Circle函数 - 版本历史

2025年8月20日 (三) 08:11 Z

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	== 参考资料 ==		== 参考资料 ==
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修正参考资料

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	'''Circle 函数'''是 Harvey Friedman 提出的一个快速增长的函数。<ref>[https://bpb-us-w2.wpmucdn.com/u.osu.edu/dist/1/1952/files/2014/01/EnormousInt.12pt.6_1_00-23kmig3.pdf ~~FRIEDMAN H M. Enormous integers in real life〔J〕. Manuscript, dated June 1, 2000: 10-11.]~~</ref>		'''Circle 函数'''是 Harvey Friedman 提出的一个快速增长的函数。<ref>Friedman, H. M. (2000). Enormous integers in real life. (EB/OL). https://bpb-us-w2.wpmucdn.com/u.osu.edu/dist/1/1952/files/2014/01/EnormousInt.12pt.6_1_00-23kmig3.pdf</ref>

	== 定义 ==		=== 定义 ===
	由平面上 n 个不相交的圆（可能外离或内含）组成的一个有限序列 <math>\{C_1,C_2,\cdots,C_n\}</math>，记为 '''n 圆组'''。		由平面上 n 个不相交的圆（可能外离或内含）组成的一个有限序列 <math>\{C_1,C_2,\cdots,C_n\}</math>，记为 '''n 圆组'''。

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	<math>\mathrm{Circle}(k)</math> 定义为所有不是 k-好的 n 圆组中 n 的最大值。		<math>\mathrm{Circle}(k)</math> 定义为所有不是 k-好的 n 圆组中 n 的最大值。

	=== 解释 ===		==== 解释 ====
	对于平面上任何圆的集合 S，我们可以自然地将 S 解释为森林，每个圆对应于森林中的不同顶点。根顶点将对应于不包含在任何其他圆中的圆。		对于平面上任何圆的集合 S，我们可以自然地将 S 解释为森林，每个圆对应于森林中的不同顶点。根顶点将对应于不包含在任何其他圆中的圆。

第23行：		第23行：
	最大的 n，使得存在一个森林 F，其中 n 个顶点标记为 1 到 n，满足以下条件：F<sub>i</sub> 是 F 的子林，由标记为 i 到 2i 的顶点组成（如果我们删除了任何顶点及其后代之间的顶点，则后一个顶点连接到其第一个未删除的祖先）。那么对于任何 <math>k\leq i<j\leq \frac{n}{2}</math>，不存在 F<sub>i</sub> 到 F<sub>j</sub> 的嵌入。		最大的 n，使得存在一个森林 F，其中 n 个顶点标记为 1 到 n，满足以下条件：F<sub>i</sub> 是 F 的子林，由标记为 i 到 2i 的顶点组成（如果我们删除了任何顶点及其后代之间的顶点，则后一个顶点连接到其第一个未删除的祖先）。那么对于任何 <math>k\leq i<j\leq \frac{n}{2}</math>，不存在 F<sub>i</sub> 到 F<sub>j</sub> 的嵌入。

	== 取值 ==		=== 取值 ===
	Friedman 指出，<math>\mathrm{Circle}(k)</math> 一定是有限的，但我们对其具体取值仍了解不多。我们有 <math>\mathrm{Circle}(1)=1</math> 以及<math>\mathrm{Circle}(2)\geq 13</math>。		Friedman 指出，<math>\mathrm{Circle}(k)</math> 一定是有限的，但我们对其具体取值仍了解不多。我们有 <math>\mathrm{Circle}(1)=1</math> 以及<math>\mathrm{Circle}(2)\geq 13</math>。

	Circle 函数的 [[FGH]] [[增长率]]是 <math>\varepsilon_0</math>，这意味着命题“<math>\mathrm{Circle}(k)</math>是否有限”不可能在 [[皮亚诺公理体系\|PA]] 中证明。		Circle 函数的 [[FGH]] [[增长率]]是 <math>\varepsilon_0</math>，这意味着命题“<math>\mathrm{Circle}(k)</math> 是否有限”不可能在 [[皮亚诺公理体系\|PA]] 中证明。

