Levy 层次结构 - 版本历史

2025年8月17日 (日) 01:34 Tabelog

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	'''Levy 层次结构'''，是一阶集合论语言中运用复杂度对公式进行分类的一种方式。		'''Levy 层次结构'''，是一阶集合论语言中运用复杂度对公式进行分类的一种方式。

	== 定义 ==		=== 定义 ===

	我们将 [[ZFC公理体系\|ZFC 集合论]]所讨论的一阶公式进行以下的分层：		我们将 [[ZFC公理体系\|ZFC 集合论]]所讨论的一阶公式进行以下的分层：

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	一个公式是 <math>\Delta_{n}</math> 的当且仅当它即是 <math>\Pi_{n}</math> 又是 <math>\Sigma_{n}</math> 。		一个公式是 <math>\Delta_{n}</math> 的当且仅当它即是 <math>\Pi_{n}</math> 又是 <math>\Sigma_{n}</math> 。

	== 引理 ==		=== 引理 ===

	当 <math>n\geq 1</math> 时，		当 <math>n\geq 1</math> 时，
	# 如果 <math>P,Q</math> 是 <math>\Sigma_{n}</math> 性质，则 <math>\exist xP,P\and Q,P\or Q,(\exist u\in x)P,(\forall u\in x)P</math> 都是 <math>\Sigma_{n}</math> 的。		# 如果 <math>P,Q</math> 是 <math>\Sigma_{n}</math> 性质，则 <math>\exist xP,P\and Q,P\or Q,(\exist u\in x)P,(\forall u\in x)P</math> 都是 <math>\Sigma_{n}</math> 的。
第29行：		第27行：

	对于[[传递模型]]， <math>\Delta_0</math> 和 <math>\Delta_1</math> 公式具有'''绝对性'''，这是在说，任一 <math>\Delta_0</math> 或 <math>\Delta_1</math> 公式在不同的传递模型之间的真值是等同的。		对于[[传递模型]]， <math>\Delta_0</math> 和 <math>\Delta_1</math> 公式具有'''绝对性'''，这是在说，任一 <math>\Delta_0</math> 或 <math>\Delta_1</math> 公式在不同的传递模型之间的真值是等同的。
	~~== <math>\Sigma_{n}</math> 初等嵌入 ==~~

	我们说一个[[模型]] <math>(M,\in )\Sigma_{n}</math> [[~~模型#子模型\|~~初等嵌入]]于模型 <math>(N,\in )</math> ，当且仅当， <math>M\subset N</math> 且 <math>M</math> 和 <math>N</math> 满足同样的 <math>\Sigma_{n}</math> 公式。		=== <math>\Sigma_{n}</math> 初等嵌入 ===
			我们说一个[[模型]] <math>(M,\in )\Sigma_{n}</math> [[初等嵌入]]于模型 <math>(N,\in )</math> ，当且仅当， <math>M\subset N</math> 且 <math>M</math> 和 <math>N</math> 满足同样的 <math>\Sigma_{n}</math> 公式。

	[[分类:集合论相关]]		[[分类:集合论相关]]

2025年7月27日 (日) 08:42 QWQ-bili

2025-07-27T08:42:19Z

2025年7月27日 (日) 05:22 Tabelog

2025-07-27T05:22:23Z

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	== 定义 ==		== 定义 ==

	我们将[[ZFC公理体系\|~~ZFC集合论~~]]所讨论的一阶公式进行以下的分层：		我们将 [[ZFC公理体系\|ZFC 集合论]]所讨论的一阶公式进行以下的分层：

	* <math>\Delta_0/\Pi_0/\Sigma_0</math> 公式：一个拥有的量词唯一且是有界的公式。		* <math>\Delta_0/\Pi_0/\Sigma_0</math> 公式：一个拥有的量词唯一且是有界的公式。
第32行：		第32行：

	我们说一个[[模型]] <math>(M,\in )\Sigma_{n}</math> [[模型#子模型\|初等嵌入]]于模型 <math>(N,\in )</math> ，当且仅当， <math>M\subset N</math> 且 <math>M</math> 和 <math>N</math> 满足同样的 <math>\Sigma_{n}</math> 公式。		我们说一个[[模型]] <math>(M,\in )\Sigma_{n}</math> [[模型#子模型\|初等嵌入]]于模型 <math>(N,\in )</math> ，当且仅当， <math>M\subset N</math> 且 <math>M</math> 和 <math>N</math> 满足同样的 <math>\Sigma_{n}</math> 公式。

