Veblen 函数 - 版本历史

Tabelog：文字替换 -“Veblen函数”替换为“Veblen 函数”

2025-08-25T05:37:51Z

文字替换 -“Veblen函数”替换为“Veblen 函数”

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第1行：		第1行：
	'''~~Veblen函数（别名：~~<math>\varphi</math> 函数）'''是一个 <math>\rm Ord\rightarrow Ord</math> 的序数函数，由美国数学家 Oswald Veblen 定义。		'''Veblen 函数（别名：<math>\varphi</math> 函数）'''是一个 <math>\rm Ord\rightarrow Ord</math> 的序数函数，由美国数学家 Oswald Veblen 定义。

	== 定义 ==		== 定义 ==

Tabelog：Tabelog移动页面Veblen函数至Veblen 函数

2025-08-25T05:22:00Z

Tabelog移动页面Veblen函数至Veblen 函数

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（没有差异）

2025年8月20日 (三) 08:19 Z

2025-08-20T08:19:05Z

←上一版本		2025年8月20日 (三) 16:19的版本
第141行：		第141行：

	序数元 Veblen 函数的极限为函数\(x\mapsto\varphi(1\text{@}x)\)的第一个不动点，被记为[[LVO]](Large Veblen ordinal)。		序数元 Veblen 函数的极限为函数\(x\mapsto\varphi(1\text{@}x)\)的第一个不动点，被记为[[LVO]](Large Veblen ordinal)。

			{{默认排序:序数记号}}
	[[分类:记号]]		[[分类:记号]]

Z：撤销Z（讨论）的修订版本974

2025-07-09T09:46:44Z

撤销Z（讨论）的修订版本974

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第2行：		第2行：

	== 定义 ==		== 定义 ==
	~~前排提醒：看不懂严谨定义的读者可以跳转到条目[[Veblen结构分析]]~~

	=== 二元 Veblen 函数 ===		=== 二元 Veblen 函数 ===

2025年7月8日 (二) 16:01 Z

2025-07-08T16:01:38Z

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第2行：		第2行：

	== 定义 ==		== 定义 ==
			前排提醒：看不懂严谨定义的读者可以跳转到条目[[Veblen结构分析]]

	=== 二元 Veblen 函数 ===		=== 二元 Veblen 函数 ===

2025年7月5日 (六) 11:58 Z

2025-07-05T11:58:11Z

←上一版本		2025年7月5日 (六) 19:58的版本
第142行：		第142行：
	序数元 Veblen 函数的极限为函数\(x\mapsto\varphi(1\text{@}x)\)的第一个不动点，被记为[[LVO]](Large Veblen ordinal)。		序数元 Veblen 函数的极限为函数\(x\mapsto\varphi(1\text{@}x)\)的第一个不动点，被记为[[LVO]](Large Veblen ordinal)。
	[[分类:记号]]		[[分类:记号]]
	~~[[分类:入门]]~~

2025年7月4日 (五) 14:10 GaoKao

2025-07-04T14:10:54Z

←上一版本		2025年7月4日 (五) 22:10的版本
第98行：		第98行：

	== 枚举 ==		== 枚举 ==
			<math>\varphi(0)=1</math>

			<math>\varphi(\varphi(0))=\omega</math>

			<math>\varphi(\varphi(\varphi(0)))=\omega^\omega</math>

			<math>\varphi(1,0)=
			=\sup\{\varphi(0),\varphi(\varphi(0)),\varphi(\varphi(\varphi(0))),\cdots\}
			=\sup\{1,\omega,\omega^\omega,\cdots\}
			=\varepsilon_0</math>

			<math>\varphi(1,1)
			=\sup\{\varphi(1,0)+1,\varphi(\varphi(1,0)+1),\varphi(\varphi(\varphi(1,0)+1)),\cdots\}
			=\sup\{\varepsilon_0+1,\omega^{\varepsilon_0+1},\omega^\omega^{\varepsilon_0+1},\cdots\}
			=\varepsilon_1</math>

			<math>\varphi(1,2)
			=\sup\{\varphi(1,1)+1,\varphi(\varphi(1,1)+1),\varphi(\varphi(\varphi(1,1)+1)),\cdots\}
			=\sup\{\varepsilon_1+1,\omega^{\varepsilon_1+1},\omega^\omega^{\varepsilon_1+1},\cdots\}
			=\varepsilon_2</math>

			可以看到，<math>\varphi(1,x)=\varepsilon_x</math>，它们都枚举<math>x\mapsto\omega^x</math>的不动点。

			<math>\varphi(2,0)
			=\sup\{\varphi(1,0),\varphi(1,\varphi(1,0)),\varphi(1,\varphi(1,\varphi(1,0))),\cdots\}
			=\sup\{\varepsilon_0,\varepsilon_\varepsilon_0,\varepsilon_\varepsilon_\varepsilon_0,\cdots\}
			=\zeta_0</math>

			<math>\varphi(2,1)
			=\sup\{\varphi(2,0)+1,\varphi(1,\varphi(2,0)+1),\varphi(1,\varphi(1,\varphi(2,0)+1)),\cdots\}
			=\sup\{\zeta_0+1,\varepsilon_{\zeta_0+1},\varepsilon_\varepsilon_{\zeta_0+1},\cdots\}
			=\zeta_1</math>

			故<math>\varphi(2,x)=\zeta_x</math>，它们都枚举<math>x\mapsto\varepsilon_x</math>的不动点。

			类似地，我们有<math>\varphi(3,x)=\eta_x</math>，<math>\varphi(4,x)</math>为<math>x\mapsto\eta_x</math>的第<math>1+x</math>个不动点。

