Goodstein函数 - 版本历史

2025年8月20日 (三) 08:12 Z

2025-08-20T08:12:57Z

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第258行：		第258行：

	据此可以得到，Goodstein函数的增长率为<math>\varepsilon_0</math>。		据此可以得到，Goodstein函数的增长率为<math>\varepsilon_0</math>。

			{{默认排序:相关问题}}
	[[分类:记号]]		[[分类:记号]]

QWQ-bili：修正wiki丑陋的CSS样式

2025-07-13T23:00:08Z

修正wiki丑陋的CSS样式

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第1行：		第1行：
	古德斯坦函数(Goodstein Function)~~是由鲁宾•古德斯坦~~(Reuben Goodstein)构造出的快速增长的函数。		'''古德斯坦函数(Goodstein Function)'''，是由鲁宾•古德斯坦(Reuben Goodstein)构造出的快速增长的函数。

	== 定义 ==		== 定义 ==
第28行：		第28行：
	== 例子 ==		== 例子 ==
	我们以较小的x作为例子，来计算一下<math>G(x)</math>.为了更加清晰，我们不展示<math>G_k(n)</math> 的具体值，而是展示它的以k+2为底的遗传记法表示。读者可以自行计算取值。		我们以较小的x作为例子，来计算一下<math>G(x)</math>.为了更加清晰，我们不展示<math>G_k(n)</math> 的具体值，而是展示它的以k+2为底的遗传记法表示。读者可以自行计算取值。
	{\| class="wikitable mw-collapsible mw-collapsed"		{\| class="wikitable mw-collapsible mw-collapsed" style="1"
	\|+x=1		\|+x=1<div style="display:inline;opacity:0;height:0;">aaaaa</div>
	!k		!k
	!<math>G_k(x)</math>以k+2为底的遗传记法表示		!<math>G_k(x)</math>以k+2为底的遗传记法表示
第41行：		第41行：
	因此G(1)=1.		因此G(1)=1.
	{\| class="wikitable mw-collapsible mw-collapsed"		{\| class="wikitable mw-collapsible mw-collapsed"
	\|+x=2		\|+x=2<div style="display:inline;opacity:0;height:0;">aaaaa</div>
	!k		!k
	!<math>G_k(x)</math>以k+2为底的遗传记法表示		!<math>G_k(x)</math>以k+2为底的遗传记法表示
第59行：		第59行：
	因此G(2)=3.		因此G(2)=3.
	{\| class="wikitable mw-collapsible mw-collapsed"		{\| class="wikitable mw-collapsible mw-collapsed"
	\|+x=3		\|+x=3<div style="display:inline;opacity:0;height:0;">aaaaa</div>
	!k		!k
	!<math>G_k(x)</math>以k+2为底的遗传记法表示		!<math>G_k(x)</math>以k+2为底的遗传记法表示
第85行：		第85行：
	从G(4)开始，古德斯坦函数将开始“起飞”		从G(4)开始，古德斯坦函数将开始“起飞”
	{\| class="wikitable mw-collapsible mw-collapsed"		{\| class="wikitable mw-collapsible mw-collapsed"
	\|+x=4		\|+x=4<div style="display:inline;opacity:0;height:0;">aaaaa</div>
	!k		!k
	!<math>G_k(x)</math>以k+2为底的遗传记法表示		!<math>G_k(x)</math>以k+2为底的遗传记法表示

