葛立恒数 - 版本历史

Tabelog：修正参考资料

2025-07-30T04:52:14Z

修正参考资料

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2025-07-06T06:59:29Z

更改hierarchys的外链

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第8行：		第8行：
	<math>G(n)=\begin{cases}3\uparrow^{G(n-1)}3&,n\neq0\\4&,n=0\end{cases}</math>		<math>G(n)=\begin{cases}3\uparrow^{G(n-1)}3&,n\neq0\\4&,n=0\end{cases}</math>

	葛立恒函数的 [[FGH]] 增长率约为<math>\omega +1</math>。		葛立恒函数的 [[增长层级#快速增长层级\|FGH]] 增长率约为<math>\omega +1</math>。

	==== 葛立恒数 ====		==== 葛立恒数 ====
第73行：		第73行：
	* <math>s(3,64,2,2)</math>（SAN）		* <math>s(3,64,2,2)</math>（SAN）
	* <math>64[\&1]</math>（Ampersand Notation）		* <math>64[\&1]</math>（Ampersand Notation）
	* <math>f_{\omega+1}(64)</math>（[[快速增长层级\|FGH]]）		* <math>f_{\omega+1}(64)</math>（[[增长层级#快速增长层级\|FGH]]）
	* <math>H_{\omega^{\omega+1}}(64)</math> 或 <math>H_{\omega^\omega64}(4)</math>（[[哈代层级\|HH]]）		* <math>H_{\omega^{\omega+1}}(64)</math> 或 <math>H_{\omega^\omega64}(4)</math>（[[增长层级#哈代层级\|HH]]）
	* <math>g_{\Gamma_0}(65)</math>（[[慢速增长层级\|SGH]]）		* <math>g_{\Gamma_0}(65)</math>（[[增长层级#慢速增长层级\|SGH]]）

	==== 葛立恒数的最后 n 位 ====		==== 葛立恒数的最后 n 位 ====

2025年7月2日 (三) 13:52 Tabelog

2025-07-02T13:52:29Z

←上一版本		2025年7月2日 (三) 21:52的版本
第1行：		第1行：
	'''葛立恒数(Graham's Number)'''是拉姆齐理论中一个问题（即葛立恒问题）的上界。它也是大数领域中最著名的数之一，与TREE(3)、SCG(3)齐名。		'''葛立恒数 (Graham's Number)''' 是拉姆齐理论中一个问题（即葛立恒问题）的上界。它也是大数领域中最著名的数之一，与TREE(3)、SCG(3)齐名。

	=== 定义 ===		=== 定义 ===

	==== 葛立恒函数 ====		==== 葛立恒函数 ====
	葛立恒函数(Graham's Function)是用[[高德纳箭头]]递归定义的：		葛立恒函数 (Graham's Function) 是用[[高德纳箭头]]递归定义的：

	<math>G(n)=\begin{cases}3\uparrow^{G(n-1)}3&,n\neq0\\4&,n=0\end{cases}</math>		<math>G(n)=\begin{cases}3\uparrow^{G(n-1)}3&,n\neq0\\4&,n=0\end{cases}</math>
第24行：		第24行：
	[[文件:GrahamCube.png\|缩略图\|图中展示了一个立方体的示例，包含 12 个共面的 K₄ 完全图，其中下方显示了一个单色 K₄。若将该 K₄ 底部的边改为蓝色，则立方体中将不存在单色的共面 K₄，从而证明 <math>N^*</math> 至少为 4。]]		[[文件:GrahamCube.png\|缩略图\|图中展示了一个立方体的示例，包含 12 个共面的 K₄ 完全图，其中下方显示了一个单色 K₄。若将该 K₄ 底部的边改为蓝色，则立方体中将不存在单色的共面 K₄，从而证明 <math>N^*</math> 至少为 4。]]

