Catching 函数 - 版本历史

2026年2月25日 (三) 14:42 Z

2026-02-25T14:42:53Z

@@ 第1行： / 第1行： @@
 '''Catching 函数'''，是由 HypCos 创造的[[序数记号]]，用以记录 [[增长层级#快速增长层级|FGH]] 和 [[增长层级#慢速增长层级|SGH]] 的[[Catching|追平点]]。<ref>HypCos (2013). Analysis - BEAF, FGH and SGH (part 3). ''(EB/OL), Googology Wiki''. https://googology.fandom.com/wiki/User_blog:Hyp_cos/Analysis_-_BEAF,_FGH_and_SGH_(part_3)</ref>
-=== 定义 ===
+== 定义 ==
 将 <math>C(\alpha)</math> 用于表示这个函数，其定义如下：
@@ 第14行： / 第14行： @@
 现在，使用第一个[[序数#可数序数与不可数序数|不可数序数]] Ω 作为 C( ) 中的对角化器。想象一下：当我们遇到一个 Ω 并需要处理它时，首先找到最近的 C( ) 结构，然后复制该 C( ) 内部的内容（但不包括这个 Ω 本身）n 次，每次都将复制的内容插入到原本 Ω 的位置。换句话说，C(#Ω@) 等于嵌套 n 层的 C(#C(...C(#0@)...@)@)，其中 @ 位置不包含任何序数（即仅保留结构占位）。
 我们知道，一个 Catching 序数必定形如 <math>\psi(\alpha)</math>。也就是说，它是满足 <math>\beta\rightarrow \omega^{\beta}</math> 的固定点。而一个[[基数]] <math>\alpha</math> 可以作为 <math>\psi_{\alpha}()</math> 中的对角化参数。在常规记法中，<math>\psi_{\Omega_{1+k}}()</math> 对于正整数 <math>k</math> 也可写作 <math>\psi_{k}()</math>，而 <math>\psi_{\Omega}()</math> 也可简写为 <math>\psi()</math>。自然地，一个更强的 Catching 层次结构应运而生。
 * <math>C_{\pi}(0)=\psi_{\pi}(\Omega_{\omega})</math>

2025年8月20日 (三) 08:10 Z

2025-08-20T08:10:18Z

←上一版本		2025年8月20日 (三) 16:10的版本
第45行：		第45行：

	== 参考资料 ==		== 参考资料 ==
	<references />		<references />{{默认排序:序数记号}}
	[[分类:记号]]		[[分类:记号]]

2025年7月30日 (三) 07:27 Tabelog

2025-07-30T07:27:58Z

←上一版本		2025年7月30日 (三) 15:27的版本
第1行：		第1行：
	'''Catching 函数'''，是由 HypCos 创造的[[序数记号]]，用以记录 [[增长层级#快速增长层级\|FGH]] 和 [[增长层级#慢速增长层级\|SGH]] 的[[Catching\|追平点]]。<ref>~~Hyp cos~~ (2013). [https://googology.fandom.com/wiki/User_blog:Hyp_cos/Analysis_-_BEAF,_FGH_and_SGH_(part_3) ~~Analysis - BEAF, FGH and SGH (part 3)]. ''Googology Wiki''.~~</ref>		'''Catching 函数'''，是由 HypCos 创造的[[序数记号]]，用以记录 [[增长层级#快速增长层级\|FGH]] 和 [[增长层级#慢速增长层级\|SGH]] 的[[Catching\|追平点]]。<ref>HypCos (2013). Analysis - BEAF, FGH and SGH (part 3). ''(EB/OL), Googology Wiki''. https://googology.fandom.com/wiki/User_blog:Hyp_cos/Analysis_-_BEAF,_FGH_and_SGH_(part_3)</ref>

	=== 定义 ===		=== 定义 ===

2025年7月29日 (二) 11:56 Tabelog

2025-07-29T11:56:46Z

←上一版本		2025年7月29日 (二) 19:56的版本
第12行：		第12行：
	"可比"是一个模糊的术语，但此处可理解为：<math>f_{\beta(n)}</math> 与<math>g_{\beta(n)}</math> 可比当且仅当存在某个 <math>k</math>，使得对任意 <math>n</math> 都有 <math>g_{\beta(n+k)}>f_{\beta(n)}</math>D。		"可比"是一个模糊的术语，但此处可理解为：<math>f_{\beta(n)}</math> 与<math>g_{\beta(n)}</math> 可比当且仅当存在某个 <math>k</math>，使得对任意 <math>n</math> 都有 <math>g_{\beta(n+k)}>f_{\beta(n)}</math>D。

