Rayo函数 - 版本历史

Z：修正公式显示错误的问题

2025-08-26T12:38:45Z

修正公式显示错误的问题

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第48行：		第48行：
	我们有：		我们有：

	~~<math>~~\begin{~~align~~}&0 = &\{\} = (\neg\exists x_2(x_2 \in x_1)) \ \textrm{(10 symbols)} \\&1 = &\{\{\}\} = (\exists x_2(x_2 \in x_1) \land (\neg\exists x_3((x_3 \in x_1 \land \exists x_4(x_4 \in x_3))))) \ \textrm{(30 symbols)} \\&2 = &\{\{\},\{\{\}\}\} = (\exists x_2(\exists x_3((x_3 \in x_2 \land (x_2 \in x_1 \land x_3 \in x_1)))) \land (\neg \exists x_4(\exists x_2(\exists x_3((x_4 \in x_3 \land (x_3 \in x_2 \land x_2 \in x_1))))))) \ \textrm{(56 symbols)}\end{~~align~~}~~</math>~~		\begin{eqnarray}0 & = & \{\} = (\neg\exists x_2(x_2 \in x_1)) \ \textrm{(10 symbols)} \\1 & = & \{\{\}\} = (\exists x_2(x_2 \in x_1) \land (\neg\exists x_3((x_3 \in x_1 \land \exists x_4(x_4 \in x_3))))) \ \textrm{(30 symbols)} \\2 & = & \{\{\},\{\{\}\}\} \\& = & (\exists x_2(\exists x_3((x_3 \in x_2 \land (x_2 \in x_1 \land x_3 \in x_1)))) \\& & \land (\neg \exists x_4(\exists x_2(\exists x_3((x_4 \in x_3 \land (x_3 \in x_2 \land x_2 \in x_1))))))) \ \textrm{(56 symbols)}\end{eqnarray}

	因此我们有：		因此我们有：

U3Vzc3liYWth：修复公式错误和引用错误

2025-08-25T16:10:26Z

修复公式错误和引用错误

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第8行：		第8行：
	通俗地说，Rayo 函数 Rayo(n) 的定义为：不能够用包含字符数为 n 的[[一阶逻辑]]语句定义的最小的自然数。		通俗地说，Rayo 函数 Rayo(n) 的定义为：不能够用包含字符数为 n 的[[一阶逻辑]]语句定义的最小的自然数。

	Rayo数定义为<math>Rayo(10^{100})</math>		Rayo数定义为<math>\text{Rayo}(10^{100})</math>

	关于 Rayo 函数，有几点值得说明一下。首先，它不是用自然语言表述出的“不能用 n个字确定的最小自然数”。例如，我们可以考虑“不能用二十个字确定的最小自然数”，这句话确定了一个自然数。但是这句话本身又少于 20 个字，因此这个数也能够用小于 20 个字来确定。因此这句话产生了悖论，我们称之为 Perry 悖论。究其原因，这种悖论是由于自然语言的模糊性导致的。相比之下，Rayo 数的规则是明确的，因此不会产生这一问题。		关于 Rayo 函数，有几点值得说明一下。首先，它不是用自然语言表述出的“不能用 n个字确定的最小自然数”。例如，我们可以考虑“不能用二十个字确定的最小自然数”，这句话确定了一个自然数。但是这句话本身又少于 20 个字，因此这个数也能够用小于 20 个字来确定。因此这句话产生了悖论，我们称之为 Perry 悖论。究其原因，这种悖论是由于自然语言的模糊性导致的。相比之下，Rayo 数的规则是明确的，因此不会产生这一问题。
第15行：		第15行：

	=== 正式定义 ===		=== 正式定义 ===
	令<math>[\phi]</math>和<math>[\psi]</math>为 Gödel 编码公式，s 和 t 为变量。定义<math>Sat([\phi], s)</math>如下:		令<math>[\phi]</math>和<math>[\psi]</math>为 Gödel 编码公式，s 和 t 为变量。定义<math>\text{Sat}([\phi], s)</math>如下:

	<math>\forall R \{</math>		<math>\forall R \{</math>
第30行：		第30行：
	我们称自然数 m 为 Rayo 可命名的，如果存在一个公式 <math>\phi(x_1)</math> 小于 n 个符号且<math>x_1</math>作为其唯一的自由变量满足以下性质：		我们称自然数 m 为 Rayo 可命名的，如果存在一个公式 <math>\phi(x_1)</math> 小于 n 个符号且<math>x_1</math>作为其唯一的自由变量满足以下性质：

	# 存在一个变量赋值 s，赋值 x1 := m，使得<math>Sat ([\phi (x_1)] , s)</math>。		# 存在一个变量赋值 s，赋值 x1 := m，使得<math>\text{Sat} ([\phi (x_1)] , s)</math>。
	# 对于任何变量赋值 t，如果 <math>Sat ([\phi (x_1)] , t)</math>，则 t 必须有 <math>x_1 = m</math>。		# 对于任何变量赋值 t，如果 <math>\text{Sat} ([\phi (x_1)] , t)</math>，则 t 必须有 <math>x_1 = m</math>。

	Rayo(n) 是大于使用 n 个符号的 Rayo 可命名的所有数的最小数。		Rayo(n) 是大于使用 n 个符号的 Rayo 可命名的所有数的最小数。
第48行：		第48行：
	我们有：		我们有：

	\begin{eqnarray}0 & = & \{\} = (\neg\exists x_2(x_2 \in x_1)) \ \textrm{(10 symbols)} \\1 & = & \{\{\}\} = (\exists x_2(x_2 \in x_1) \land (\neg\exists x_3((x_3 \in x_1 \land \exists x_4(x_4 \in x_3))))) \ \textrm{(30 symbols)} \\2 & = & \{\{\},\{\{\}\}\} ~~\\&~~ = & (\exists x_2(\exists x_3((x_3 \in x_2 \land (x_2 \in x_1 \land x_3 \in x_1)))) ~~\\& &~~ \land (\neg \exists x_4(\exists x_2(\exists x_3((x_4 \in x_3 \land (x_3 \in x_2 \land x_2 \in x_1))))))) \ \textrm{(56 symbols)}\end{eqnarray}		<math>\begin{align}&0 = &\{\} = (\neg\exists x_2(x_2 \in x_1)) \ \textrm{(10 symbols)} \\&1 = &\{\{\}\} = (\exists x_2(x_2 \in x_1) \land (\neg\exists x_3((x_3 \in x_1 \land \exists x_4(x_4 \in x_3))))) \ \textrm{(30 symbols)} \\&2 = &\{\{\},\{\{\}\}\} = (\exists x_2(\exists x_3((x_3 \in x_2 \land (x_2 \in x_1 \land x_3 \in x_1)))) \land (\neg \exists x_4(\exists x_2(\exists x_3((x_4 \in x_3 \land (x_3 \in x_2 \land x_2 \in x_1))))))) \ \textrm{(56 symbols)}\end{align}</math>

	因此我们有：		因此我们有：

	\begin{eqnarray}\text{Rayo}(0) &=& 0 \\\text{Rayo}(10) &\ge& 1 \\\text{Rayo}(30) &\ge& 2 \\\text{Rayo}(56) &\ge& 3 \\\end{eqnarray}		<math>\begin{align}\text{Rayo}(0) &=& 0 \\\text{Rayo}(10) &\ge& 1 \\\text{Rayo}(30) &\ge& 2 \\\text{Rayo}(56) &\ge& 3 \\\end{align}</math>