	1971 年，R.L.~~Graham和B~~.L.Rothschild 在他们的论文<ref>GRAHAM R L, ROTHSCHILD B L. Ramsey’s theorem for $n$-parameter sets[J]. Transactions of the American Mathematical Society, 1971, 159: 257-292. https://www.ams.org/journals/tran/1971-159-00/S0002-9947-1971-0284352-8/S0002-9947-1971-0284352-8.pdf</ref>中证明了<math>N'\le N^*\le N</math>，		1971 年，R.L.Graham 和 B.L.Rothschild 在他们的论文<ref>GRAHAM R L, ROTHSCHILD B L. Ramsey’s theorem for $n$-parameter sets[J]. Transactions of the American Mathematical Society, 1971, 159: 257-292. https://www.ams.org/journals/tran/1971-159-00/S0002-9947-1971-0284352-8/S0002-9947-1971-0284352-8.pdf</ref>中证明了<math>N'\le N^*\le N</math>，

	其中<math>N'=6</math>，<math>N=F(F(F(F(F(F(F(12,3),3),3),3),3),3),3)</math>。		其中<math>N'=6</math>，<math>N=F(F(F(F(F(F(F(12,3),3),3),3),3),3),3)</math>。
第45行：		第45行：
	1976 年，Donald E.Knuth 在他的论文<ref>Donald E. Knuth, ''Mathematics and Computer Science: Coping with Finiteness'', Advances in Our Ability to Compute are Bringing Us Substantially Closer to Ultimate Limitations, Science 194, pp. 1235--1242, 1976.https://cse-robotics.engr.tamu.edu/dshell/cs625/finiteness.pdf</ref>中定义了现在所使用的高德纳箭头。		1976 年，Donald E.Knuth 在他的论文<ref>Donald E. Knuth, ''Mathematics and Computer Science: Coping with Finiteness'', Advances in Our Ability to Compute are Bringing Us Substantially Closer to Ultimate Limitations, Science 194, pp. 1235--1242, 1976.https://cse-robotics.engr.tamu.edu/dshell/cs625/finiteness.pdf</ref>中定义了现在所使用的高德纳箭头。

	1977 年，M.Gardner 在他的文章<ref>GARDNER M. Mathematical games[J]. Scientific American, 1977, 237(3): 28-38.https://raw.githubusercontent.com/AllenDowney/ModSimPy/master/papers/scientific_american_nov_77.pdf</ref>中定义了现在的葛立恒数。Gardner 在发现这个数字的大小时，发现很难解释，于是他设计了一个更大、更容易解释的数字。他在 Scientific Amercian 上写了关于这个数字的文章，后来在 1980 ~~年作为数学证明中使用的最大数字进入吉尼斯世界纪录，尽管几年后该记录已被删除。~~		1977 年，M.Gardner 在他的文章<ref>GARDNER M. Mathematical games[J]. Scientific American, 1977, 237(3): 28-38.https://raw.githubusercontent.com/AllenDowney/ModSimPy/master/papers/scientific_american_nov_77.pdf</ref>中定义了现在的葛立恒数。Gardner 在发现这个数字的大小时，发现很难解释，于是他设计了一个更大、更容易解释的数字。他在 Scientific Amercian 上写了关于这个数字的文章，后来在 1980 年作为数学证明中使用的最大数字进入吉尼斯世界纪录，尽管几年后该记录已被删除。一说是 Gardner 在与 Graham 交流后，Graham 给他提供的这个较为宽松的上界，但无从考证，Gardner 的原文章里也没有提及此事。

	~~一说是~~ Gardner 在与 Graham 交流后，Graham 给他提供的这个较为宽松的上界，但无从考证，Gardner 的原文章里也没有提及此事。

	1995 年，John.H.Conway, Richard.K.Guy 在 The Book of Numbers 一书<ref>Conway, J. H., & Guy, R. K. (1995). The Book of Numbers. Copernicus. https://studylib.net/doc/26253636/the-book-of-numbers</ref>中给出了葛立恒数，这被许多人认为是它的来源。		1995 年，John.H.Conway, Richard.K.Guy 在 The Book of Numbers 一书<ref>Conway, J. H., & Guy, R. K. (1995). The Book of Numbers. Copernicus. https://studylib.net/doc/26253636/the-book-of-numbers</ref>中给出了葛立恒数，这被许多人认为是它的来源。
第69行：		第67行：
	==== 在其他记号中的近似 ====		==== 在其他记号中的近似 ====