	现在，使用第一个[[序数#可数序数与不可数序数\|不可数序数]] Ω 作为 C( ) ~~中的[[对角化]]器。想象一下：当我们遇到一个~~ Ω 并需要处理它时，首先找到最近的 C( ) 结构，然后复制该 C( ) 内部的内容（但不包括这个 Ω 本身）n 次，每次都将复制的内容插入到原本 Ω 的位置。换句话说，C(#Ω@) 等于嵌套 n 层的 C(#C(...C(#0@)...@)@)，其中 @ 位置不包含任何序数（即仅保留结构占位）。		现在，使用第一个[[序数#可数序数与不可数序数\|不可数序数]] Ω 作为 C( ) 中的对角化器。想象一下：当我们遇到一个 Ω 并需要处理它时，首先找到最近的 C( ) 结构，然后复制该 C( ) 内部的内容（但不包括这个 Ω 本身）n 次，每次都将复制的内容插入到原本 Ω 的位置。换句话说，C(#Ω@) 等于嵌套 n 层的 C(#C(...C(#0@)...@)@)，其中 @ 位置不包含任何序数（即仅保留结构占位）。

	我们知道，一个 Catching 序数必定形如 <math>\psi(\alpha)</math>。也就是说，它是满足 <math>\beta\rightarrow \omega^{\beta}</math> 的固定点。而一个[[基数]] <math>\alpha</math> 可以作为 <math>\psi_{\alpha}()</math> 中的对角化参数。在常规记法中，<math>\psi_{\Omega_{1+k}}()</math> 对于正整数 <math>k</math> 也可写作 <math>\psi_{k}()</math>，而 <math>\psi_{\Omega}()</math> 也可简写为 <math>\psi()</math>。自然地，一个更强的 Catching 层次结构应运而生。		我们知道，一个 Catching 序数必定形如 <math>\psi(\alpha)</math>。也就是说，它是满足 <math>\beta\rightarrow \omega^{\beta}</math> 的固定点。而一个[[基数]] <math>\alpha</math> 可以作为 <math>\psi_{\alpha}()</math> 中的对角化参数。在常规记法中，<math>\psi_{\Omega_{1+k}}()</math> 对于正整数 <math>k</math> 也可写作 <math>\psi_{k}()</math>，而 <math>\psi_{\Omega}()</math> 也可简写为 <math>\psi()</math>。自然地，一个更强的 Catching 层次结构应运而生。

2025年7月27日 (日) 12:03 Tabelog

2025-07-27T12:03:51Z

←上一版本		2025年7月27日 (日) 20:03的版本
第1行：		第1行：
	'''Catching 函数'''，是由 HypCos 创造的[[序数记号]]，用以记录 [[增长层级#快速增长层级\|FGH]] 和 [[增长层级#慢速增长层级\|SGH]] 的[[Catching\|追平点]]。		'''Catching 函数'''，是由 HypCos 创造的[[序数记号]]，用以记录 [[增长层级#快速增长层级\|FGH]] 和 [[增长层级#慢速增长层级\|SGH]] 的[[Catching\|追平点]]。<ref>Hyp cos (2013). [https://googology.fandom.com/wiki/User_blog:Hyp_cos/Analysis_-_BEAF,_FGH_and_SGH_(part_3) Analysis - BEAF, FGH and SGH (part 3)]. ''Googology Wiki''.</ref>

	=== 定义 ===		=== 定义 ===
第12行：		第12行：
	"可比"是一个模糊的术语，但此处可理解为：<math>f_{\beta(n)}</math> 与<math>g_{\beta(n)}</math> 可比当且仅当存在某个 <math>k</math>，使得对任意 <math>n</math> 都有 <math>g_{\beta(n+k)}>f_{\beta(n)}</math>D。		"可比"是一个模糊的术语，但此处可理解为：<math>f_{\beta(n)}</math> 与<math>g_{\beta(n)}</math> 可比当且仅当存在某个 <math>k</math>，使得对任意 <math>n</math> 都有 <math>g_{\beta(n+k)}>f_{\beta(n)}</math>D。

