SAM - 版本历史

2026年2月25日 (三) 13:55 Z

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			'''''前排提醒：本词条尚未完善'''''

	'''SAM'''（Simple Admissble Mark，简单非递归系统）''（事实上这里中英不完全一致，但是别管历史遗留问题）''，分为 New. 和 Old. 两个版本。Old. 版本更简洁，但是在常用的环境下，难以准确定义，而 New. 版本的良定义程度和投影序数完全一致		'''SAM'''（Simple Admissble Mark，简单非递归系统）''（事实上这里中英不完全一致，但是别管历史遗留问题）''，分为 New. 和 Old. 两个版本。Old. 版本更简洁，但是在常用的环境下，难以准确定义，而 New. 版本的良定义程度和投影序数完全一致

2025年8月24日 (日) 10:30 Tabelog

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	'''SAM'''		'''SAM'''（Simple Admissble Mark，简单非递归系统）''（事实上这里中英不完全一致，但是别管历史遗留问题）''，分为 New. 和 Old. 两个版本。Old. 版本更简洁，但是在常用的环境下，难以准确定义，而 New. 版本的良定义程度和投影序数完全一致
	~~即Simple~~ Admissble ~~Mark，简单非递归系统~~''（事实上这里中英不完全一致，但是别管历史遗留问题）''~~，分为New~~.~~和Old~~.两个版本。Old.~~版本更简洁，但是在常用的环境下，难以准确定义，而New~~.版本的良定义程度和投影序数完全一致

	SAM的理念是“用小递归序数的结构理想地表示出大非递归序数的各类层级和结构，然后再放入非递归序数，实现‘左脚踩右脚上天’的效果”。而目前能近似实现上述功能的事物只有兼容（小递归序数表示大递归序数），因此，SAM选择了兼容作为理想表示的暂时的、局部的实现方式。但是我们可以注意到，这事实上不可能绝对理想的被实现，所以绝对理想的SAM在理论中也许并不存在，我们目前用的只是一种“将就”的定义		SAM 的理念是“用小递归序数的结构理想地表示出大非递归序数的各类层级和结构，然后再放入非递归序数，实现‘左脚踩右脚上天’的效果”。而目前能近似实现上述功能的事物只有兼容（小递归序数表示大递归序数），因此，SAM 选择了兼容作为理想表示的暂时的、局部的实现方式。但是我们可以注意到，这事实上不可能绝对理想的被实现，所以绝对理想的 SAM 在理论中也许并不存在，我们目前用的只是一种“将就”的定义。

	~~本页面将主要叙述SAM的New版本~~		本页面将主要叙述 SAM 的 New. 版本。

	~~首先，SAM存在一类大序数，形如~~<~~math~~>~~S_\cdots~~</~~math~~>，就像投影中有各种各样的<~~math~~>~~\alpha_\cdots~~</~~math~~>~~一样，前者的部分性质同样也可以参考后者~~		=== 定义 ===
			SAM 存在一类大序数，形如 S<sub>...</sub>，就像投影中有各种各样的 α<sub>...</sub> 一样，前者的部分性质同样也可以参考后者。其兼容链不仅是一个 [#]，在 SAM 中，这只是一个“行”，而 SAM 的兼容链则是由许多个“行”所构成的“面”。SAM 的定义需要 pfffz（即 pfec fffz）的定义，而 pfffz 实际上就是把 Ω 给直接且不折叠地放进 fffz 里，缺失的结构和基本列长度则通过和 SAM 一样的方法补全。

	~~其次，SAM的兼容链不仅是一个[#]。在SAM中，这只是一个“行”。而SAM的兼容链则是由许多个“行”所构成的“面”~~		SAM 的完整定义如下：

	再次，SAM的定义需要pfffz(即p.f.e.c fffz)的定义，而pfffz实际上就是把<math>\Omega</math>给直接且不折叠地放进fffz里，缺失的结构和基本列长度则通过和SAM一样的方法补全