	* <math>3\rightarrow3\rightarrow64\rightarrow2</math>~~（链式箭头表示法）~~		* <math>3\rightarrow3\rightarrow64\rightarrow2</math>（[[康威链\|链式箭头表示法]]）
	* <math>\{3,65,1,2\}</math>（BEAF）		* <math>\{3,65,1,2\}</math>（BEAF）
	* <math>[3,3,4,64]</math>（Graham Array Notation，精确值）		* <math>[3,3,4,64]</math>（Graham Array Notation，精确值）
	* <math>E[3]3\#\#4\#64</math>（Hyper-E Notation）		* <math>E[3]3\#\#4\#64</math>（Hyper-E Notation）
	* <math>s(3,64,2,2)</math>~~（[[SAN]]）~~		* <math>s(3,64,2,2)</math>（SAN）
	* <math>64[\&1]</math>（Ampersand Notation）		* <math>64[\&1]</math>（Ampersand Notation）
	* <math>f_{\omega+1}(64)</math>（[[快速增长层级\|FGH]]）		* <math>f_{\omega+1}(64)</math>（[[快速增长层级\|FGH]]）
第79行：		第77行：
	* <math>g_{\Gamma_0}(65)</math>（[[慢速增长层级\|SGH]]）		* <math>g_{\Gamma_0}(65)</math>（[[慢速增长层级\|SGH]]）

	==== ~~葛立恒数的最后n位~~ ====		==== 葛立恒数的最后 n 位 ====
	可通过简单的模幂算法轻松计算葛立恒数的最后位数。以下是一个获取较小 x 值对应葛立恒数末 x 位数 N(x) 的简易算法：		可通过简单的模幂算法轻松计算葛立恒数的最后位数。以下是一个获取较小 x 值对应葛立恒数末 x 位数 N(x) 的简易算法：

第92行：		第90行：
	实际上，该方法会返回映射 <math>x \mapsto 3^x</math> 在 10 进制整数中的不动点的最后位数。因此上述“错误算法”仅能计算葛立恒数的末 b-1 位。由于 b 值极大（在此尺度下几乎与葛立恒数本身相当），该算法对所有实际应用的 x 值均有效——这可能是其曾被推广至任意正整数 x 的原因。		实际上，该方法会返回映射 <math>x \mapsto 3^x</math> 在 10 进制整数中的不动点的最后位数。因此上述“错误算法”仅能计算葛立恒数的末 b-1 位。由于 b 值极大（在此尺度下几乎与葛立恒数本身相当），该算法对所有实际应用的 x 值均有效——这可能是其曾被推广至任意正整数 x 的原因。

	最后 1000 位数字如下：<syntaxhighlight lang="text">... 69789 01699 96590 70368 75647 69571 41995 17294 68405 82682		葛立恒数的最后 1000 位数字如下：<syntaxhighlight lang="text">... 69789 01699 96590 70368 75647 69571 41995 17294 68405 82682
	71081 20793 88857 60678 08905 76605 97351 28204 06609 18730		71081 20793 88857 60678 08905 76605 97351 28204 06609 18730
	71084 83992 11311 79579 18089 16067 30297 76868 73493 26380		71084 83992 11311 79579 18089 16067 30297 76868 73493 26380
第113行：		第111行：
	03222 34872 39670 18485 18643 90591 04575 62726 24641 95387.</syntaxhighlight>		03222 34872 39670 18485 18643 90591 04575 62726 24641 95387.</syntaxhighlight>