	这只是给出了下限，精确值是由Plain'N'Simple、Emk 和 Ytosk给出的<ref>Plain'N'Simple, [https://googology.fandom.com/wiki/User_blog:Plain%27N%27Simple/Proof_that_Rayo(n)_is_0_for_n_less_than_10 Proof that Rayo(n) is 0 for n less than 10], Googology Wiki user blog.</ref><ref>Emk, [https://googology.fandom.com/wiki/User_blog:Emk/Rayo(10)_is_exactly_1_(not_a_lower_bound) Rayo(10) is exactly 1 (not a lower bound)], Googology Wiki user blog.</ref><ref>Plain'N'Simple, [https://googology.fandom.com/wiki/User_blog:Plain%27N%27Simple/Proof_that_Rayo(n)_is_1_for_n_between_10_to_19 Proof that Rayo(n) is 1 for n between 10 and 19], Googology Wiki user blog.</ref><ref>Ytosk, [https://googology.fandom.com/wiki/User_blog:Ytosk/Small_improvements_to_bounds_on_values_of_Rayo%27s_function Small improvements to bounds on values of Rayo's function], Googology Wiki user blog.</ref>		这只是给出了下限，精确值是由Plain'N'Simple、Emk 和 Ytosk给出的<ref>Plain'N'Simple, [https://googology.fandom.com/wiki/User_blog:Plain%27N%27Simple/Proof_that_Rayo(n)_is_0_for_n_less_than_10 Proof that Rayo(n) is 0 for n less than 10], Googology Wiki user blog.</ref><ref>Emk, [https://googology.fandom.com/wiki/User_blog:Emk/Rayo(10)_is_exactly_1_(not_a_lower_bound) Rayo(10) is exactly 1 (not a lower bound)], Googology Wiki user blog.</ref><ref>Plain'N'Simple, [https://googology.fandom.com/wiki/User_blog:Plain%27N%27Simple/Proof_that_Rayo(n)_is_1_for_n_between_10_to_19 Proof that Rayo(n) is 1 for n between 10 and 19], Googology Wiki user blog.</ref><ref name="Yto">Ytosk, [https://googology.fandom.com/wiki/User_blog:Ytosk/Small_improvements_to_bounds_on_values_of_Rayo%27s_function Small improvements to bounds on values of Rayo's function], Googology Wiki user blog.</ref>

	\begin{eqnarray}\text{Rayo}(0) &=& 0 \\&\vdots& \\\text{Rayo}(9) &=& 0 \\\text{Rayo}(10) &=& 1 \\&\vdots& \\\text{Rayo}(29) &=& 1 \\\text{Rayo}(30) &\ge& 2 \\\end{eqnarray}		<math>\begin{align}\text{Rayo}(0) &=& 0 \\&\vdots& \\\text{Rayo}(9) &=& 0 \\\text{Rayo}(10) &=& 1 \\&\vdots& \\\text{Rayo}(29) &=& 1 \\\text{Rayo}(30) &\ge& 2 \\\end{align}</math>

	除此之外，Ytosk还展示了<math>Rayo(88)\geq4</math>以及<math>Rayo(34+20n)>n</math>.<ref~~>Ytosk, [https:~~/~~/googology.fandom.com/wiki/User_blog:Ytosk/Small_improvements_to_bounds_on_values_of_Rayo%27s_function Small improvements to bounds on values of Rayo's function], Googology Wiki user blog.</ref~~>		除此之外，Ytosk还展示了<math>Rayo(88)\geq4</math>以及<math>Rayo(34+20n)>n</math>.<ref name="Yto"/>