	== 参考资料 ==		== 参考资料 ==
	[[分类:记号]]		[[分类:记号]]

2025年7月20日 (日) 12:19 Tabelog

2025-07-20T12:19:29Z

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	'''~~Circle函数~~'''~~，是Harvey Friedman提出的一个快速增长的函数。~~<ref>[https://bpb-us-w2.wpmucdn.com/u.osu.edu/dist/1/1952/files/2014/01/EnormousInt.12pt.6_1_00-23kmig3.pdf FRIEDMAN H M. Enormous integers in real life〔J〕. Manuscript, dated June 1, 2000: 10-11.]</ref>		'''Circle 函数'''是 Harvey Friedman 提出的一个快速增长的函数。<ref>[https://bpb-us-w2.wpmucdn.com/u.osu.edu/dist/1/1952/files/2014/01/EnormousInt.12pt.6_1_00-23kmig3.pdf FRIEDMAN H M. Enormous integers in real life〔J〕. Manuscript, dated June 1, 2000: 10-11.]</ref>

	== 定义 ==		== 定义 ==
	~~由平面上n个不相交的圆（可能外离或内含）组成的一个有限序列~~<math>\{C_1,C_2,\cdots,C_n\}</math>，记为 '''n 圆组'''。		由平面上 n 个不相交的圆（可能外离或内含）组成的一个有限序列 <math>\{C_1,C_2,\cdots,C_n\}</math>，记为 '''n 圆组'''。

	将并集 <math>C_a\cup C_{a+1}\cup\cdots \cup C_{b-1}\cup C_b</math> 记作 <math>C_{[a,b]}</math>。		将并集 <math>C_a\cup C_{a+1}\cup\cdots \cup C_{b-1}\cup C_b</math> 记作 <math>C_{[a,b]}</math>。

	~~给定一个正整数k，如果存在满足~~ “<math>k\leq i<j\leq \frac{n}{2}</math>，且存在把<math>C_{[i,2i]}</math>变成<math>C_{[j,2j]}</math>的子集的同胚拓扑变换” 的<math>(i,j)</math>~~对，那么称这样的n圆组为~~ '''k-好''' 的。		给定一个正整数 k，如果存在满足 “<math>k\leq i<j\leq \frac{n}{2}</math>，且存在把 <math>C_{[i,2i]}</math> 变成 <math>C_{[j,2j]}</math> 的子集的同胚拓扑变换” 的 <math>(i,j)</math> 对，那么称这样的 n 圆组为 '''k-好'''的。

	我们定义如下的'''~~Circle序列~~'''：		我们定义如下的 '''Circle 序列'''：

	<math>\mathrm{Circle}(k)</math> 定义为所有不是 k-~~好的n圆组中n的最大值。~~		<math>\mathrm{Circle}(k)</math> 定义为所有不是 k-好的 n 圆组中 n 的最大值。

	=== 解释 ===		=== 解释 ===
	对于平面上任何圆的集合 ~~<math>~~S~~</math>，我们可以自然地将 <math>S</math>~~ 解释为森林，每个圆对应于森林中的不同顶点。根顶点将对应于不包含在任何其他圆中的圆。		对于平面上任何圆的集合 S，我们可以自然地将 S 解释为森林，每个圆对应于森林中的不同顶点。根顶点将对应于不包含在任何其他圆中的圆。

	如果顶点 ~~<math>~~v~~</math>~~ 对应于圆 ~~<math>C</math>，则 <math>~~v~~</math>~~ 的子圆将对应于 ~~<math>~~C~~</math>~~ 中包含的 ~~<math>~~S~~</math>~~ 中的圆，中间没有中间圆。当且仅当对应的顶点<~~math~~>~~v_1~~</~~math~~>是<~~math~~>~~v_2~~</~~math~~>的后代时，圆<~~math~~>~~C_1~~</~~math~~>才会包含在圆<~~math~~>~~C_2~~</~~math~~>中。		如果顶点 v 对应于圆 C，则 v 的子圆将对应于 C 中包含的 S 中的圆，中间没有中间圆。当且仅当对应的顶点 v<sub>1</sub> 是 v<sub>2</sub> 的后代时，圆 C<sub>1</sub> 才会包含在圆 C<sub>2</sub> 中。