2025年7月13日 (日) 17:20 Apocalypse

2025-07-13T17:20:44Z

@@ 第166行： / 第166行： @@
 记<math>R^\omega_a(b+1)=\alpha</math>。将<math>H_\alpha(a)</math>进行多次取基本列，使下标为后继序数，得到<math>H_\beta(a)</math>。那么：
-'''i)  <math>\beta</math>是好的，不考虑正整数项。'''
+'''1)  <math>\beta</math>是好的，不考虑正整数项。'''
 由于<math>H_\beta(a)</math>的自变量为<math>a</math>，取基本列时得到的正整数不超过<math>a</math>。那么只要证明产生<math>\beta</math>时得到的<math>a</math>会在下一步被立即使用即可：
@@ 第191行： / 第191行： @@
 由于<math>\theta</math>是好的，遗传记法是唯一的，故<math>\theta=R^\omega_a(b)</math>。从而<math>H_{R^\omega_a(b+1)}(a)=H_\alpha(a)=H_\beta(a)=H_{\theta+1}(a)=H_{R^\omega_a(b)+1}(a)</math>。引理得证。
-'''原命题的证明'''    对于一般的自然数<math>k</math>，根据Goodstein数列的定义，有<math>R^\omega_{k+3}(G_{k+1}(n)+1)=R^\omega_{k+2}(G_k(n))</math>。于是，
+'''原命题的证明'''    对于一般的自然数<math>k</math>，根据Goodstein序列的定义，有<math>R^\omega_{k+3}(G_{k+1}(n)+1)=R^\omega_{k+2}(G_k(n))</math>。于是，
 <math>H_{R^\omega_{k+3}(G_{k+1}(n))}(k+4)=H_{R^\omega_{k+3}(G_{k+1}(n))+1}(k+3)</math>，
@@ 第204行： / 第204行： @@
 <math>G(n)=H_{R^\omega_2(n)}(3)-3</math>。
 [[分类:记号]]

2025年7月13日 (日) 04:22 Tabelog

2025-07-13T04:22:43Z

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第152行：		第152行：
	我们有G(12)大于[[葛立恒数]]这个结论。		我们有G(12)大于[[葛立恒数]]这个结论。

	== 与[[HH]]的关系 ==		== 与 [[增长层级#哈代层级\|HH]] 的关系 ==
	定义<math>R^\omega_a(n)</math>为将n表示为以a为底的遗传记法，然后将所有的底数a全部替换为<math>\omega</math>所得到的序数。我们可以证明以下结论：		定义<math>R^\omega_a(n)</math>为将n表示为以a为底的遗传记法，然后将所有的底数a全部替换为<math>\omega</math>所得到的序数。我们可以证明以下结论：

	<math>G(n)=H_{R^\omega_2(n)}(3)-3</math>，其中<math>H_\alpha(n)</math>是[[HH\|~~Hardy层级~~]]。		<math>G(n)=H_{R^\omega_2(n)}(3)-3</math>，其中<math>H_\alpha(n)</math>是 [[增长层级#哈代层级\|Hardy 层级]]。

	=== 证明 ===		=== 证明 ===

Apocalypse：/* 与HH的关系 */

2025-07-12T20:39:27Z

与HH的关系

@@ 第153行： / 第153行： @@
 == 与[[HH]]的关系 ==
-（待续）
+定义<math>R^\omega_a(n)</math>为将n表示为以a为底的遗传记法，然后将所有的底数a全部替换为<math>\omega</math>所得到的序数。我们可以证明以下结论：
 [[分类:记号]]

2025年7月12日 (六) 02:06 Z

2025-07-12T02:06:14Z

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第24行：		第24行：
	这种快速增长的序列称为 Goodstein 序列。令人惊讶的是，对于 ''n'' 的所有值，<math>G_k(n)</math> 最终达到峰值、下降并返回零。这个事实被称为'''古德斯坦定理'''。更令人惊讶的是，可以证明古德斯坦定理无法用皮亚诺算术来证明。		这种快速增长的序列称为 Goodstein 序列。令人惊讶的是，对于 ''n'' 的所有值，<math>G_k(n)</math> 最终达到峰值、下降并返回零。这个事实被称为'''古德斯坦定理'''。更令人惊讶的是，可以证明古德斯坦定理无法用皮亚诺算术来证明。

	我们定义古德斯坦函数<math>G(x)</math>等于古德斯坦序列<math>G_k(x)=0</math>~~时k的值。~~		我们定义古德斯坦函数<math>G(x)</math>等于古德斯坦序列<math>G_k(x)=0</math>时k的值。它的FGH增长率为<math>\varepsilon_0</math>.

	== 例子 ==		== 例子 ==

2025年7月12日 (六) 02:05 Z

2025-07-12T02:05:07Z

显示更改

2025年7月11日 (五) 14:14 Z

2025-07-11T14:14:15Z

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	古德斯坦函数(Goodstein Function)是由鲁宾•古德斯坦(Reuben Goodstein)构造出的快速增长的函数。		古德斯坦函数(Goodstein Function)是由鲁宾•古德斯坦(Reuben Goodstein)构造出的快速增长的函数。
			[[分类:记号]]

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古德斯坦函数(Goodstein Function)是由鲁宾•古德斯坦(Reuben Goodstein)构造出的快速增长的函数。