	~~然后，SAM的完整定义如下：~~

	# <math>\psi_S(0)=1</math>		# <math>\psi_S(0)=1</math>
	# <math>\psi_S(S+1)=h_{S+1}</math>		# <math>\psi_S(S+1)=h_{S+1}</math>
	# <math>\psi_S\#'[\&](n)=min~\alpha\rightarrow g(\alpha)</math> ~~第2条规则无法使用且 n的最内项为“~~<~~math~~>~~S_{~~...}</~~math~~>~~”且“~~&~~的末项”~~>n 且 <math>n>min~\alpha\rightarrow g(\alpha)</math>~~，其中g~~(x)=~~“把n的最内项替换为x后，所得的新n的值”~~		# <math>\psi_S\#'[\&](n)=min~\alpha\rightarrow g(\alpha)</math>，当第 2 条规则无法使用且 n 的最内项为 S<sub>...</sub> 且 <code>& 的末项 >n</code> 且 <math>n>min~\alpha\rightarrow g(\alpha)</math>，其中 <code>g(x) = 把 n 的最内项替换为 x 后，所得的新 n 的值</code>
	# <math>\psi_S\#'[\&](n)=\psi_S\#'[\&,n]'[f(n,g(\&\text{的末项})](f(n,g(\&\text{的末项})))</math> ~~第2、3条规则无法使用且~~ [&,n]~~存在且~~ [%,n]存在		# <math>\psi_S\#'[\&](n)=\psi_S\#'[\&,n]'[f(n,g(\&\text{的末项})](f(n,g(\&\text{的末项})))</math>，当第 2、3 条规则无法使用，且 [&,n] 存在，[%,n] 存在
	# <math>\psi_S\#'[\&](n)=min~\alpha\rightarrow\psi_S\#[\&,n](\alpha)</math> ~~第2、3条规则无法使用且~~ [&,n]~~存在且~~ [%,n]~~不存在且 n为极限序数~~		# <math>\psi_S\#'[\&](n)=min~\alpha\rightarrow\psi_S\#[\&,n](\alpha)</math>，当第 2、3 条规则无法使用，且 [&,n] 存在、[%,n]不存在、n 为极限序数
	# <math>\psi_S\#'[\&](n)=\psi_S\#'[\&](n-1)\times\omega</math> ~~第2、3条规则无法使用且~~ [&,n]~~存在且~~ [%,n]~~不存在且 n为后继序数~~		# <math>\psi_S\#'[\&](n)=\psi_S\#'[\&](n-1)\times\omega</math>，当第 2、3 条规则无法使用，且 [&,n] 存在、[%,n] 不存在、n 为后继序数
	# <math>\psi_S\#'[\&](n)=min\{\alpha\|\alpha>\psi_S\#'[\&](<n)\}</math> ~~第2、3条规则无法使用且~~ [&,n]不存在		# <math>\psi_S\#'[\&](n)=min\{\alpha\|\alpha>\psi_S\#'[\&](<n)\}</math>，当第 2、3 条规则无法使用，且 [&,n] 不存在
	# <math>\psi_S\#[\&](n)=\psi_S\#[\&,n]'[f(n)](f(n))</math> [&,n]~~存在且~~ [%,n]存在		# <math>\psi_S\#[\&](n)=\psi_S\#[\&,n]'[f(n)](f(n))</math> ，当 [&,n] 存在、[%,n] 存在
	# <math>\psi_S\#[\&](n)=min~\alpha\rightarrow\psi_S\#[\&,n](\alpha)</math> [&,n]~~存在且~~ [%,n]~~不存在且 n为极限序数~~		# <math>\psi_S\#[\&](n)=min~\alpha\rightarrow\psi_S\#[\&,n](\alpha)</math> ，当 [&,n] 存在、[%,n] 不存在、n 为极限序数
	# <math>\psi_S\#[\&](n)=\psi_S\#[\&](n-1)\times\omega</math> [&,n]~~存在且~~ [%,n]~~不存在且 n为后继序数~~		# <math>\psi_S\#[\&](n)=\psi_S\#[\&](n-1)\times\omega</math> ，当 [&,n] 存在、[%,n] 不存在、n 为后继序数
	# <math>\psi_S\#[\&](n)=min\{\alpha\|\alpha>\psi_S\#'[\&](<n)\}</math> [&,n]不存在		# <math>\psi_S\#[\&](n)=min\{\alpha\|\alpha>\psi_S\#'[\&](<n)\}</math> ，当 [&,n] 不存在