	现在，使用第一个[[序数#可数序数与不可数序数\|不可数序数]] Ω 作为 C() 中的[[对角化]]器。想象一下：当我们遇到一个 Ω 并需要处理它时，首先找到最近的 C() 结构，然后复制该 C() 内部的内容（但不包括这个 Ω 本身）n 次，每次都将复制的内容插入到原本 Ω 的位置。换句话说，C(#Ω@) 等于嵌套 n 层的 C(#C(...C(#0@)...@)@)，其中 @ 位置不包含任何序数（即仅保留结构占位）。		现在，使用第一个[[序数#可数序数与不可数序数\|不可数序数]] Ω 作为 C( ) 中的[[对角化]]器。想象一下：当我们遇到一个 Ω 并需要处理它时，首先找到最近的 C( ) 结构，然后复制该 C( ) 内部的内容（但不包括这个 Ω 本身）n 次，每次都将复制的内容插入到原本 Ω 的位置。换句话说，C(#Ω@) 等于嵌套 n 层的 C(#C(...C(#0@)...@)@)，其中 @ 位置不包含任何序数（即仅保留结构占位）。


	我们知道，一个 Catching 序数必定形如 <math>\psi(\alpha)</math>。也就是说，它是满足 <math>\beta\rightarrow \omega^{\beta}</math> 的固定点。而一个[[基数]] <math>\alpha</math> 可以作为 <math>\psi_{\alpha}()</math> 中的对角化参数。在常规记法中，<math>\psi_{\Omega_{1+k}}()</math> 对于正整数 <math>k</math> 也可写作 <math>\psi_{k}()</math>，而 <math>\psi_{\Omega}()</math> 也可简写为 <math>\psi()</math>。自然地，一个更强的 Catching 层次结构应运而生。		我们知道，一个 Catching 序数必定形如 <math>\psi(\alpha)</math>。也就是说，它是满足 <math>\beta\rightarrow \omega^{\beta}</math> 的固定点。而一个[[基数]] <math>\alpha</math> 可以作为 <math>\psi_{\alpha}()</math> 中的对角化参数。在常规记法中，<math>\psi_{\Omega_{1+k}}()</math> 对于正整数 <math>k</math> 也可写作 <math>\psi_{k}()</math>，而 <math>\psi_{\Omega}()</math> 也可简写为 <math>\psi()</math>。自然地，一个更强的 Catching 层次结构应运而生。

	* <math>C_{\pi}(0)=\psi_{\pi}(\Omega_{\omega})</math>		* <math>C_{\pi}(0)=\psi_{\pi}(\Omega_{\omega})</math>
	* 若 <math>C_{\pi}(\alpha)=\psi_{\pi}(\beta)</math>，则<math>C_{\pi}(\alpha+1)=\psi_{\pi}(\gamma)</math>，其中 <math>\psi(\gamma)</math> 是满足 <math>g_{\psi(\gamma)}(n)</math> 与 <math>f_{\psi(\gamma)}(n)</math> 可比较的最小序数，且 <math>\gamma>\beta</math>，同时 <math>\psi_{\pi}(\beta)</math> 和 <math>\psi_{\pi}(\gamma)</math> 均为完全简化的。		* 若 <math>C_{\pi}(\alpha)=\psi_{\pi}(\beta)</math>，则<math>C_{\pi}(\alpha+1)=\psi_{\pi}(\gamma)</math>，其中 <math>\psi(\gamma)</math> 是满足 <math>g_{\psi(\gamma)}(n)</math> 与 <math>f_{\psi(\gamma)}(n)</math> 可比较的最小序数，且 <math>\gamma>\beta</math>，同时 <math>\psi_{\pi}(\beta)</math> 和 <math>\psi_{\pi}(\gamma)</math> 均为完全简化的。
第45行：		第43行：
	\forall\gamma<\alpha(\beta>C(\gamma))		\forall\gamma<\alpha(\beta>C(\gamma))
	\end{aligned}\right)</math>		\end{aligned}\right)</math>