			[[分类:集合论相关]]

QWQ-bili：美化公式，调整排版

2025-07-20T15:38:53Z

美化公式，调整排版

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	~~我们将ZFC集合论所讨论的一阶公式进行以下的分层~~		'''Levy 层次结构'''，是一阶集合论语言中运用复杂度对公式进行分类的一种方式。

	~~Δ0/Π0/∑0公式：一个拥有的量词唯一且是有界的公式~~		== 定义 ==

	~~∑n+1公式：可以写成∃xφ的形式，当φ为Πn公式（可以推广到任意有限多个∃x）~~		我们将[[ZFC公理体系\|ZFC集合论]]所讨论的一阶公式进行以下的分层：

	Πn+~~1公式：可以写成∀xφ的形式，当φ是∑n公式（可以推广到任意有限多个∀x）~~		* <math>\Delta_0/\Pi_0/\Sigma_0</math> 公式：一个拥有的量词唯一且是有界的公式。
			* <math>\Sigma_{n+1}</math> 公式：可以写成 <math>\exist x\varphi</math> 的形式，当 <math>\varphi</math> 为 <math>\Pi_{n}</math> 公式 (可以推广到任意有限多个 <math>\exist x</math> )。
			* <math>\Pi_{n+1}</math> 公式：可以写成 <math>\forall x\varphi</math> 的形式，当 <math>\varphi</math> 是 <math>\Sigma_{n}</math> 公式 (可以推广到任意有限多个 <math>\forall x</math> )。

	~~我们说一个性质（类，关系）是Πn~~/~~∑n的，当且仅当它可以被表示成一个Πn~~/~~∑n公式~~		我们说一个性质(类，关系)是 <math>\Pi_{n}/\Sigma_{n}</math> 的，当且仅当它可以被表示成一个 <math>\Pi_{n}/\Sigma_{n}</math> 公式。

	~~一个函数F是∑n~~/~~Πn的当且仅当关系y~~=~~F（x）是∑n~~/~~Πn的~~		一个函数 <math>F</math> 是 <math>\Sigma_{n}/\Pi_{n}</math> 的当且仅当关系 <math>y=F(x)</math> 是 <math>\Sigma_{n}/\Pi_{n}</math> 的。

	~~一个公式是Δn的当且仅当它即是Πn又是∑n~~		一个公式是 <math>\Delta_{n}</math> 的当且仅当它即是 <math>\Pi_{n}</math> 又是 <math>\Sigma_{n}</math> 。

