TON记号 - 版本历史

2026年6月24日 (三) 11:05 CGoL

2026-06-24T11:05:16Z

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第147行：		第147行：
	* 我们称，当且仅当；		* 我们称，当且仅当；
	* 我们称，当且仅当。		* 我们称，当且仅当。
	{{默认排序:序数记号}}		https://zhuanlan.zhihu.com/p/658978883<nowiki/>{{默认排序:序数记号}}
	[[分类:页面待更改]]		[[分类:页面待更改]]
	[[分类:记号]]		[[分类:记号]]

2026年6月23日 (二) 07:24 CGoL

2026-06-23T07:24:56Z

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第24行：		第24行：
	* 位于不同位置的同类型的项被认为是不同的；		* 位于不同位置的同类型的项被认为是不同的；
	* 对于一个表达式<math>C(a,b)</math>，我们称<math>a</math>和<math>b</math>是<math>C(a,b)</math>的子项，记作<math>a,b\sqsubseteq C(a,b)</math>；		* 对于一个表达式<math>C(a,b)</math>，我们称<math>a</math>和<math>b</math>是<math>C(a,b)</math>的子项，记作<math>a,b\sqsubseteq C(a,b)</math>；
	* 我们称a是b的真子项（记作<math>a\sqsubset b</math>），当且仅当<math>a\sqsubseteq b\~~land~~ a\neq b</math>。		* 我们称a是b的真子项（记作<math>a\sqsubset b</math>），当且仅当<math>a\sqsubseteq b\and a\neq b</math>。

	== 与序数的关系 ==		== 与序数的关系 ==
第44行：		第44行：
	为了检查<math>C(a,b)</math>是否标准，built-from-below 条件为<math>a\prec C(a,b)</math>，其定义为：		为了检查<math>C(a,b)</math>是否标准，built-from-below 条件为<math>a\prec C(a,b)</math>，其定义为：

	<math>\forall x\forall y\sqsubset x(x<y<\Omega\Rightarrow</math>		<math>\forall x\forall y\sqsubset x(x<y<\Omega\Rightarrow\exists z\sqsupseteq y(z<\Omega\and(z\sqsupset x\or z<C(a,b))))</math>

	Degrees of Reflection（DR）仅由 Degrees of Reflection 风格判定标准表达式。		Degrees of Reflection（DR）仅由 Degrees of Reflection 风格判定标准表达式。

	==== 标准风格 ====		==== 标准风格 ====
	为了检查 ~~是否标准，built~~-from-below 条件为，其定义为：		为了检查<math>C(a,b)</math>是否标准，built-from-below 条件为<math>a\prec_nC(a,b)</math>，其定义为：

	* ；		* <math>a\prec_0b\Leftrightarrow a<b</math>；
	* 。		* <math>a\prec_{m+1}b\Leftrightarrow\forall x(x>a\Rightarrow\exists y\sqsupseteq x(y\prec_mb))</math>。

	Main Ordinal Notation ~~System（M）是一系列系统，仅由标准风格判定标准表达式，其中的可任取的自然数，分别对应不同的系统。~~		Main Ordinal Notation System（M）是一系列系统，仅由标准风格判定标准表达式，其中的n可任取<math>\geq1</math>的自然数，分别对应不同的系统。

	==== Iteration 风格 ====		==== Iteration 风格 ====
	为了检查 ~~是否标准，我们需要找出的语法树中所有极长的的子项（即，找出所有满足~~ ），然后，我们按以下步骤对每个求出对应的：		为了检查<math>C(a,b)</math>是否标准，我们需要找出<math>a</math>的语法树中所有极长的<math><\Omega</math>的子项<math>a'</math>（即找出所有<math>a'</math>满足<math>\forall x\sqsupset a'(x\geq\Omega)</math>），然后，我们按以下步骤对每个求出对应的：