	从 2020 年 4 月开始，[[googology]]爱好者关于如何使用Rayo字符串表示数字<math>65536=2\uparrow\uparrow 4</math>以及类似的，2的指数塔，做了大量的研究。Plain'N'Simple 是第一个完成这项任务的人，表明<math>\text{Rayo}(835+96n) > 2 \uparrow\uparrow n</math>.当然，这是早期成果，还有很多改进要做。最后，通过 Plain'N'Simple、P进大好きbot 和 Ytosk 的各种努力，表明<math>\text{Rayo}(260+20n) > 2\uparrow\uparrow n</math><ref~~>Ytosk, [https:~~/~~/googology.fandom.com/wiki/User_blog:Ytosk/Small_improvements_to_bounds_on_values_of_Rayo%27s_function Small improvements to bounds on values of Rayo's function], Googology Wiki user blog.</ref~~>，因此我们有：		从 2020 年 4 月开始，[[googology]]爱好者关于如何使用Rayo字符串表示数字<math>65536=2\uparrow\uparrow 4</math>以及类似的，2的指数塔，做了大量的研究。Plain'N'Simple 是第一个完成这项任务的人，表明<math>\text{Rayo}(835+96n) > 2 \uparrow\uparrow n</math>.当然，这是早期成果，还有很多改进要做。最后，通过 Plain'N'Simple、P进大好きbot 和 Ytosk 的各种努力，表明<math>\text{Rayo}(260+20n) > 2\uparrow\uparrow n</math><ref name="Yto"/>，因此我们有：

	<~~nowiki~~>\begin{eqnarray}\text{Rayo}(320) &>& 16 \\\text{Rayo}(340) &>& 65536 \\\text{Rayo}(360) &>& 2^{65536} \\\text{Rayo}(380) &>& 2^{2^{65536}} \\ \end{eqnarray}</~~nowiki~~>		<math>\begin{align}\text{Rayo}(320) &>& 16 \\\text{Rayo}(340) &>& 65536 \\\text{Rayo}(360) &>& 2^{65536} \\\text{Rayo}(380) &>& 2^{2^{65536}} \\ \end{align}</math>

	Emk 已经证明<math>\text{Rayo}(7901)>\text{S}(2^{65536}-1)</math>,其中S(n)是[[忙碌海狸函数#疯狂青蛙函数 S(n)\|疯狂青蛙函数]]<ref>Emk, [https://googology.fandom.com/wiki/User_blog:Emk/A_Rayo_name_larger_than_BB(10%5E100) A Rayo name larger than BB(10^100)], Googology Wiki user blog.</ref>。然而，由于他的博客文章使用过时的 Rayo 字符串，这个下限没有应有的那么强。目前我们有<math>\text{Rayo}(7339)>\text{S}(2^{65536}-1)</math>。		Emk 已经证明<math>\text{Rayo}(7901)>\text{S}(2^{65536}-1)</math>,其中S(n)是[[忙碌海狸函数#疯狂青蛙函数 S(n)\|疯狂青蛙函数]]<ref>Emk, [https://googology.fandom.com/wiki/User_blog:Emk/A_Rayo_name_larger_than_BB(10%5E100) A Rayo name larger than BB(10^100)], Googology Wiki user blog.</ref>。然而，由于他的博客文章使用过时的 Rayo 字符串，这个下限没有应有的那么强。目前我们有<math>\text{Rayo}(7339)>\text{S}(2^{65536}-1)</math>。

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第84行：		第84行：
	在数学中，存在许多良定义但非绝对的概念（即依赖于模型），例如满足条件<math>(CH\rightarrow n=0)\land(\neg CH\rightarrow n=1)</math>的唯一自然数n。同样在大数领域，许多数值本身就具有模型依赖性，比如忙碌海狸函数的值。值得注意的是，在"大数对决"竞赛中，从未禁止过依赖模型的数值定义，甚至允许参与者不指定公理系统。		在数学中，存在许多良定义但非绝对的概念（即依赖于模型），例如满足条件<math>(CH\rightarrow n=0)\land(\neg CH\rightarrow n=1)</math>的唯一自然数n。同样在大数领域，许多数值本身就具有模型依赖性，比如忙碌海狸函数的值。值得注意的是，在"大数对决"竞赛中，从未禁止过依赖模型的数值定义，甚至允许参与者不指定公理系统。

			== 引证 ==
	{{默认排序:相关问题}}		{{默认排序:相关问题}}
	[[分类:记号]]		[[分类:记号]]