	~~引理：当n≥1~~		== 引理 ==

	1~~.如果P，Q是∑n性质，则∃xP，P∧Q，P∨Q，（∃u∈x）P，（∀u∈x）P都是∑n的~~		当 <math>n\leq 1</math> 时，
			# 如果 <math>P,Q</math> 是 <math>\Sigma_{n}</math> 性质，则 <math>\exist xP,P\and Q,P\or Q,(\exist u\in x)P,(\forall u\in x)P</math> 都是 <math>\Sigma_{n}</math> 的。
			# 如果 <math>P,Q</math> 是 <math>\Pi_{n}</math> 性质，则 <math>\forall xP,P\and Q,P\or Q,(\exist u\in x)P,(\forall u\in x)P</math> 都是 <math>\Pi_{n}</math> 的。
			# 如果 <math>P</math> 是 <math>\Sigma_{n}</math> 的，那么 <math>P</math> 的反命题是 <math>\Pi_{n}</math> 的，如果 <math>P</math> 是 <math>\Pi_{n}</math> 的， <math>P</math> 的反命题是 <math>\Sigma_{n}</math> 的。
			# 如果 <math>P</math> 是 <math>\Pi_{n}</math> 且 <math>Q</math> 是 <math>\Sigma_{n}</math> 公式，则 <math>P\rightarrow Q</math> 是 <math>\Sigma_{n}</math> 公式， <math>P</math> 为 <math>\Sigma_{n}</math> 且 <math>Q</math> 为 <math>\Pi_{n}</math> 的情况下， <math>P\rightarrow Q</math> 是 <math>\Pi_{n}</math> 公式。
			# 如果 <math>P,Q</math> 都是 <math>\Delta_{n}</math> 的，那么 <math>P</math> 的反命题 <math>,P\and Q,P\or Q,P\rightarrow Q,P\Leftrightarrow Q,(\forall u\in x)P,(\exist u\in x)P</math> 也都是 <math>\Delta_{n}</math> 。
			# 如果 <math>F</math> 是一个 <math>\Sigma_{n}</math> 函数，则 <math>F</math> 的定义域是一个 <math>\Sigma_{n}</math> 类。
			# 如果 <math>F</math> 是一个 <math>\Sigma_{n}</math> 函数且 <math>F</math> 的定义域是 <math>\Delta_{n}</math> 的， <math>F</math> 也是 <math>\Delta_{n}</math> 的。
			# 如果 <math>F,G</math> 都是 <math>\Sigma_{n}</math> 函数，它们的复合函数也是 <math>\Sigma_{n}</math> 函数。
			# 让 <math>F</math> 是 <math>\Sigma_{n}</math> 函数且 <math>P</math> 是 <math>\Sigma_{n}</math> 性质，则 <math>P(F(x))</math> 是 <math>\Sigma_{n}</math> 的。

	~~2.如果P，Q是Πn性质，则∀xP，P∧Q，P∨Q，（∃u∈x）P，（∀u∈x）P都是Πn的~~		对于传递模型， <math>\Delta_0</math> 和 <math>\Delta_1</math> 公式具有'''绝对性'''，这是在说，任一 <math>\Delta_0</math> 或 <math>\Delta_1</math> 公式在不同的传递模型之间的真值是等同的。
			== <math>\Sigma_{n}</math> 初等嵌入 ==

	~~3.如果P是∑n的，那么P的反命题是Πn的，如果P是Πn的，P的反命题是∑n的~~		我们说一个[[模型]] <math>(M,\in )\Sigma_{n}</math> [[模型#子模型\|初等嵌入]]于模型 <math>(N,\in )</math> ，当且仅当， <math>M\subset N</math> 且 <math>M</math> 和 <math>N</math> 满足同样的 <math>\Sigma_{n}</math> 公式。

	~~4.如果P是Πn且Q是∑n公式，则P→Q是∑n公式，P为∑n且Q为Πn的情况下，P→Q是Πn公式~~

	~~5.如果PQ都是Δn的，那么P的反，P∧Q，P∨Q，P→Q，P⇔Q，（∀u∈x）P，（∃u∈x）P也都是Δn~~

	~~6.如果F是一个∑n函数，则F的定义域是一个∑n类~~

	~~7.如果F是一个∑n函数且F的定义域是Δn的，F也是Δn的~~

	~~8.如果F，G都是∑n函数，它们的复合函数也是∑n函数~~

	~~9.让F是∑n函数且P是∑n性质，则P（F（x））是∑n的~~

	~~对于传递模型，Δ0和Δ1公式具有绝对性，这是再说，任一Δ0或Δ1公式在不同的传递模型之间的真值是等同的~~

	~~我们接着定义∑n初等嵌入~~

	~~我们说一个模型（M，∈）∑n初等嵌入于模型（N，∈），当且仅当，M⊂N且M和N满足同样的∑n公式~~

虚妄之幻：完整了

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完整了

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第1行：		第1行：
	我们将ZFC集合论所讨论的一阶公式进行以下的分层		我们将ZFC集合论所讨论的一阶公式进行以下的分层