	# 将中的改成；		# 将中的改成；

2026年6月23日 (二) 06:40 CGoL

2026-06-23T06:40:43Z

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第23行：		第23行：

	* 位于不同位置的同类型的项被认为是不同的；		* 位于不同位置的同类型的项被认为是不同的；
	* ~~对于一个表达式C~~(a,b)~~，我们称a和b是C~~(a,b)的子项，记作<math>a,b\sqsubseteq C(a,b)</math>；		* 对于一个表达式<math>C(a,b)</math>，我们称<math>a</math>和<math>b</math>是<math>C(a,b)</math>的子项，记作<math>a,b\sqsubseteq C(a,b)</math>；
	* 我们称a是b的真子项（记作<math>a\sqsubset b</math>），当且仅当。		* 我们称a是b的真子项（记作<math>a\sqsubset b</math>），当且仅当<math>a\sqsubseteq b\land a\neq b</math>。

	== 与序数的关系 ==		== 与序数的关系 ==
	TON 中的标准表达式和序数一一对应。具体的，对于一个标准表达式，如果有一系列小于它的表达式，则 ~~对应的序数为对应的序数的上确界。~~		TON 中的标准表达式和序数一一对应。具体的，对于一个标准表达式<math>a</math>，如果有一系列小于它的表达式<math>b_1,b_2\cdots</math>，则<math>a</math>对应的序数为<math>b_1,b_2\cdots</math>对应的序数的上确界。

	== 性质 ==		== 性质 ==

	* ；		* <math>C(a,b)>b</math>；
	* 对 ~~都单调递增，且对连续；~~		* <math>C(a,b)</math>对<math>a,b</math>都单调递增，且对<math>a</math>连续；
	* 当且仅当。		* <math>C(a,b)=b+\omega^a</math>当且仅当<math>C(a,b)\geq a</math>。

	== 变种 ==		== 变种 ==
	以下判定条件中涉及到的项 ~~默认满足~~ 。		以下判定条件中涉及到的项<math>x</math>默认满足<math>x\sqsubseteq a</math>。

	=== Built-from-below 风格 ===		=== Built-from-below 风格 ===
第42行：		第42行：

	==== Degrees of Reflection 风格 ====		==== Degrees of Reflection 风格 ====
	为了检查 ~~是否标准，built~~-from-below 条件为，其定义为：		为了检查<math>C(a,b)</math>是否标准，built-from-below 条件为<math>a\prec C(a,b)</math>，其定义为：

			<math>\forall x\forall y\sqsubset x(x<y<\Omega\Rightarrow</math>

	Degrees of Reflection（DR）仅由 Degrees of Reflection 风格判定标准表达式。		Degrees of Reflection（DR）仅由 Degrees of Reflection 风格判定标准表达式。

2026年6月23日 (二) 05:44 CGoL

2026-06-23T05:44:16Z

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第1行：		第1行：

	== 合法表达式 ==		== 合法表达式 ==
	~~常量包含0、Ω~~<~~sub~~>n</~~sub~~>。		常量包含<math>0,\Omega_n</math>。

	* 常量是合法表达式；		* 常量是合法表达式；
	* ~~如果a和b是合法表达式，那么C~~(a,b)是合法表达式。		* 如果<math>a</math>和<math>b</math>是合法表达式，那么<math>C(a,b)</math>是合法表达式。

	== 后缀形式 ==		== 后缀形式 ==
	对于一个合法表达式，我们删去它其中的所有","与"()"，并反转整个字符串，即为该表达式的后缀形式。		对于一个合法表达式，我们删去它其中的所有<math>,</math>与<math>()</math>，并反转整个字符串，即为该表达式的后缀形式。

	== 比较 ==		== 比较 ==
	对于两个合法表达式，它们的大小关系等同于它们的后缀形式在字典序上的大小关系（我们认为 C<0<~~Ω<sub>n~~</~~sub~~>）。		对于两个合法表达式，它们的大小关系等同于它们的后缀形式在字典序上的大小关系（我们认为<math>C<0<\Omega_n</math>）。

	== 标准表达式 ==		== 标准表达式 ==

	* 常量是合法表达式；		* 常量是合法表达式；
	* C(a,b)是标准表达式当且仅当：		* <math>C(a,b)</math>是标准表达式当且仅当：
	** ~~a、b是标准表达式；~~		** <math>a,b</math>是标准表达式；
	** ~~如果b能表示成C~~(c,d)~~的形式，则a≤c；~~		** 如果<math>b</math>能表示成<math>C(c,d)</math>的形式，则<math>a\leq c</math>；
	** 对于不同的版本，还有一些额外的条件，我们一般称其为 built-from-below 条件。		** 对于不同的版本，还有一些额外的条件，我们一般称其为 built-from-below 条件。

