康托范式

康托范式 (Cantor Normal Form,CNF) 提供了一种标准化的序数表示方式。它的定义依赖于序数运算中的加法和乘方。

形式

康托范式是形如：

${\omega }^{{\alpha }_1}+{\omega }^{{\alpha }_2}+{\omega }^{{\alpha }_3}+\cdots +{\omega }^{{\alpha }_n}$

的表达式。其中${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,\cdots ,{\alpha }_n$是不严格递减的序数，且也是康托范式形式的。n是自然数。

比方说，${\omega }^0+{\omega }^0$是一个康托范式，${\omega }^{{\omega }^0+{\omega }^0+{\omega }^0}+{\omega }^{{\omega }^0+{\omega }^0+{\omega }^0}+{\omega }^{{\omega }^0}+{\omega }^0+{\omega }^0+{\omega }^0$也是一个康托范式。

但是这样写有些过于繁琐了。因此为了简便书写，我们保留自然数，并且引入乘法。即上面那个可以写为${\omega }^3\times 2+\omega +3$.

直观理解

为了直观理解，我们把${\omega }^{\alpha }$想象成“砖头”，α的大小决定了砖头的大小。康托范式就是由有限个砖头按从大到小的顺序从左到右排列。

一开始你手里只有一个0.

你有两个能力：

1. 你可以把任意一个先前得到的序数α升级为${\omega }^{\alpha }$这个新砖头
2. 你可以把有限个你手里的砖头按从大到小的顺序从左到右排列，得到一个序数

递归的运用这两个能力，你就可以得到康托范式的标准式。

举例：还拿${\omega }^3\times 2+\omega +3$作为例子。

一开始你手里只有一个0.你用能力1，把0升级为${\omega }^0$，即1.然后你用能力2，把有限个1拼在一起形成序数。因此，1和3都可以被表示出来。

然后你再用能力1，把1和3升级为${\omega }^1$和${\omega }^3$.然后你就可以把2个砖头${\omega }^3$，1个砖头${\omega }^1$和3个砖头${\omega }^0$拼在一起，就得到了${\omega }^3\times 2+\omega +3$.

极限

理论上来说，任何序数都可以被康托范式表示，但存在一个序数α满足$\alpha ={\omega }^{\alpha }$，到了这里，前文所述那种递归地得到康托范式标准式的方法已经走不通了。因此我们不严谨的说康托范式的“极限”是${\epsilon }_0$，即$\sup \{\omega ,{\omega }^{\omega },{\omega }^{{\omega }^{\omega }},\cdots \}$.

基本列系统

康托范式可以被改写为基本列型的序数记号。以下是其规则：

对于一个康托范式的合法式$S$:

${\omega }^{{\alpha }_1}+{\omega }^{{\alpha }_2}+{\omega }^{{\alpha }_3}+\cdots +{\omega }^{{\alpha }_{n-1}}+{\omega }^{{\alpha }_n}$，其基本列第m项$S[m]$根据如下规则找到：

• 如果${\alpha }_n$=0,则$S$是后继表达式，$S$的前驱是${\omega }^{{\alpha }_1}+{\omega }^{{\alpha }_2}+{\omega }^{{\alpha }_3}+\cdots +{\omega }^{{\alpha }_{n-1}}$.
• 否则，如果${\alpha }_n$是后继表达式，记它的前驱是${{\alpha }_n}^{\prime }$，$S[m]={\omega }^{{\alpha }_1}+{\omega }^{{\alpha }_2}+{\omega }^{{\alpha }_3}+\cdots +{\omega }^{{\alpha }_{n-1}}+{\omega }^{{{\alpha }_n}^{\prime }}\times m$.
• 否则，${\alpha }_n$是极限表达式，$S[m]={\omega }^{{\alpha }_1}+{\omega }^{{\alpha }_2}+{\omega }^{{\alpha }_3}+\cdots +{\omega }^{{\alpha }_{n-1}}+{\omega }^{{\alpha }_n[m]}$.