	===== ~~前n位数字~~ =====		===== 前 n 位数字 =====
	当前学术界尚无法计算葛立恒数在十进制下的首位数字（且很可能永远无法实现），但可确定：		当前学术界尚无法计算葛立恒数在十进制下的首位数字（且很可能永远无法实现），但可确定：
	* 二进制下首位必为1（因所有非零正整数均满足此性质）		* 二进制下首位必为1（因所有非零正整数均满足此性质）
第121行：		第119行：
	除非进制本身是3的幂（如27进制），或与葛立恒数可比（如葛立恒数减64），否则无法计算其在其他进制下的首位数字。		除非进制本身是3的幂（如27进制），或与葛立恒数可比（如葛立恒数减64），否则无法计算其在其他进制下的首位数字。

	不过，仍然可以进行概率估计<ref~~><nowiki~~>https://www.zhihu.com/question/1912212423273841746/answer/1912287623952725543~~</nowiki>~~</ref>。		不过，仍然可以进行概率估计<ref>https://www.zhihu.com/question/1912212423273841746/answer/1912287623952725543</ref>：葛立恒数以<math>d</math>为开头的概率为

	~~葛立恒数以~~<math>d</math>为开头的概率为

	<math>P_d=\log_{10}(d+1)-\log_{10}(d)=\log_{10}(1+\frac{1}{d})</math>		<math>P_d=\log_{10}(d+1)-\log_{10}(d)=\log_{10}(1+\frac{1}{d})</math>

2025年7月2日 (三) 11:09 Phyrion

2025-07-02T11:09:44Z

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第120行：		第120行：

	除非进制本身是3的幂（如27进制），或与葛立恒数可比（如葛立恒数减64），否则无法计算其在其他进制下的首位数字。		除非进制本身是3的幂（如27进制），或与葛立恒数可比（如葛立恒数减64），否则无法计算其在其他进制下的首位数字。

			不过，仍然可以进行概率估计<ref><nowiki>https://www.zhihu.com/question/1912212423273841746/answer/1912287623952725543</nowiki></ref>。

			葛立恒数以<math>d</math>为开头的概率为

			<math>P_d=\log_{10}(d+1)-\log_{10}(d)=\log_{10}(1+\frac{1}{d})</math>

			如以<math>123</math>为开头的概率就是<math>P_{123}=\log_{10}(1+\frac{1}{123})\approx 0.0035</math>
	=== 参考资料 ===		=== 参考资料 ===
	<references />		<references />
	[[分类:入门]]		[[分类:入门]]
	[[分类:经典大数]]		[[分类:经典大数]]

2025年7月2日 (三) 10:18 Phyrion

2025-07-02T10:18:25Z

←上一版本		2025年7月2日 (三) 18:18的版本
第92行：		第92行：
	实际上，该方法会返回映射 <math>x \mapsto 3^x</math> 在 10 进制整数中的不动点的最后位数。因此上述“错误算法”仅能计算葛立恒数的末 b-1 位。由于 b 值极大（在此尺度下几乎与葛立恒数本身相当），该算法对所有实际应用的 x 值均有效——这可能是其曾被推广至任意正整数 x 的原因。		实际上，该方法会返回映射 <math>x \mapsto 3^x</math> 在 10 进制整数中的不动点的最后位数。因此上述“错误算法”仅能计算葛立恒数的末 b-1 位。由于 b 值极大（在此尺度下几乎与葛立恒数本身相当），该算法对所有实际应用的 x 值均有效——这可能是其曾被推广至任意正整数 x 的原因。