第23行：		第23行：

	* 位于不同位置的同类型的项被认为是不同的；		* 位于不同位置的同类型的项被认为是不同的；
	* 对于一个表达式C(a,b)，我们称a和b是C(a,b)~~的子项，记作a~~,~~b⊑C~~(a,b)；		* 对于一个表达式C(a,b)，我们称a和b是C(a,b)的子项，记作<math>a,b\sqsubseteq C(a,b)</math>；
	* ~~我们称是的真子项（记作~~ ），当且仅当。		* 我们称a是b的真子项（记作<math>a\sqsubset b</math>），当且仅当。

	== 与序数的关系 ==		== 与序数的关系 ==

CGoL：创建页面，内容为“ == 合法表达式 == 常量包含0、Ω_n。 * 常量是合法表达式； * 如果a和b是合法表达式，那么C(a,b)是合法表达式。 == 后缀形式 == 对于一个合法表达式，我们删去它其中的所有","与"()"，并反转整个字符串，即为该表达式的后缀形式。 == 比较 == 对于两个合法表达式，它们的大小关系等同于它们的后缀形式在字典序上的大小关系（我们认为 C<0<Ω_…”

2026-06-22T23:54:05Z

创建页面，内容为“ == 合法表达式 == 常量包含0、Ωn。 * 常量是合法表达式； * 如果a和b是合法表达式，那么C(a,b)是合法表达式。 == 后缀形式 == 对于一个合法表达式，我们删去它其中的所有","与"()"，并反转整个字符串，即为该表达式的后缀形式。 == 比较 == 对于两个合法表达式，它们的大小关系等同于它们的后缀形式在字典序上的大小关系（我们认为 C<0<Ω…”

新页面

== 合法表达式 ==
常量包含0、Ωn。

* 常量是合法表达式；
* 如果a和b是合法表达式，那么C(a,b)是合法表达式。

== 后缀形式 ==
对于一个合法表达式，我们删去它其中的所有","与"()"，并反转整个字符串，即为该表达式的后缀形式。

== 比较 ==
对于两个合法表达式，它们的大小关系等同于它们的后缀形式在字典序上的大小关系（我们认为 C<0<Ωn）。

== 标准表达式 ==

* 常量是合法表达式；
* C(a,b)是标准表达式当且仅当：
** a、b是标准表达式；
** 如果b能表示成C(c,d)的形式，则a≤c；
** 对于不同的版本，还有一些额外的条件，我们一般称其为 built-from-below 条件。

为了检查 built-from-below 条件，我们需要遍历某些表达式的语法树，为此，我们需要一些辅助定义：

* 位于不同位置的同类型的项被认为是不同的；
* 对于一个表达式C(a,b)，我们称a和b是C(a,b)的子项，记作a,b⊑C(a,b)；
* 我们称是的真子项（记作），当且仅当。

== 与序数的关系 ==
TON 中的标准表达式和序数一一对应。具体的，对于一个标准表达式，如果有一系列小于它的表达式，则对应的序数为对应的序数的上确界。

== 性质 ==

* ；
* 对都单调递增，且对连续；
* 当且仅当。

== 变种 ==
以下判定条件中涉及到的项默认满足。

=== Built-from-below 风格 ===
有三种 built-from-below 风格：Degrees of Reflection 风格，标准风格与 Iteration 风格（从弱到强排序）。

==== Degrees of Reflection 风格 ====
为了检查是否标准，built-from-below 条件为，其定义为：

Degrees of Reflection（DR）仅由 Degrees of Reflection 风格判定标准表达式。

==== 标准风格 ====
为了检查是否标准，built-from-below 条件为，其定义为：

* ；
* 。

Main Ordinal Notation System（M）是一系列系统，仅由标准风格判定标准表达式，其中的可任取的自然数，分别对应不同的系统。

==== Iteration 风格 ====
为了检查是否标准，我们需要找出的语法树中所有极长的的子项（即，找出所有满足），然后，我们按以下步骤对每个求出对应的：