	== 有名字的序数 ==		== 有名字的序数 ==

GaoKao：/* 序数元 Veblen 函数 */

2025-07-04T09:21:38Z

序数元 Veblen 函数

@@ 第69行： / 第69行： @@
 即\(\varphi(\alpha_n,\alpha_{n-1},\cdots,\alpha_1,\beta)=\varphi(\alpha_n\text{@}n,\alpha_{n-1}\text{@}(n-1),\cdots,\alpha_1\text{@}1,\beta\text{@}0)\)。
 我们可以省略值为0的项，例如<math>\varphi(1,0,0,0,0,3,0,6)</math>可写为\(\varphi(1\text{@}7,3\text{@}2,6\text{@}0)\)。
 ==== 规则 ====
 [[分类:记号]]
 [[分类:入门]]

GaoKao：/* 序数元 Veblen 函数 */

2025-07-04T08:20:16Z

序数元 Veblen 函数

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第11行：		第11行：
	# <math>\varphi(\alpha+1,\beta)</math> 是函数 <math>x\mapsto\varphi(\alpha,x)</math>的第 <math>1+\beta</math> 个不动点。		# <math>\varphi(\alpha+1,\beta)</math> 是函数 <math>x\mapsto\varphi(\alpha,x)</math>的第 <math>1+\beta</math> 个不动点。
	# 对于[[序数#极限序数\|极限序数]] <math>\alpha</math>,<math>\varphi(\alpha,\beta)</math> 为所有 <math>x\mapsto\varphi(\gamma,x)(\gamma<\alpha)</math> 的第 <math>1+\beta</math> 个公共不动点。		# 对于[[序数#极限序数\|极限序数]] <math>\alpha</math>,<math>\varphi(\alpha,\beta)</math> 为所有 <math>x\mapsto\varphi(\gamma,x)(\gamma<\alpha)</math> 的第 <math>1+\beta</math> 个公共不动点。

			Veblen 函数作为一个序数记号，其合法表达式可按以下方式递归定义：

			# 0是合法表达式；
			# 若<math>\alpha,\beta</math>是合法表达式，则<math>\alpha+\beta</math>也是合法表达式；
			# 若<math>\alpha,\beta</math>是合法表达式，则<math>\varphi(\alpha,\beta)</math>也是合法表达式。

	其基本列定义如下：		其基本列定义如下：
第25行：		第31行：

	=== 有限元 Veblen 函数 ===		=== 有限元 Veblen 函数 ===

			==== 约定 ====
	我们使用一些缩写："#"表示任意序列，"Z"表示由若干个0构成序列，这两个记号均可以表示空序列。		我们使用一些缩写："#"表示任意序列，"Z"表示由若干个0构成序列，这两个记号均可以表示空序列。

	对于表达式<math>\varphi(\alpha_n,\alpha_{n-1},\cdots,\alpha_1,\beta)</math>，记<math>k</math>为使<math>\alpha_k\ne 0</math>的最小正整数，令<math>\#=\alpha_n,\cdots,\alpha_{k+1}</math>,<math>Z=\alpha_{k-1},\cdots,\alpha_1</math>，则该表达式可记为<math>\varphi(\#,\alpha_k,Z,\beta)</math>。		对于表达式<math>\varphi(\alpha_n,\alpha_{n-1},\cdots,\alpha_1,\beta)</math>，记<math>k</math>为使<math>\alpha_k\ne 0</math>的最小正整数，令<math>\#=\alpha_n,\cdots,\alpha_{k+1}</math>,<math>Z=\alpha_{k-1},\cdots,\alpha_1</math>，则该表达式可记为<math>\varphi(\#,\alpha_k,Z,\beta)</math>。

			==== 规则 ====
	有限元 Veblen 函数的基本列定义如下：		有限元 Veblen 函数的基本列定义如下：

第53行：		第62行：

	=== 序数元 Veblen 函数 ===		=== 序数元 Veblen 函数 ===

			==== 约定 ====
	在有限元 Veblen 函数中，我们从右往左给每个变量标号，最右边的元素称为第0项。		在有限元 Veblen 函数中，我们从右往左给每个变量标号，最右边的元素称为第0项。

	若第<math>\beta</math>项的值为<math>\alpha</math>~~，则称这一项为~~		若第<math>\beta</math>项的值为<math>\alpha</math>，则记这一项为\(\alpha\text{@}\beta\)。

			即\(\varphi(\alpha_n,\alpha_{n-1},\cdots,\alpha_1,\beta)=\varphi(\alpha_n\text{@}n,\alpha_{n-1}\text{@}(n-1),\cdots,\alpha_1\text{@}1,\beta\text{@}0)\)。

			我们可以省略值为0的项，例如<math>\varphi(1,0,0,0,0,3,0,6)</math>可写为\(\varphi(1\text{@}7,3\text{@}2,6\text{@}0)\)。

			==== 规则 ====
	[[分类:记号]]		[[分类:记号]]
	[[分类:入门]]		[[分类:入门]]

2025年7月4日 (五) 08:13 Phyrion

2025-07-04T08:13:35Z

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第57行：		第57行：
	若第<math>\beta</math>项的值为<math>\alpha</math>，则称这一项为		若第<math>\beta</math>项的值为<math>\alpha</math>，则称这一项为
	[[分类:记号]]		[[分类:记号]]
			[[分类:入门]]

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Z：​撤销Z（讨论）的修订版本974

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2025年7月5日 (六) 11:58 Z

2025年7月4日 (五) 14:10 GaoKao

GaoKao：​/* 序数元 Veblen 函数 */

GaoKao：​/* 序数元 Veblen 函数 */

2025年7月4日 (五) 08:13 Phyrion

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Z：撤销Z（讨论）的修订版本974

GaoKao：/* 序数元 Veblen 函数 */

GaoKao：/* 序数元 Veblen 函数 */