	化简规则		化简规则

	# <math>\psi_S\#[\&,m](n)=\psi_S\#[\&](n)</math> m>n 或 [&,m]不存在		# <math>\psi_S\#[\&,m](n)=\psi_S\#[\&](n)</math>，当 m>n 或 [&,m] 不存在
	# <math>\psi_S\#[](n)=\psi_S\#(n)</math>		# <math>\psi_S\#[](n)=\psi_S\#(n)</math>
	# <math>\psi_S\#[\&,m]'(n)=\psi_S\#[\&,m](n)</math> m>n 或 n<S		# <math>\psi_S\#[\&,m]'(n)=\psi_S\#[\&,m](n)</math>，当 m>n 或 n<S

	~~附加规则~~
	f(n,m)=“找到n中最外小于<math>S_m</math>的内项，如果等于n则为<math>h_{S_m+1}</math>。否则如果不等于n且是极限序数则将其替换为<math>S_m</math>；如果不等于n且是后继序数则将其替换为其后继；如果不存在则为<math>h(S_m+1)</math> ，最终所得的新n的值”
	~~<math>g(x)=max\{S_v\|x\geq S_v\}</math>~~

	~~激活函数<math>h(x)=\Omega_{x+1}</math>~~

	~~<math>\psi_S\#[\&](n)</math>的直接内项，是n的末项~~		附加规则：
	~~多项式的直接内项，是其末项~~
	~~0和S_...的直接内项是自身~~
	~~n的内项，是自身和自身内项的直接内项~~
	~~n的间接内项，是不是n的直接内项的 n的内项~~
	~~n的最内项，是指所属层数最大的内项~~
	~~项，是序数~~

	~~行，是由项依次有序组成的序列~~		* <code>f(n,m) = 找到 n 中最外小于 <math>S_m</math> 的内项，如果等于 n 则为 <math>h_{S_m+1}</math>。否则如果不等于 n 且是极限序数则将其替换为 <math>S_m</math>；如果不等于 n 且是后继序数则将其替换为其后继；如果不存在则为 <math>h(S_m+1)</math>，最终所得的新 n 的值</code>
			* <math>g(x)=max\{S_v\|x\geq S_v\}</math>
			* 激活函数 <math>h(x)=\Omega_{x+1}</math>
			<math>\psi_S\#[\&](n)</math> 的直接内项，是 n 的末项；多项式的直接内项，是其末项；0 和 S<sub>...</sub> 的直接内项是自身；n 的内项，是自身和自身内项的直接内项；n 的间接内项，是不是 n 的直接内项的 n 的内项；n 的最内项，是指所属层数最大的内项。

	~~面，是由行依次有序组成的序列，行之间可以直接连接，也可间隔一个'间接连接，'~~		项，是序数；行，是由项依次有序组成的序列；面，是由行依次有序组成的序列，行之间可以直接连接，也可间隔一个间接连接。

	{{默认排序:个人记号}}		{{默认排序:个人记号}}
	[[分类:记号]]		[[分类:记号]]

2025年8月22日 (五) 08:27 Z

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	行，是由项依次有序组成的序列		行，是由项依次有序组成的序列

	面，是由行依次有序组成的序列，行之间可以直接连接，也可间隔一个'间接连接，'右		面，是由行依次有序组成的序列，行之间可以直接连接，也可间隔一个'间接连接，'

	{{默认排序:个人记号}}		{{默认排序:个人记号}}
	[[分类:记号]]		[[分类:记号]]

2025年8月20日 (三) 08:29 Z

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第49行：		第49行：

	面，是由行依次有序组成的序列，行之间可以直接连接，也可间隔一个'间接连接，'右		面，是由行依次有序组成的序列，行之间可以直接连接，也可间隔一个'间接连接，'右
	[[分类:~~个人记号~~]]
			{{默认排序:个人记号}}
			[[分类:记号]]