			最后 1000 位数字如下：<syntaxhighlight lang="text">... 69789 01699 96590 70368 75647 69571 41995 17294 68405 82682
			71081 20793 88857 60678 08905 76605 97351 28204 06609 18730
	最后 ~~400~~ 位数字如下：~~<ref>Graham's Number \| Brilliant Math & Science Wiki. https://brilliant.org/wiki/grahams-number/</ref>~~<syntaxhighlight lang="text">		71084 83992 11311 79579 18089 16067 30297 76868 73493 26380
	~~3881448314065252616878509555264605107117~~		38255 18970 12211 05348 18861 41584 87485 19200 98526 10652
	~~2000997092912495443788874960628829117250~~		52039 48232 20737 11493 41083 91687 37854 40379 86033 68448
	~~6300130362293491608025459461494578871427~~		47205 27292 48390 75786 66178 05529 41415 71193 66603 08189
	~~8323508292421020918258967535604308699380~~		28819 36678 77414 82317 80172 81269 34985 73578 32709 50758
	~~1689249889268099510169055919951195027887~~		57659 19749 47039 19315 29675 96669 23404 88030 23624 47049
	~~1783083701834023647454888222216157322801~~		10353 17809 08226 11674 69507 74641 91287 72824 43305 83239
	~~0132974509273445945043433009010969280253~~		50925 25499 35509 25261 68572 45956 57413 17934 41675 01485
	~~5275183328988446150894042482650181938515~~		02425 95069 50647 38395 65747 91365 19351 79833 45353 62521
	~~6253579639961899396790549663800322234872~~		43003 54012 60267 71622 67216 04198 10652 26316 93551 88780
	~~3967018485186439059104575627262464195387~~.		38814 48314 06525 26168 78509 55526 46051 07117 20009 97092
	</syntaxhighlight>		91249 54437 88874 96062 88291 17250 63001 30362 29349 16080
			25459 46149 45788 71427 83235 08292 42102 09182 58967 53560
			43086 99380 16892 49889 26809 95101 69055 91995 11950 27887
			17830 83701 83402 36474 54888 22221 61573 22801 01329 74509
			27344 59450 43433 00901 09692 80253 52751 83328 98844 61508
			94042 48265 01819 38515 62535 79639 96189 93967 90549 66380
			03222 34872 39670 18485 18643 90591 04575 62726 24641 95387.</syntaxhighlight>

	===== 前n位数字 =====		===== 前n位数字 =====

2025年7月2日 (三) 10:07 Phyrion

2025-07-02T10:07:06Z

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第65行：		第65行：
	Tim Chow 证明<ref>Tim Chow. Proof that G >> M. https://www-users.cs.york.ac.uk/susan/cyc/b/gmproof.htm</ref>了葛立恒数比 Moser数大得多。他于 1998 年 7 月 7 日将证明<ref>Stepney, Susan. Moser's polygon notation. Retrieved 2013-03-17. https://www-users.york.ac.uk/~ss44/cyc/b/big.htm#moser</ref>发送给 Susan Stepney。巧合的是，几天后 Todd Cesere 向 Stepney 发送了类似的证明。		Tim Chow 证明<ref>Tim Chow. Proof that G >> M. https://www-users.cs.york.ac.uk/susan/cyc/b/gmproof.htm</ref>了葛立恒数比 Moser数大得多。他于 1998 年 7 月 7 日将证明<ref>Stepney, Susan. Moser's polygon notation. Retrieved 2013-03-17. https://www-users.york.ac.uk/~ss44/cyc/b/big.htm#moser</ref>发送给 Susan Stepney。巧合的是，几天后 Todd Cesere 向 Stepney 发送了类似的证明。

	2021年，Daniel Nagaj 声称他的 16 态图灵机实现了多展开并超过了葛立恒数<ref>Daniel Nagaj. Multiexpandal growth Turing machine with 16 states, March 18, 2021. https://morphett.info/turing/turing.html</ref>，这意味着 <math>BB(16)>G(64)</math>。这一结论后来被S. Ligocki ~~证明。~~		2021年，Daniel Nagaj 声称他的 16 态图灵机实现了多展开并超过了葛立恒数<ref>Daniel Nagaj. Multiexpandal growth Turing machine with 16 states, March 18, 2021. https://morphett.info/turing/turing.html</ref>，这意味着 <math>BB(16)>G(64)</math>。这一结论后来被S. Ligocki 证明<ref>S.Ligochi. BB(16) > Graham's Number, July 11, 2022. https://www.sligocki.com/2022/07/11/bb-16-graham.html</ref>。