			== 参考资料 ==
			<references />
			[[分类:记号]]

2025年7月20日 (日) 13:54 Tabelog

2025-07-20T13:54:26Z

←上一版本		2025年7月20日 (日) 21:54的版本
第27行：		第27行：

	<nowiki>- </nowiki>记法 <math>\psi(\beta)</math> 是完全简化的当且仅当 <math>\psi(\beta+1)>\psi(\beta)</math>。例如，<math>\psi(\Omega_{2})</math> 是完全简化的，但<math>\psi(\psi_{1}(\Omega_{2}))</math>则不是，因为 <math>\psi(\Omega_{2}+1)>\psi(\Omega_{2})=\psi(\psi_{1}(\Omega_{2})+1)=\psi(\psi_{1}(\Omega_{2}))</math>。有时 <math>\psi</math> 函数会增长，有时则保持不变，而完全简化记法处于增长部分或保持部分的末尾。		<nowiki>- </nowiki>记法 <math>\psi(\beta)</math> 是完全简化的当且仅当 <math>\psi(\beta+1)>\psi(\beta)</math>。例如，<math>\psi(\Omega_{2})</math> 是完全简化的，但<math>\psi(\psi_{1}(\Omega_{2}))</math>则不是，因为 <math>\psi(\Omega_{2}+1)>\psi(\Omega_{2})=\psi(\psi_{1}(\Omega_{2})+1)=\psi(\psi_{1}(\Omega_{2}))</math>。有时 <math>\psi</math> 函数会增长，有时则保持不变，而完全简化记法处于增长部分或保持部分的末尾。

			==== 形式化定义 ====
			我们记 <math>\bold{Ord}</math> 为序数类；<math>\bold{Ord}_\text{lim}</math> 为极限序数；<math>\alpha[n]</math> 是极限序数 <math>\alpha</math> 的基本列；称 <math>\psi_\alpha(\beta)</math> 是完全简化的（Full-simplified），当且仅当 <math>\psi_\alpha(\beta+1)>\psi_\alpha(\beta)</math>。

			<math>C(\alpha)=\mu\beta\in\bold{Ord}\left(\begin{aligned}
			(\alpha=0\Rightarrow\forall n\exists k\forall m(g_\beta(m+k)>f_\beta(m)))\land\\
			(\alpha=\gamma+1\Rightarrow\beta>C(\gamma)\land\forall n\exists k\forall m(g_\beta(m+k)>f_\beta(m)))\land\\
			(\alpha\in\bold{Ord}_\text{lim}\Rightarrow\forall n(\beta[n]=C(\alpha[n])))\land\\
			\forall\gamma<\alpha(\beta>C(\gamma))
			\end{aligned}\right)</math>

			<math>C_\pi(\alpha)=\mu\beta\in\bold{Ord}\left(\begin{aligned}
			(\alpha=0\Rightarrow\beta=\psi_\pi(\Omega_\omega))\land\\
			(\alpha=\gamma+1\Rightarrow\exists\gamma'\in\bold{Ord}(\beta=\psi_\pi(\gamma')\land C_\pi(\gamma)=\psi_\pi(\beta_\gamma)\land\gamma'>\beta_\gamma\land\begin{aligned}
			\forall n\exists k\forall mg_\beta(m+k)>f_\beta(m))\land\\\psi_\pi(\beta_\gamma),\psi_\pi(\gamma')\text{ is full-simplified}\end{aligned}))\land\\
			(\alpha\in\bold{Ord}_\text{lim}\Rightarrow\forall n(\beta[n]=C(\alpha[n])))\land\\
			\forall\gamma<\alpha(\beta>C(\gamma))
			\end{aligned}\right)</math>