	对于任何一对圆的集合<~~math~~>~~S_1~~</~~math~~>和<~~math~~>~~S_2~~</~~math~~>使用相应的森林<~~math~~>~~F_1~~</~~math~~>和<~~math~~>~~F_2~~</~~math~~>，当且仅当存在<~~math~~>~~F_1~~</~~math~~>~~的嵌入时，~~<~~math~~>~~S_1~~</~~math~~>才会同胚到<~~math~~>~~S_2~~</~~math~~>到<~~math~~>~~F_2~~</~~math~~>。		对于任何一对圆的集合 S<sub>1</sub> 和 S<sub>2</sub> 使用相应的森林 F<sub>1</sub> 和 F<sub>2</sub>，当且仅当存在 F<sub>1</sub> 的嵌入时，S<sub>1</sub> 才会同胚到 S<sub>2</sub> 到 F<sub>2</sub>。

	因此，我们可以将<math>\mathrm{Circle}(k)</math>的定义重新表述为：		因此，我们可以将 <math>\mathrm{Circle}(k)</math> 的定义重新表述为：

	最大的~~<math>n</math>，使得存在一个森林 <math>F</math>，其中 <math>~~n~~</math>~~ 个顶点标记为 1 到 <~~math~~>n</~~math~~>~~，满足以下条件：$F_{i}$~~ 是 ~~<math>~~F~~</math>~~ 的子林，由标记为 ~~<math>~~i~~</math>~~ 到 ~~<math>~~2i~~</math>~~ 的顶点组成（如果我们删除了任何顶点及其后代之间的顶点，则后一个顶点连接到其第一个未删除的祖先）。那么对于任何<math>k\leq i<j\leq \frac{n}{2}</math>，不存在~~$F_{~~i~~}$~~到<~~math~~>~~F_j~~</~~math~~>的嵌入。		最大的 n，使得存在一个森林 F，其中 n 个顶点标记为 1 到 n，满足以下条件：F<sub>i</sub> 是 F 的子林，由标记为 i 到 2i 的顶点组成（如果我们删除了任何顶点及其后代之间的顶点，则后一个顶点连接到其第一个未删除的祖先）。那么对于任何 <math>k\leq i<j\leq \frac{n}{2}</math>，不存在 F<sub>i</sub> 到 F<sub>j</sub> 的嵌入。

	== 取值 ==		== 取值 ==
	~~Friedman指出，~~<math>\mathrm{Circle}(k)</math> 一定是有限的，但我们对其具体取值仍了解不多。我们有<math>\mathrm{Circle}(1)=1</math>以及<math>\mathrm{Circle}(2)\geq 13</math>。		Friedman 指出，<math>\mathrm{Circle}(k)</math> 一定是有限的，但我们对其具体取值仍了解不多。我们有 <math>\mathrm{Circle}(1)=1</math> 以及<math>\mathrm{Circle}(2)\geq 13</math>。

	~~Circle函数的~~[[FGH]][[增长率]]是<math>\varepsilon_0</math>，这意味着命题“<math>\mathrm{Circle}(k)</math>是否有限”不可能在[[皮亚诺公理体系]]中证明。		Circle 函数的 [[FGH]] [[增长率]]是 <math>\varepsilon_0</math>，这意味着命题“<math>\mathrm{Circle}(k)</math>是否有限”不可能在 [[皮亚诺公理体系\|PA]] 中证明。

	== 参考资料 ==		== 参考资料 ==
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美化公式与排版

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	~~Circle函数是Harvey Friedman提出的一个快速增长的函数~~		'''Circle函数'''，是Harvey Friedman提出的一个快速增长的函数。<ref>[https://bpb-us-w2.wpmucdn.com/u.osu.edu/dist/1/1952/files/2014/01/EnormousInt.12pt.6_1_00-23kmig3.pdf FRIEDMAN H M. Enormous integers in real life〔J〕. Manuscript, dated June 1, 2000: 10-11.]</ref>