2025年8月20日 (三) 07:54 Z

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第49行：		第49行：

	面，是由行依次有序组成的序列，行之间可以直接连接，也可间隔一个'间接连接，'右		面，是由行依次有序组成的序列，行之间可以直接连接，也可间隔一个'间接连接，'右
	[[分类:记号]]		[[分类:个人记号]]

2025年8月8日 (五) 08:41 Z

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	本页面将主要叙述SAM的New版本		本页面将主要叙述SAM的New版本

	~~首先，SAM存在一类大序数，形如S_...，就像投影中有各种各样的α_...~~一样，前者的部分性质同样也可以参考后者		首先，SAM存在一类大序数，形如<math>S_\cdots</math>，就像投影中有各种各样的<math>\alpha_\cdots</math>一样，前者的部分性质同样也可以参考后者

	其次，SAM的兼容链不仅是一个[#]。在SAM中，这只是一个“行”。而SAM的兼容链则是由许多个“行”所构成的“面”		其次，SAM的兼容链不仅是一个[#]。在SAM中，这只是一个“行”。而SAM的兼容链则是由许多个“行”所构成的“面”

	再次，SAM的定义需要pfffz(即p.f.e.c fffz)~~的定义，而pfffz实际上就是把Ω给直接且不折叠地放进fffz里，缺失的结构和基本列长度则通过和SAM一样的方法补全~~		再次，SAM的定义需要pfffz(即p.f.e.c fffz)的定义，而pfffz实际上就是把<math>\Omega</math>给直接且不折叠地放进fffz里，缺失的结构和基本列长度则通过和SAM一样的方法补全

	然后，SAM的完整定义如下：		然后，SAM的完整定义如下：

	ψS(0)=1		# <math>\psi_S(0)=1</math>
			# <math>\psi_S(S+1)=h_{S+1}</math>
	ψS(S+1)=h_(S+1)		# <math>\psi_S\#'[\&](n)=min~\alpha\rightarrow g(\alpha)</math> 第2条规则无法使用且 n的最内项为“<math>S_{...}</math>”且“&的末项”>n 且 <math>n>min~\alpha\rightarrow g(\alpha)</math>，其中g(x)=“把n的最内项替换为x后，所得的新n的值”
			# <math>\psi_S\#'[\&](n)=\psi_S\#'[\&,n]'[f(n,g(\&\text{的末项})](f(n,g(\&\text{的末项})))</math> 第2、3条规则无法使用且 [&,n]存在且 [%,n]存在
	ψS#'[&](n)=min ~~α→g~~(α) 第2条规则无法使用且 ~~n的最内项为“S_~~...”且“&的末项”>n 且 n>min ~~α→g~~(α)，其中g(x)=“把n的最内项替换为x后，所得的新n的值”		# <math>\psi_S\#'[\&](n)=min~\alpha\rightarrow\psi_S\#[\&,n](\alpha)</math> 第2、3条规则无法使用且 [&,n]存在且 [%,n]不存在且 n为极限序数
			# <math>\psi_S\#'[\&](n)=\psi_S\#'[\&](n-1)\times\omega</math> 第2、3条规则无法使用且 [&,n]存在且 [%,n]不存在且 n为后继序数
	ψS#'[&](n)=ψS#'[&,n]'[f(n,g(&的末项)](f(n,g(&的末项))) 第2、3条规则无法使用且 [&,n]存在且 [%,n]存在		# <math>\psi_S\#'[\&](n)=min\{\alpha\|\alpha>\psi_S\#'[\&](<n)\}</math> 第2、3条规则无法使用且 [&,n]不存在
			# <math>\psi_S\#[\&](n)=\psi_S\#[\&,n]'[f(n)](f(n))</math> [&,n]存在且 [%,n]存在
	ψS#'[&](n)=min ~~α→ψS~~#[&,n](α) 第2、3条规则无法使用且 [&,n]存在且 [%,n]不存在且 n为极限序数		# <math>\psi_S\#[\&](n)=min~\alpha\rightarrow\psi_S\#[\&,n](\alpha)</math> [&,n]存在且 [%,n]不存在且 n为极限序数
			# <math>\psi_S\#[\&](n)=\psi_S\#[\&](n-1)\times\omega</math> [&,n]存在且 [%,n]不存在且 n为后继序数
	ψS#'[&](n)=ψS#'[&](n-1)×ω 第2、3条规则无法使用且 [&,n]存在且 [%,n]不存在且 n为后继序数		# <math>\psi_S\#[\&](n)=min\{\alpha\|\alpha>\psi_S\#'[\&](<n)\}</math> [&,n]不存在