QWQ-bili：美化公式、增添引用

2025-07-20T13:07:37Z

美化公式、增添引用

显示更改

Tabelog：创建页面，内容为“Catching 函数是 hypcos 创造的序数记号，用以记录 FGH 和 SGH 的“交点”。 === 定义 === 将 C(α) 用于表示这个函数，其定义如下： * 当 α=0 时：C(0) 是第一个序数 β，使得 g_β(n) 与 f_β(n) 可比； * 当 α 为后继序数时（即 α=γ+1）：C(α+1) 是 C(α) 之后下一个满足 g_β(n) 与 f_{β(n)
2025-07-20T12:42:12Z
创建页面，内容为“Catching 函数是 hypcos 创造的序数记号，用以记录 FGH 和 SGH 的“交点”。 === 定义 === 将 C(α) 用于表示这个函数，其定义如下： * 当 α=0 时：C(0) 是第一个序数 β，使得 gβ(n) 与 fβ(n) 可比； * 当 α 为后继序数时（即 α=γ+1）：C(α+1) 是 C(α) 之后下一个满足 gβ(n) 与 fβ(n)</s…”
新页面
Catching 函数是 hypcos 创造的序数记号，用以记录 [[增长层级#快速增长层级|FGH]] 和 [[增长层级#慢速增长层级|SGH]] 的“交点”。

=== 定义 ===

将 C(α) 用于表示这个函数，其定义如下：

* 当 α=0 时：C(0) 是第一个序数 β，使得 gβ(n) 与 fβ(n) 可比；

* 当 α 为后继序数时（即 α=γ+1）：C(α+1) 是 C(α) 之后下一个满足 gβ(n) 与 fβ(n) 可比的序数 β；

* 当 α 为极限序数时（即 α=L）：C(α)[n]=C(α[n])（其中 α[n] 表示 α 的基本序列第 n 项）。

此外，C(α) 是最小的序数 β，使得 gβ(n) 与 fβ(n) 可比，且对于所有 γ<α，β 都大于 C(γ)。

"可比"是一个模糊的术语，但此处可理解为：fβ(n) 与gβ(n) 可比当且仅当存在某个 k，使得对任意 n 都有 gβ(n+k)>fβ(n)。

现在，使用第一个不可数序数 Ω 作为 C() 中的对角化器。想象一下：当我们遇到一个 Ω 并需要处理它时，首先找到最近的 C() 结构，然后复制该 C() 内部的内容（但不包括这个 Ω 本身）n 次，每次都将复制的内容插入到原本 Ω 的位置。换句话说，C(#Ω@) 等于嵌套 n 层的 C(#C(...C(#0@)...@)@)，其中 @ 位置不包含任何序数（即仅保留结构占位）。

我们知道，一个 Catching 序数必定形如 ψ(α)。也就是说，它是满足 β→ωβ 的固定点。而一个基数 α 可以作为 ψα() 中的对角化参数。在常规记法中，ψΩ1+k() 对于正整数 k 也可写作 ψk()，而 ψΩ() 也可简写为 ψ()。自然地，一个更强的 Catching 层次结构应运而生。

* Cπ(0)=ψπ(Ωω)

* 若 Cπ(α)=ψπ(β)，则Cπ(α+1)=ψπ(γ)，其中 ψ(γ) 是满足 gψ(γ)(n) 与 fψ(γ)(n) 可比较的最小序数，且 γ>β，同时 ψπ(β) 和 ψπ(γ) 均为完全简化的。

* 对于极限序数 α，Cπ(α)[n]=Cπ(α[n])

* π 是 Cπ() 函数的对角化参数

对于正整数 k，CΩ1+k() 也可写作 Ck()，而 CΩ() 可简写为 C()。

<nowiki>- </nowiki>什么是完全简化的？

<nowiki>- </nowiki>记法 ψ(β) 是完全简化的当且仅当 ψ(β+1)>ψ(β)。例如，ψ(Ω2) 是完全简化的，但ψ(ψ1(Ω2))则不是，因为 ψ(Ω2+1)>ψ(Ω2)=ψ(ψ1(Ω2)+1)=ψ(ψ1(Ω2))。有时 ψ 函数会增长，有时则保持不变，而完全简化记法处于增长部分或保持部分的末尾。}

Catching 函数 - 版本历史

2026年2月25日 (三) 14:42 Z

2025年8月20日 (三) 08:10 Z

2025年7月30日 (三) 07:27 Tabelog

2025年7月29日 (二) 11:56 Tabelog

2025年7月27日 (日) 12:03 Tabelog

2025年7月20日 (日) 13:54 Tabelog

QWQ-bili：​美化公式、增添引用

QWQ-bili：美化公式、增添引用