			Δ0/Π0/∑0公式：一个拥有的量词唯一且是有界的公式

			∑n+1公式：可以写成∃xφ的形式，当φ为Πn公式（可以推广到任意有限多个∃x）

			Πn+1公式：可以写成∀xφ的形式，当φ是∑n公式（可以推广到任意有限多个∀x）

			我们说一个性质（类，关系）是Πn/∑n的，当且仅当它可以被表示成一个Πn/∑n公式

			一个函数F是∑n/Πn的当且仅当关系y=F（x）是∑n/Πn的

			一个公式是Δn的当且仅当它即是Πn又是∑n

			引理：当n≥1

			1.如果P，Q是∑n性质，则∃xP，P∧Q，P∨Q，（∃u∈x）P，（∀u∈x）P都是∑n的

			2.如果P，Q是Πn性质，则∀xP，P∧Q，P∨Q，（∃u∈x）P，（∀u∈x）P都是Πn的

			3.如果P是∑n的，那么P的反命题是Πn的，如果P是Πn的，P的反命题是∑n的

			4.如果P是Πn且Q是∑n公式，则P→Q是∑n公式，P为∑n且Q为Πn的情况下，P→Q是Πn公式

			5.如果PQ都是Δn的，那么P的反，P∧Q，P∨Q，P→Q，P⇔Q，（∀u∈x）P，（∃u∈x）P也都是Δn

			6.如果F是一个∑n函数，则F的定义域是一个∑n类

			7.如果F是一个∑n函数且F的定义域是Δn的，F也是Δn的

			8.如果F，G都是∑n函数，它们的复合函数也是∑n函数

			9.让F是∑n函数且P是∑n性质，则P（F（x））是∑n的

			对于传递模型，Δ0和Δ1公式具有绝对性，这是再说，任一Δ0或Δ1公式在不同的传递模型之间的真值是等同的

			我们接着定义∑n初等嵌入

			我们说一个模型（M，∈）∑n初等嵌入于模型（N，∈），当且仅当，M⊂N且M和N满足同样的∑n公式

虚妄之幻：初始

2025-07-20T14:29:12Z

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我们将ZFC集合论所讨论的一阶公式进行以下的分层

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第11行：		第11行：
	我们说一个性质(类，关系)是 <math>\Pi_{n}/\Sigma_{n}</math> 的，当且仅当它可以被表示成一个 <math>\Pi_{n}/\Sigma_{n}</math> 公式。		我们说一个性质(类，关系)是 <math>\Pi_{n}/\Sigma_{n}</math> 的，当且仅当它可以被表示成一个 <math>\Pi_{n}/\Sigma_{n}</math> 公式。

	~~一个函数~~ <math>F</math> 是 <math>\Sigma_{n}/\Pi_{n}</math> 的当且仅当关系 <math>y=F(x)</math> 是 <math>\Sigma_{n}/\Pi_{n}</math> 的。		一个[[ZFC公理体系#函数\|函数]] <math>F</math> 是 <math>\Sigma_{n}/\Pi_{n}</math> 的当且仅当关系 <math>y=F(x)</math> 是 <math>\Sigma_{n}/\Pi_{n}</math> 的。

	一个公式是 <math>\Delta_{n}</math> 的当且仅当它即是 <math>\Pi_{n}</math> 又是 <math>\Sigma_{n}</math> 。		一个公式是 <math>\Delta_{n}</math> 的当且仅当它即是 <math>\Pi_{n}</math> 又是 <math>\Sigma_{n}</math> 。
第17行：		第17行：
	== 引理 ==		== 引理 ==

