下，<math>a_{i-1}\#^{n_{i-1}}a_i=\underbrace{a_{i-1}\#^{n_{i-1}-1}a_{i-1}\#^{n_{i-1}-1}a_{i-1}\#^{n_{i-1-1}}\cdots a_{i-1}}_{n\text{个}a_{i-1}}</math>.
+通俗的说，序列只有一个参数、末项是 1、末项之前是单独的 # 的情况，和原超 E 记号是相同的。只有末项之前是多于 1 个 # 的情况下，<math>a_{i-1}\#^{n_{i-1}}a_i=\underbrace{a_{i-1}\#^{n_{i-1}-1}a_{i-1}\#^{n_{i-1}-1}a_{i-1}\#^{n_{i-1-1}}\cdots a_{i-1}}_{n\text{个}a_{i-1}}</math>.
 举例：
@@ 第66行： / 第66行： @@
 =……
-它的极限[[FGH]][[增长率]]是<math>\omega^\omega</math>.
+它的极限 [[FGH]] [[增长率]]是 <math>\omega^\omega</math>。
-=== 级联E记号 ===
+=== 级联 E 记号 ===
-以上讨论暗示着我们可以引入一个超越一切<math>En\#^mn</math>的记号。实际我们选取的是如下记号：<math>Ea\#^\#n=Ea\#^nn</math>.这一做法实际上是收到了FGH中ω的启发。
+以上讨论暗示着我们可以引入一个超越一切 <math>En\#^mn</math> 的记号。实际我们选取的是如下记号：<math>Ea\#^\#n=Ea\#^nn</math>。这一做法实际上是收到了 FGH 中 ω 的启发。
-一般的，我们允许级联E记号中出现形如<math>\#^{X_1}\times\#^{X_2}\times\cdots\#^{X_{n-1}}\times\#^{X_n}</math>的超分隔符，其中的<math>X_n</math>为正整数，或者为一个合法的超分隔符。可以类比[[康托范式]]。级联E记号的合法表达式为<math>E[a]a_1\&_1a_2\&_2\cdots a_n\&_n</math>,其中<math>a_i</math>是正整数，<math>\&_i</math>是合法的超分隔符。下面我们给出级联E记号的递归定义：
+一般的，我们允许级联 E 记号中出现形如 <math>\#^{X_1}\times\#^{X_2}\times\cdots\#^{X_{n-1}}\times\#^{X_n}</math> 的超分隔符，其中的 <math>X_n</math> 为正整数，或者为一个合法的超分隔符，可以类比[[康托范式]]。级联 E 记号的合法表达式为 <math>E[a]a_1\&_1a_2\&_2\cdots a_n\&_n</math>，其中 <math>a_i</math> 是正整数，<math>\&_i</math> 是合法的超分隔符。下面我们给出级联 E 记号的递归定义：
-令<math>\&_k</math>为第k个超分隔符，以及<math>L(\&_k)</math>为第k个超分隔符最右端的<math>\#^n</math>,%为合法表达式。
+令 <math>\&_k</math> 为第 k 个超分隔符，以及 <math>L(\&_k)</math> 为第 k 个超分隔符最右端的 <math>\#^n</math>，% 为合法表达式。
 # <math>E[a]b=a^b</math>
-# 如果<math>L(\&_{n-1})\neq \#^n</math>,则<math>E[a]b\%X\#^{X\#^n}\%c=E[a]b\%X\#^{(X\#^{n-1})^b}\%b</math>
+# 如果 <math>L(\&_{n-1})\neq \#^n</math>，则 <math>E[a]b\%X\#^{X\#^n}\%c=E[a]b\%X\#^{(X\#^{n-1})^b}\%b</math>
 # <math>E\%a\#^n1=E\%a</math>
-# 如果<math>L(\&_{n-1})= \#^n</math>且<math>\&_k \neq \#</math>,则<math>E\%aX\#^nb=E\%aX\#^{n-1}aX\#^n(b-1)</math>
+# 如果 <math>L(\&_{n-1})= \#^n</math> 且 <math>\&_k \neq \#</math>，则 <math>E\%aX\#^nb=E\%aX\#^{n-1}aX\#^n(b-1)</math>
 # <math>E\%a\#b=E\%(E\%a\#(b-1))</math>
@@ 第89行： / 第89行： @@
 <math>E10\#^{\#^\#}16=E10\#^{\#^{16}}10</math>
-等等。级联E记号的极限<math>Ea\underbrace{\#^{\#^{\#^{\cdots}}}}_{n\text{个}\#}n</math>的FGH增长率是<math>\varepsilon_0</math>.
+等等。级联 E 记号的极限 <math>Ea\underbrace{\#^{\#^{\#^{\cdots}}}}_{n\text{个}\#}n</math> 的 FGH 增长率是<math>\varepsilon_0</math>。
 == 参考资料 ==
-<references />
+<references />{{默认排序:大数记号}}
 [[分类:记号]]