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第46行：		第46行：

	== 取值 ==		== 取值 ==
			我们有：

	\begin{eqnarray}0 & = & \{\} = (\neg\exists x_2(x_2 \in x_1)) \ \textrm{(10 symbols)} \\1 & = & \{\{\}\} = (\exists x_2(x_2 \in x_1) \land (\neg\exists x_3((x_3 \in x_1 \land \exists x_4(x_4 \in x_3))))) \ \textrm{(30 symbols)} \\2 & = & \{\{\},\{\{\}\}\} \\& = & (\exists x_2(\exists x_3((x_3 \in x_2 \land (x_2 \in x_1 \land x_3 \in x_1)))) \\& & \land (\neg \exists x_4(\exists x_2(\exists x_3((x_4 \in x_3 \land (x_3 \in x_2 \land x_2 \in x_1))))))) \ \textrm{(56 symbols)}\end{eqnarray}		\begin{eqnarray}0 & = & \{\} = (\neg\exists x_2(x_2 \in x_1)) \ \textrm{(10 symbols)} \\1 & = & \{\{\}\} = (\exists x_2(x_2 \in x_1) \land (\neg\exists x_3((x_3 \in x_1 \land \exists x_4(x_4 \in x_3))))) \ \textrm{(30 symbols)} \\2 & = & \{\{\},\{\{\}\}\} \\& = & (\exists x_2(\exists x_3((x_3 \in x_2 \land (x_2 \in x_1 \land x_3 \in x_1)))) \\& & \land (\neg \exists x_4(\exists x_2(\exists x_3((x_4 \in x_3 \land (x_3 \in x_2 \land x_2 \in x_1))))))) \ \textrm{(56 symbols)}\end{eqnarray}

第62行：		第64行：
	<nowiki>\begin{eqnarray}\text{Rayo}(320) &>& 16 \\\text{Rayo}(340) &>& 65536 \\\text{Rayo}(360) &>& 2^{65536} \\\text{Rayo}(380) &>& 2^{2^{65536}} \\ \end{eqnarray}</nowiki>		<nowiki>\begin{eqnarray}\text{Rayo}(320) &>& 16 \\\text{Rayo}(340) &>& 65536 \\\text{Rayo}(360) &>& 2^{65536} \\\text{Rayo}(380) &>& 2^{2^{65536}} \\ \end{eqnarray}</nowiki>

	Emk 已经证明<math>\text{Rayo}(7901)>\text{S}(2^{65536}-1)</math>,其中S(n)是[[忙碌海狸函数#疯狂青蛙函数 S(n)\|疯狂青蛙函数]]<ref>Emk, [https://googology.fandom.com/wiki/User_blog:Emk/A_Rayo_name_larger_than_BB(10%5E100) A Rayo name larger than BB(10^100)], Googology Wiki user blog.</ref>。然而，由于他的博客文章使用过时的 Rayo ~~字符串来表示~~		Emk 已经证明<math>\text{Rayo}(7901)>\text{S}(2^{65536}-1)</math>,其中S(n)是[[忙碌海狸函数#疯狂青蛙函数 S(n)\|疯狂青蛙函数]]<ref>Emk, [https://googology.fandom.com/wiki/User_blog:Emk/A_Rayo_name_larger_than_BB(10%5E100) A Rayo name larger than BB(10^100)], Googology Wiki user blog.</ref>。然而，由于他的博客文章使用过时的 Rayo 字符串，这个下限没有应有的那么强。目前我们有<math>\text{Rayo}(7339)>\text{S}(2^{65536}-1)</math>。