	== 定义 ==		== 定义 ==
	~~由平面上n个不相交的圆(可能外离或内含)组成了一个序列~~<math>\{C_1,C_2,\cdots,C_n\}</math>~~.把并集<math>C_a\cup C_{a+1}\cup\cdots C_{b-1}\cup C_b</math>记作<math>C_{[a,b]}</math>.给定一个正整数k，如果存在满足“<math>k\leq i<j\leq~~ n/2</math>,且存在把<math>C_{[i,2i]}</math>变成<math>C_{[j,2j]}</math>的子集的同胚拓扑变换”的<math>(i,j)</math>对，那么称这样的n圆组为“k-好”的。我们定义如下的Circle序列：Circle(k)定义为所有不是“k-好”的n圆组中n的最大值。		由平面上n个不相交的圆（可能外离或内含）组成的一个有限序列<math>\{C_1,C_2,\cdots,C_n\}</math>，记为 '''n 圆组'''。

	~~=== 森林解释 ===~~		将并集 <math>C_a\cup C_{a+1}\cup\cdots \cup C_{b-1}\cup C_b</math> 记作 <math>C_{[a,b]}</math>。
	对于平面上任何圆的集合 ''S''，我们自然可以将其 ''S'' 解释为森林，每个圆对应于森林中的不同顶点。根顶点将对应于不包含在任何其他圆中的圆。如果顶点 ''v'' 对应于圆 ''C''，则 ''v'' 的子圆将对应于 ''C'' 中包含的 ''S'' 中的圆，中间没有中间圆。当且仅当对应的顶点<math>~~v_1~~</math>是<math>~~v_2~~</math>~~的后代时，圆<math>C_1</math>才会包含在圆<math>C_2</math>中。~~

	~~对于任何一对圆的集合~~<math>~~S_1~~<~~/math>和<math>S_2</math>使用相应的森林<math>F_1</math>和<math>F_2</math>，当且仅当存在<math>F_1~~</math>~~的嵌入时，~~<math>~~S_1~~</math>~~才会同胚到~~<math>~~S_2~~</math>到<math>~~F_2~~</math>.		给定一个正整数k，如果存在满足 “<math>k\leq i<j\leq \frac{n}{2}</math>，且存在把<math>C_{[i,2i]}</math>变成<math>C_{[j,2j]}</math>的子集的同胚拓扑变换” 的<math>(i,j)</math>对，那么称这样的n圆组为 '''k-好''' 的。

	~~因此，我们可以将 Circle（~~''k''~~）的定义改写为最大的~~ ''n''，使得存在一个森林 ''F''，其中 ''n'' 个顶点标记为 1 到 ''n''，满足以下条件：<math>~~F_i~~</math>~~是F的子林，由标记为i到2i的顶点组成(如果我们删除了任何顶点及其后代之间的顶点，则后一个顶点连接到其第一个未删除的祖先)。那么对于任何~~<math>k\leq i<j\leq n/2</math>，不存在~~<math>F_i</math>~~到<math>F_j</math>的嵌入。		我们定义如下的'''Circle序列'''：

			<math>\mathrm{Circle}(k)</math> 定义为所有不是 k-好的n圆组中n的最大值。

			=== 解释 ===
			对于平面上任何圆的集合 <math>S</math>，我们可以自然地将 <math>S</math> 解释为森林，每个圆对应于森林中的不同顶点。根顶点将对应于不包含在任何其他圆中的圆。

			如果顶点 <math>v</math> 对应于圆 <math>C</math>，则 <math>v</math> 的子圆将对应于 <math>C</math> 中包含的 <math>S</math> 中的圆，中间没有中间圆。当且仅当对应的顶点<math>v_1</math>是<math>v_2</math>的后代时，圆<math>C_1</math>才会包含在圆<math>C_2</math>中。

			对于任何一对圆的集合<math>S_1</math>和<math>S_2</math>使用相应的森林<math>F_1</math>和<math>F_2</math>，当且仅当存在<math>F_1</math>的嵌入时，<math>S_1</math>才会同胚到<math>S_2</math>到<math>F_2</math>。