	ψS#'[&](n)=min{α\|α>ψS#'[&](<n)} 第2、3条规则无法使用且 [&,n]不存在

	ψS#[&](n)=ψS#[&,n]'[f(n)](f(n)) [&,n]存在且 [%,n]存在

	ψS#[&](n)=min ~~α→ψS~~#[&,n](α) [&,n]存在且 [%,n]不存在且 n为极限序数

	ψS#[&](n)=ψS#[&](n-1)×ω [&,n]存在且 [%,n]不存在且 n为后继序数

	ψS#[&](n)=min{α\|α>ψS#'[&](<n)} [&,n]不存在

	化简规则		化简规则

	ψS#[&,m](n)=ψS#[&](n) m>n 或 [&,m]不存在		# <math>\psi_S\#[\&,m](n)=\psi_S\#[\&](n)</math> m>n 或 [&,m]不存在
			# <math>\psi_S\#[](n)=\psi_S\#(n)</math>
			# <math>\psi_S\#[\&,m]'(n)=\psi_S\#[\&,m](n)</math> m>n 或 n<S

	~~ψS#[]~~(n)=~~ψS#~~(n)		附加规则
			f(n,m)=“找到n中最外小于<math>S_m</math>的内项，如果等于n则为<math>h_{S_m+1}</math>。否则如果不等于n且是极限序数则将其替换为<math>S_m</math>；如果不等于n且是后继序数则将其替换为其后继；如果不存在则为<math>h(S_m+1)</math> ，最终所得的新n的值”
			<math>g(x)=max\{S_v\|x\geq S_v\}</math>

	~~ψS#[&,m]'~~(n)=~~ψS#[&,m](n) m~~>~~n 或 n<S~~		激活函数<math>h(x)=\Omega_{x+1}</math>

	~~附加规则~~		<math>\psi_S\#[\&](n)</math>的直接内项，是n的末项
	f(n,m)=“找到n中最外小于S_m的内项，如果等于n则为h_(S_m+1)。否则如果不等于n且是极限序数则将其替换为S_m；如果不等于n且是后继序数则将其替换为其后继；如果不存在则为h(S_m+1) ，最终所得的新n的值”
	~~g(x)=max{S_v\|x≥S_v}~~
	~~激活函数h(x)=Ω_(x+1)~~
	ψS#[&](n)的直接内项，是n的末项
	多项式的直接内项，是其末项		多项式的直接内项，是其末项
	0和S_...的直接内项是自身		0和S_...的直接内项是自身
第55行：		第45行：
	n的最内项，是指所属层数最大的内项		n的最内项，是指所属层数最大的内项
	项，是序数		项，是序数

	行，是由项依次有序组成的序列		行，是由项依次有序组成的序列

	面，是由行依次有序组成的序列，行之间可以直接连接，也可间隔一个'间接连接，'右		面，是由行依次有序组成的序列，行之间可以直接连接，也可间隔一个'间接连接，'右
	[[分类:记号]]		[[分类:记号]]

2025年7月30日 (三) 04:50 Z

2025-07-30T04:50:12Z

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第57行：		第57行：
	行，是由项依次有序组成的序列		行，是由项依次有序组成的序列
	面，是由行依次有序组成的序列，行之间可以直接连接，也可间隔一个'间接连接，'右		面，是由行依次有序组成的序列，行之间可以直接连接，也可间隔一个'间接连接，'右
			[[分类:记号]]