	==== 在其他记号中的近似 ====		==== 在其他记号中的近似 ====
第92行：		第92行：
	实际上，该方法会返回映射 <math>x \mapsto 3^x</math> 在 10 进制整数中的不动点的最后位数。因此上述“错误算法”仅能计算葛立恒数的末 b-1 位。由于 b 值极大（在此尺度下几乎与葛立恒数本身相当），该算法对所有实际应用的 x 值均有效——这可能是其曾被推广至任意正整数 x 的原因。		实际上，该方法会返回映射 <math>x \mapsto 3^x</math> 在 10 进制整数中的不动点的最后位数。因此上述“错误算法”仅能计算葛立恒数的末 b-1 位。由于 b 值极大（在此尺度下几乎与葛立恒数本身相当），该算法对所有实际应用的 x 值均有效——这可能是其曾被推广至任意正整数 x 的原因。

	~~葛立恒数的末 20 位是：...04,575,627,262,464,195,387。~~

	~~当前学术界尚无法计算葛立恒数在十进制下的首位数字（且很可能永远无法实现），但可确定：~~

	* 二进制下首位必为1（因所有非零正整数均满足此性质）
	* 三进制下首位必为1（因其是3的幂）
	* 九进制下首位必为3（因其是3的奇数次幂）

	~~除非进制本身是3的幂（如27进制），或与葛立恒数可比（如葛立恒数减64），否则无法计算其在其他进制下的首位数字。~~

	最后 400 位数字如下：<ref>Graham's Number \| Brilliant Math & Science Wiki. https://brilliant.org/wiki/grahams-number/</ref><syntaxhighlight lang="text">		最后 400 位数字如下：<ref>Graham's Number \| Brilliant Math & Science Wiki. https://brilliant.org/wiki/grahams-number/</ref><syntaxhighlight lang="text">
第115行：		第107行：
	</syntaxhighlight>		</syntaxhighlight>

			===== 前n位数字 =====
			当前学术界尚无法计算葛立恒数在十进制下的首位数字（且很可能永远无法实现），但可确定：
			* 二进制下首位必为1（因所有非零正整数均满足此性质）
			* 三进制下首位必为1（因其是3的幂）
			* 九进制下首位必为3（因其是3的奇数次幂）

			除非进制本身是3的幂（如27进制），或与葛立恒数可比（如葛立恒数减64），否则无法计算其在其他进制下的首位数字。
	=== 参考资料 ===		=== 参考资料 ===
	<references />		<references />
	[[分类:入门]]		[[分类:入门]]
	[[分类:经典大数]]		[[分类:经典大数]]

2025年7月2日 (三) 10:00 Phyrion

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	=== 比较 ===		=== 比较 ===
	<ref>Graham's Number \| Googology Wiki. https://googology.fandom.com/wiki/Graham%27s_number</ref>由于 <math>G(0)</math> 是 4 而不是 3，因此葛立恒数不能用[[康威链\|链式箭头表示法]]或 BEAF 有效表示。使用 Jonathan Bowers 的 base-3 G 函数，它正好是 <math>G^{64}4</math>。它也可以在 Graham Array Notation 中精确表示为 <math>[3,3,4,64]</math>。Tim Chow 证明<ref>Tim Chow. Proof that G >> M. https://www-users.cs.york.ac.uk/susan/cyc/b/gmproof.htm</ref>了葛立恒数比 Moser 大得多。证明取决于这样一个事实，即使用 Steinhaus-Moser 符号，a(k+2)-gon 中的 n 小于 <math>n\uparrow^{2k-1}n</math>。他于 1998 年 7 月 7 日将证明<ref>Stepney, Susan. Moser's polygon notation. Retrieved 2013-03-17. https://www-users.york.ac.uk/~ss44/cyc/b/big.htm#moser</ref>发送给 Susan Stepney。巧合的是，几天后 Todd Cesere 向 Stepney 发送了类似的证明。		<ref>Graham's Number \| Googology Wiki. https://googology.fandom.com/wiki/Graham%27s_number</ref>由于 <math>G(0)</math> 是 4 而不是 3，因此葛立恒数不能用[[康威链\|链式箭头表示法]]或 BEAF 有效表示。