	~~，这个下限没有应有的那么强。目前我们有~~<math>\text{Rayo}(7339)>\text{S}(2^{65536}-1)</math>

	== 历史 ==		== 历史 ==

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@@ 第1行： / 第1行： @@
-Rayo函数，是目前被命名的增长速度最快速的函数之一。它是Agustín Rayo在2007年1月26日，在麻省理工大学的“大数比赛”[[Big Number Duel]]中提出的<ref>[https://web.mit.edu/arayo/www/bignums.html A. Rayo, "Big Number Duel", 2007]</ref>。
+Rayo函数，是目前被命名的增长速度最快速的函数之一。
 == 定义 ==
@@ 第46行： / 第46行： @@
 == 取值 ==
-\begin{eqnarray*}0 & = & \{\} = (\neg\exists x_2(x_2 \in x_1)) \ \textrm{(10 symbols)} \\1 & = & \{\{\}\} = (\exists x_2(x_2 \in x_1) \land (\neg\exists x_3((x_3 \in x_1 \land \exists x_4(x_4 \in x_3))))) \ \textrm{(30 symbols)} \\2 & = & \{\{\},\{\{\}\}\} \\& = & (\exists x_2(\exists x_3((x_3 \in x_2 \land (x_2 \in x_1 \land x_3 \in x_1)))) \\& & \land (\neg \exists x_4(\exists x_2(\exists x_3((x_4 \in x_3 \land (x_3 \in x_2 \land x_2 \in x_1))))))) \ \textrm{(56 symbols)}\end{eqnarray*}{{默认排序:相关问题}}
+\begin{eqnarray*}0 & = & \{\} = (\neg\exists x_2(x_2 \in x_1)) \ \textrm{(10 symbols)} \\1 & = & \{\{\}\} = (\exists x_2(x_2 \in x_1) \land (\neg\exists x_3((x_3 \in x_1 \land \exists x_4(x_4 \in x_3))))) \ \textrm{(30 symbols)} \\2 & = & \{\{\},\{\{\}\}\} \\& = & (\exists x_2(\exists x_3((x_3 \in x_2 \land (x_2 \in x_1 \land x_3 \in x_1)))) \\& & \land (\neg \exists x_4(\exists x_2(\exists x_3((x_4 \in x_3 \land (x_3 \in x_2 \land x_2 \in x_1))))))) \ \textrm{(56 symbols)}\end{eqnarray*}
 [[分类:记号]]

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2025-08-22T08:44:59Z

@@ 第46行： / 第46行： @@
 == 取值 ==
-\begin{eqnarray*}
+\begin{eqnarray*}0 & = & \{\} = (\neg\exists x_2(x_2 \in x_1)) \ \textrm{(10 symbols)} \\1 & = & \{\{\}\} = (\exists x_2(x_2 \in x_1) \land (\neg\exists x_3((x_3 \in x_1 \land \exists x_4(x_4 \in x_3))))) \ \textrm{(30 symbols)} \\2 & = & \{\{\},\{\{\}\}\} \\& = & (\exists x_2(\exists x_3((x_3 \in x_2 \land (x_2 \in x_1 \land x_3 \in x_1)))) \\& & \land (\neg \exists x_4(\exists x_2(\exists x_3((x_4 \in x_3 \land (x_3 \in x_2 \land x_2 \in x_1))))))) \ \textrm{(56 symbols)}\end{eqnarray*}{{默认排序:相关问题}}
 [[分类:记号]]

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 Rayo函数，是目前被命名的增长速度最快速的函数之一。它是Agustín Rayo在2007年1月26日，在麻省理工大学的“大数比赛”[[Big Number Duel]]中提出的<ref>[https://web.mit.edu/arayo/www/bignums.html A. Rayo, "Big Number Duel", 2007]</ref>。
-{{默认排序:相关问题}}
+== 定义 ==
 [[分类:记号]]

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Rayo函数，是目前被命名的增长速度最快速的函数之一。它是Agustín Rayo在2007年1月26日，在麻省理工大学的“大数比赛”[[Big Number Duel]]中提出的<ref>[https://web.mit.edu/arayo/www/bignums.html A. Rayo, "Big Number Duel", 2007]</ref>。

{{默认排序:相关问题}}
[[分类:记号]]

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