# 将中的改成；
# 将改写成前缀形式（直接删去所有和）；
# 删去对应的左侧的全部内容，并在左侧添加使表达式合法；
# 将重新改写回一般形式。
# 对所有形如的项，如果，就将其替换为，一直替换到没有这样的项；
# 执行完 1~5 步后，将现在的记作；
# 记为初始的和的最长公共后缀（前缀形式下）；
# 则为最大的自然数使得的前缀形式形如。

该风格的 built-from-below 条件为对所有，都有，其定义如下：

* ；
* 。

Iteration of n-built from below (variation without 4b)（I）仅由 Iteration 风格判定标准表达式。

=== Passthrough ===
Passthrough 有三种类型：无 passthrough，-passthrough 与 -passthrough（从弱到强排序）。

==== -passthrough ====
-passthrough 可以和 Iteration 风格组合，这就是 Iteration of n-built from below（IBP）。的定义和无 passthrough 的情况一样，但 built-from-below 条件不同：为检查是否标准，该风格的 built-from-below 条件为对所有，都有，其定义如下：

* 我们定义辅助函数：，下同；
* ；
* 。

-----passthrough 也可以和 Degrees of Reflection 风格组合，这就是 Built-from-below with Passthrough（BP）。其定义和其他变种有较大不同，见下：

合法表达式：

* 是合法表达式；
* 如果是合法表达式，则是合法表达式。

比较：

是最小的表达式。当且仅当。

标准表达式：

* 是标准表达式；
* 是标准表达式当且仅当：
** 是标准表达式；
** 如果可以表示成的形式，则；
** 该系统的 built-from-below 条件为：，其中的定义为。

-----passthrough 不能和标准风格组合。

==== -passthrough ====
-passthrough 可以和 Iteration 风格组合，这就是 Iteration of n-built from below (Possible extension)（IP）。其定义几乎与 IBP 一样，除了 built-from-below 条件，它变成了对所有，都有。
-----passthrough 也可以和 Degrees of Reflection 风格组合，这就是 Degrees of Reflection with Passthrough（DRP）。为检查是否标准，built-from-below 条件为，其定义为
-----passthrough 还可以和标准风格组合，这就是 Main ordinal notation system (Passthrough extension)（MP）。和 Main ordinal notation system 类似，它也是一系列系统的组合。我们需要确定一个的自然数，则 built-from-below 条件为，其定义为

* ；
* 。

=== 反射配置 ===
反射配置从底层重新定义了 built-from-below 条件。

==== 语法 ====
在反射配置下的 TON 中，表达式会出现一个新的符号。其余部分和普通的 TON 一样。

比较和普通的 TON 类似，我们认为。

==== 定义 ====
反射配置由两个项来定义，记作。以下是反射配置的一个递归定义：

* ；
* ；
* 我们设，则：
** 若：；
** 若：；
** 若且：；
** 若且：。

----反射配置可以和 Degrees of Reflection 风格组合（即 Reflection configuration version of Degrees of Reflection（DRC））。为了检查是否标准，其 built-from-below 条件为：

* 我们定义为满足的项，如果不存在这样的，则；
* 对于项，我们定义。

----反射配置也可以和带 Passthrough 的 Degrees of Reflection 风格组合（即 Reflection configuration version of Degrees of Reflection with Passthrough（DRPC），注意这里不分 -passthrough 和 -passthrough）。为了检查是否标准，其 built-from-below 条件为：
----反射配置可以和标准风格（与 -passthrough）组合，同样的，它是一系列记号的组合。你需要确定一个自然数，则为了检查是否标准，反射配置和标准风格的组合（即 Reflection configuration version of Main Ordinal Notation System（MC））的 built-from-below 条件为，而反射配置和带 -passthrough 的标准风格的组合（即 Reflection configuration version of Main ordinal notation system (Passthrough extension)（MPC））的 built-from-below 条件为。的定义如下：

* ；
* ；
* 我们定义为满足的项，如果不存在这样的，则；
* ；
* 我们称，当且仅当；
* 我们称，当且仅当。
{{默认排序:序数记号}}
[[分类:页面待更改]]
[[分类:记号]]