2025年7月20日 (日) 11:39 夏夜星空

2025-07-20T11:39:18Z

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第1行：		第1行：
	'''SAM'''		'''SAM'''
	~~SAM，即Simple~~ Admissble Mark，简单非递归系统''（事实上这里中英不完全一致，但是别管历史遗留问题）''，分为New.和Old.~~两个版本~~		即Simple Admissble Mark，简单非递归系统''（事实上这里中英不完全一致，但是别管历史遗留问题）''，分为New.和Old.两个版本。Old.版本更简洁，但是在常用的环境下，难以准确定义，而New.版本的良定义程度和投影序数完全一致

			SAM的理念是“用小递归序数的结构理想地表示出大非递归序数的各类层级和结构，然后再放入非递归序数，实现‘左脚踩右脚上天’的效果”。而目前能近似实现上述功能的事物只有兼容（小递归序数表示大递归序数），因此，SAM选择了兼容作为理想表示的暂时的、局部的实现方式。但是我们可以注意到，这事实上不可能绝对理想的被实现，所以绝对理想的SAM在理论中也许并不存在，我们目前用的只是一种“将就”的定义

			本页面将主要叙述SAM的New版本

			首先，SAM存在一类大序数，形如S_...，就像投影中有各种各样的α_...一样，前者的部分性质同样也可以参考后者

			其次，SAM的兼容链不仅是一个[#]。在SAM中，这只是一个“行”。而SAM的兼容链则是由许多个“行”所构成的“面”

			再次，SAM的定义需要pfffz(即p.f.e.c fffz)的定义，而pfffz实际上就是把Ω给直接且不折叠地放进fffz里，缺失的结构和基本列长度则通过和SAM一样的方法补全

			然后，SAM的完整定义如下：

			ψS(0)=1

			ψS(S+1)=h_(S+1)

			ψS#'[&](n)=min α→g(α) 第2条规则无法使用且 n的最内项为“S_...”且“&的末项”>n 且 n>min α→g(α)，其中g(x)=“把n的最内项替换为x后，所得的新n的值”

			ψS#'[&](n)=ψS#'[&,n]'[f(n,g(&的末项)](f(n,g(&的末项))) 第2、3条规则无法使用且 [&,n]存在且 [%,n]存在

			ψS#'[&](n)=min α→ψS#[&,n](α) 第2、3条规则无法使用且 [&,n]存在且 [%,n]不存在且 n为极限序数

			ψS#'[&](n)=ψS#'[&](n-1)×ω 第2、3条规则无法使用且 [&,n]存在且 [%,n]不存在且 n为后继序数

			ψS#'[&](n)=min{α\|α>ψS#'[&](<n)} 第2、3条规则无法使用且 [&,n]不存在

			ψS#[&](n)=ψS#[&,n]'[f(n)](f(n)) [&,n]存在且 [%,n]存在

			ψS#[&](n)=min α→ψS#[&,n](α) [&,n]存在且 [%,n]不存在且 n为极限序数

			ψS#[&](n)=ψS#[&](n-1)×ω [&,n]存在且 [%,n]不存在且 n为后继序数

			ψS#[&](n)=min{α\|α>ψS#'[&](<n)} [&,n]不存在

			化简规则

			ψS#[&,m](n)=ψS#[&](n) m>n 或 [&,m]不存在

			ψS#[](n)=ψS#(n)

			ψS#[&,m]'(n)=ψS#[&,m](n) m>n 或 n<S

			附加规则
			f(n,m)=“找到n中最外小于S_m的内项，如果等于n则为h_(S_m+1)。否则如果不等于n且是极限序数则将其替换为S_m；如果不等于n且是后继序数则将其替换为其后继；如果不存在则为h(S_m+1) ，最终所得的新n的值”
			g(x)=max{S_v\|x≥S_v}
			激活函数h(x)=Ω_(x+1)
			ψS#[&](n)的直接内项，是n的末项
			多项式的直接内项，是其末项
			0和S_...的直接内项是自身
			n的内项，是自身和自身内项的直接内项
			n的间接内项，是不是n的直接内项的 n的内项
			n的最内项，是指所属层数最大的内项
			项，是序数
			行，是由项依次有序组成的序列
			面，是由行依次有序组成的序列，行之间可以直接连接，也可间隔一个'间接连接，'右

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2025-07-20T11:17:55Z

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