			因此，我们可以将<math>\mathrm{Circle}(k)</math>的定义重新表述为：

			最大的<math>n</math>，使得存在一个森林 <math>F</math>，其中 <math>n</math> 个顶点标记为 1 到 <math>n</math>，满足以下条件：$F_{i}$ 是 <math>F</math> 的子林，由标记为 <math>i</math> 到 <math>2i</math> 的顶点组成（如果我们删除了任何顶点及其后代之间的顶点，则后一个顶点连接到其第一个未删除的祖先）。那么对于任何<math>k\leq i<j\leq \frac{n}{2}</math>，不存在$F_{i}$到<math>F_j</math>的嵌入。

	== 取值 ==		== 取值 ==
	~~Friedman指出，Circle~~(k)一定是有限的，但我们对其具体取值仍了解不多。我们有<math>Circle(1)=1</math>以及<math>Circle(2)\geq 13</math>.		Friedman指出，<math>\mathrm{Circle}(k)</math> 一定是有限的，但我们对其具体取值仍了解不多。我们有<math>\mathrm{Circle}(1)=1</math>以及<math>\mathrm{Circle}(2)\geq 13</math>。

			Circle函数的[[FGH]][[增长率]]是<math>\varepsilon_0</math>，这意味着命题“<math>\mathrm{Circle}(k)</math>是否有限”不可能在[[皮亚诺公理体系]]中证明。

	~~Circle函数的[[FGH]][[增长率]]是<math>\varepsilon_0</math>.~~		== 参考资料 ==
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Circle函数是Harvey Friedman提出的一个快速增长的函数

== 定义 ==
由平面上n个不相交的圆(可能外离或内含)组成了一个序列<math>\{C_1,C_2,\cdots,C_n\}</math>.把并集<math>C_a\cup C_{a+1}\cup\cdots C_{b-1}\cup C_b</math>记作<math>C_{[a,b]}</math>.给定一个正整数k，如果存在满足“<math>k\leq i<j\leq n/2</math>,且存在把<math>C_{[i,2i]}</math>变成<math>C_{[j,2j]}</math>的子集的同胚拓扑变换”的<math>(i,j)</math>对，那么称这样的n圆组为“k-好”的。我们定义如下的Circle序列：Circle(k)定义为所有不是“k-好”的n圆组中n的最大值。

=== 森林解释 ===
对于平面上任何圆的集合 ''S''，我们自然可以将其 ''S'' 解释为森林，每个圆对应于森林中的不同顶点。根顶点将对应于不包含在任何其他圆中的圆。如果顶点 ''v'' 对应于圆 ''C''，则 ''v'' 的子圆将对应于 ''C'' 中包含的 ''S'' 中的圆，中间没有中间圆。当且仅当对应的顶点<math>v_1</math>是<math>v_2</math>的后代时，圆<math>C_1</math>才会包含在圆<math>C_2</math>中。

对于任何一对圆的集合<math>S_1</math>和<math>S_2</math>使用相应的森林<math>F_1</math>和<math>F_2</math>，当且仅当存在<math>F_1</math>的嵌入时，<math>S_1</math>才会同胚到<math>S_2</math>到<math>F_2</math>.

因此，我们可以将 Circle（''k''）的定义改写为最大的 ''n''，使得存在一个森林 ''F''，其中 ''n'' 个顶点标记为 1 到 ''n''，满足以下条件：<math>F_i</math>是F的子林，由标记为i到2i的顶点组成(如果我们删除了任何顶点及其后代之间的顶点，则后一个顶点连接到其第一个未删除的祖先)。那么对于任何<math>k\leq i<j\leq n/2</math>，不存在<math>F_i</math>到<math>F_j</math>的嵌入。

== 取值 ==
Friedman指出，Circle(k)一定是有限的，但我们对其具体取值仍了解不多。我们有<math>Circle(1)=1</math>以及<math>Circle(2)\geq 13</math>.

Circle函数的[[FGH]][[增长率]]是<math>\varepsilon_0</math>.
[[分类:记号]]

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