超运算序列：修订间差异

2025年7月29日 (二) 15:22的最新版本

超运算序列（Hyperoperation Sequence）是指一个从基本算术运算（如加法）开始，通过迭代方式逐步扩展到更高阶运算（如乘法、乘方、迭代幂次等）的二元运算序列。超运算序列可以统一地用三元函数表示，其中级别 n 参数化了运算的“高度”。高德纳箭头、阿克曼函数等均为超运算序列。

特别地，对于一个超运算序列中特定的非初始 n 值的运算，我们称之为超运算。序列中的第 n 项即为第 n 级超运算。

定义

广义超运算

广义的超运算序列可以这么定义：

$H_{n} (a, b) = {\begin{cases} f (a, b) & if n = 1 \\ H_{n - 1} (a, H_{n} (a, b - 1)) & if n > 1 \end{cases}$

其中 $f$ 可以是任意二元函数，例如 $f (a, b) = a + b$ ， $f (a, b) = a^{b}$ 。

它实际上与增长层级有许多类似之处，只不过它是二元的。

方括号超运算

现在常用的超运算序列 $a [n] b$ 是 Goodstein 的 $G (n, a, b)$ 的变体。它的定义如下：

$a [n] b = {\begin{cases} b + 1 & if n = 0 \\ a & if n = 1 and b = 0 \\ 0 & if n = 2 and b = 0 \\ 1 & if n \geq 3 and b = 0 \\ a [n - 1] (a [n] (b - 1)) & otherwise \end{cases}$

我们有：

$a [0] b = b + 1$
$a [1] b = a + b$
$a [2] b = a \times b$
$a [3] b = a^{b}$

$a [n] b (n \geq 3)$ 等价于高德纳箭头。

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-'''超运算序列(Hyperoperation Sequence)'''是指一个从'''基本算术运算'''（如加法）开始，通过'''迭代'''方式逐步扩展到更高阶运算（如乘法、乘方、迭代幂次等）的二元运算序列。超运算序列可以统一地用三元函数表示，其中级别n参数化了运算的“高度”。[[高德纳箭头]]、[[阿克曼函数]]等均为超运算序列。
+'''超运算序列（Hyperoperation Sequence）'''是指一个从'''基本算术运算'''（如加法）开始，通过'''[[增长层级#在大数数学中的应用|迭代]]'''方式逐步扩展到更高阶运算（如乘法、乘方、迭代幂次等）的二元运算序列。超运算序列可以统一地用三元函数表示，其中级别 n 参数化了运算的“高度”。[[高德纳箭头]]、[[阿克曼函数]]等均为超运算序列。
-特别地，对于一个超运算序列中特定的非初始n值的运算，我们称之为'''超运算'''。序列中的第n项即为第n级超运算。
+特别地，对于一个超运算序列中'''特定'''的非初始 n 值的运算，我们称之为'''超运算'''。序列中的第 n 项即为第 n 级超运算。
-==== 定义 ====
+=== 定义 ===
+==== '''广义超运算''' ====
+广义的超运算序列可以这么定义：
+<math>H_n(a,b)=\begin{cases}
+f(a,b)             & \text{if } n = 1 \\
+H_{n-1}(a, H_{n}(a,b-1)) & \text{if } n > 1
+\end{cases}</math>
+其中 <math>f</math> 可以是任意二元函数，例如 <math>f(a,b)=a+b</math>，<math>f(a,b)=a^b</math>。
+它实际上与[[增长层级]]有许多类似之处，只不过它是二元的。
+==== 方括号超运算 ====
+现在常用的超运算序列 <math>a[n]b</math> 是 Goodstein 的 <math>G(n,a,b)</math> 的变体。它的定义如下：
+<math>a[n]b = \begin{cases}
+b + 1 & \text{if } n = 0 \\
+a & \text{if } n = 1 \text{ and } b = 0 \\
+& \text{if } n = 2 \text{ and } b = 0 \\
+& \text{if } n \ge 3 \text{ and } b = 0 \\
+a[n-1]\left(a[n]\left(b - 1\right)\right) & \text{otherwise}
+\end{cases}</math>
+我们有：
+* <math>a[0]b=b+1</math>
+* <math>a[1]b=a+b</math>
+* <math>a[2]b=a\times b</math>
+* <math>a[3]b=a^b</math>
+<math>a[n]b(n\ge 3)</math>等价于高德纳箭头。