	当 <math>n\~~leq~~ 1</math> 时，		当 <math>n\geq 1</math> 时，
	# 如果 <math>P,Q</math> 是 <math>\Sigma_{n}</math> 性质，则 <math>\exist xP,P\and Q,P\or Q,(\exist u\in x)P,(\forall u\in x)P</math> 都是 <math>\Sigma_{n}</math> 的。		# 如果 <math>P,Q</math> 是 <math>\Sigma_{n}</math> 性质，则 <math>\exist xP,P\and Q,P\or Q,(\exist u\in x)P,(\forall u\in x)P</math> 都是 <math>\Sigma_{n}</math> 的。
	# 如果 <math>P,Q</math> 是 <math>\Pi_{n}</math> 性质，则 <math>\forall xP,P\and Q,P\or Q,(\exist u\in x)P,(\forall u\in x)P</math> 都是 <math>\Pi_{n}</math> 的。		# 如果 <math>P,Q</math> 是 <math>\Pi_{n}</math> 性质，则 <math>\forall xP,P\and Q,P\or Q,(\exist u\in x)P,(\forall u\in x)P</math> 都是 <math>\Pi_{n}</math> 的。
第23行：		第23行：
	# 如果 <math>P</math> 是 <math>\Pi_{n}</math> 且 <math>Q</math> 是 <math>\Sigma_{n}</math> 公式，则 <math>P\rightarrow Q</math> 是 <math>\Sigma_{n}</math> 公式， <math>P</math> 为 <math>\Sigma_{n}</math> 且 <math>Q</math> 为 <math>\Pi_{n}</math> 的情况下， <math>P\rightarrow Q</math> 是 <math>\Pi_{n}</math> 公式。		# 如果 <math>P</math> 是 <math>\Pi_{n}</math> 且 <math>Q</math> 是 <math>\Sigma_{n}</math> 公式，则 <math>P\rightarrow Q</math> 是 <math>\Sigma_{n}</math> 公式， <math>P</math> 为 <math>\Sigma_{n}</math> 且 <math>Q</math> 为 <math>\Pi_{n}</math> 的情况下， <math>P\rightarrow Q</math> 是 <math>\Pi_{n}</math> 公式。
	# 如果 <math>P,Q</math> 都是 <math>\Delta_{n}</math> 的，那么 <math>P</math> 的反命题 <math>,P\and Q,P\or Q,P\rightarrow Q,P\Leftrightarrow Q,(\forall u\in x)P,(\exist u\in x)P</math> 也都是 <math>\Delta_{n}</math> 。		# 如果 <math>P,Q</math> 都是 <math>\Delta_{n}</math> 的，那么 <math>P</math> 的反命题 <math>,P\and Q,P\or Q,P\rightarrow Q,P\Leftrightarrow Q,(\forall u\in x)P,(\exist u\in x)P</math> 也都是 <math>\Delta_{n}</math> 。
	# 如果 <math>F</math> 是一个 <math>\Sigma_{n}</math> 函数，则 <math>F</math> ~~的定义域是一个~~ <math>\Sigma_{n}</math> 类。		# 如果 <math>F</math> 是一个 <math>\Sigma_{n}</math> 函数，则 <math>F</math> 的[[ZFC公理体系#定义域\|定义域]]是一个 <math>\Sigma_{n}</math> 类。
	# 如果 <math>F</math> 是一个 <math>\Sigma_{n}</math> 函数且 <math>F</math> 的定义域是 <math>\Delta_{n}</math> 的， <math>F</math> 也是 <math>\Delta_{n}</math> 的。		# 如果 <math>F</math> 是一个 <math>\Sigma_{n}</math> 函数且 <math>F</math> 的定义域是 <math>\Delta_{n}</math> 的， <math>F</math> 也是 <math>\Delta_{n}</math> 的。
	# 如果 <math>F,G</math> 都是 <math>\Sigma_{n}</math> 函数，它们的复合函数也是 <math>\Sigma_{n}</math> 函数。		# 如果 <math>F,G</math> 都是 <math>\Sigma_{n}</math> 函数，它们的复合函数也是 <math>\Sigma_{n}</math> 函数。
	# 让 <math>F</math> 是 <math>\Sigma_{n}</math> 函数且 <math>P</math> 是 <math>\Sigma_{n}</math> 性质，则 <math>P(F(x))</math> 是 <math>\Sigma_{n}</math> 的。		# 如果 <math>F</math> 是 <math>\Sigma_{n}</math> 函数且 <math>P</math> 是 <math>\Sigma_{n}</math> 性质，则 <math>P(F(x))</math> 是 <math>\Sigma_{n}</math> 的。

	~~对于传递模型，~~ <math>\Delta_0</math> 和 <math>\Delta_1</math> 公式具有'''绝对性'''，这是在说，任一 <math>\Delta_0</math> 或 <math>\Delta_1</math> 公式在不同的传递模型之间的真值是等同的。		对于[[传递模型]]， <math>\Delta_0</math> 和 <math>\Delta_1</math> 公式具有'''绝对性'''，这是在说，任一 <math>\Delta_0</math> 或 <math>\Delta_1</math> 公式在不同的传递模型之间的真值是等同的。
	== <math>\Sigma_{n}</math> 初等嵌入 ==		== <math>\Sigma_{n}</math> 初等嵌入 ==

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