	~~日本 googologist Fish~~ 证明<ref>~~Fish~~. ~~Upper bound of Graham~~'s ~~number in fast~~-~~growing hierarchy~~, ~~July 11~~, 2021. https://~~googology~~.~~fandom.com~~/~~wiki~~/~~User_blog:Kyodaisuu/Upper_bound_of_Graham%27s_number_in_fast-growing_hierarchy~~</ref> ~~Graham 的数小于~~ <math>~~f_{\omega+1}~~(64)</math> ~~在 [[快速增长层级\|FGH]] 中，相对于 Wainer 层次结构。~~		Tim Chow 证明<ref>Tim Chow. Proof that G >> M. https://www-users.cs.york.ac.uk/susan/cyc/b/gmproof.htm</ref>了葛立恒数比 Moser数大得多。他于 1998 年 7 月 7 日将证明<ref>Stepney, Susan. Moser's polygon notation. Retrieved 2013-03-17. https://www-users.york.ac.uk/~ss44/cyc/b/big.htm#moser</ref>发送给 Susan Stepney。巧合的是，几天后 Todd Cesere 向 Stepney 发送了类似的证明。

			2021年，Daniel Nagaj 声称他的 16 态图灵机实现了多展开并超过了葛立恒数<ref>Daniel Nagaj. Multiexpandal growth Turing machine with 16 states, March 18, 2021. https://morphett.info/turing/turing.html</ref>，这意味着 <math>BB(16)>G(64)</math>。这一结论后来被S. Ligocki 证明。

	已知远大于葛立恒数的特定整数此后出现在许多严肃的数学证明中，例如，与 Harvey Friedman 的各种有限形式的 Kruskal 定理有关。		已知远大于葛立恒数的特定整数此后出现在许多严肃的数学证明中，例如，与 Harvey Friedman 的各种有限形式的 Kruskal 定理有关。

	~~==== 与 Busy Beaver 函数的比较 ====~~

	* 2010-09-19：事实证明，葛立恒数远小于 <math>\Sigma(64)</math>。<ref>Surpassing Graham's Number. https://sites.google.com/site/res0001/surpassing-graham-s-number</ref>
	* 2016-07-24：根据 Wythagoras 的说法，他发现了一台图灵机，证明了 <math>\Sigma(18)>G</math> 通过改进 Deedlit11 的机器，并写了一份简短的证明草图，而不是一份严格的证明。<ref>Wythagoras. The nineteenth Busy Beaver number is greater than Graham's Number!, July 24, 2016. [https://googology.fandom.com/wiki/User_blog:Wythagoras/The_nineteenth_Busy_Beaver_number_is_greater_than_Graham%27s_Number! https://googology.fandom.com/wiki/User_blog:Wythagoras/The_nineteenth_Busy_Beaver_number_is_greater_than_Graham%27s_Number!]</ref>
	* 在英语 googology 社区中，人们认为更好的上限 <math>\Sigma(17)</math> 直到 2021 年 7 月 9 日才被某人证明，但至少没有关于结果的引用来源。
	* 2021-03-18：Daniel Nagaj 声称他的 16 态图灵机实现了多展开并超过了葛立恒数，这意味着 <math>\Sigma(16)>G</math>。<ref>Daniel Nagaj. Multiexpandal growth Turing machine with 16 states, March 18, 2021. https://morphett.info/turing/turing.html</ref>
	* 2022-07-11： S. Ligocki 证实 Daniel Nagaj 的 16 态图灵机超过了葛立恒数。 <ref>S.Ligochi. BB(16) > Graham's Number, July 11, 2022. https://www.sligocki.com/2022/07/11/bb-16-graham.html</ref>

	==== 在其他记号中的近似 ====		==== 在其他记号中的近似 ====
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	* <math>g_{\Gamma_0}(65)</math>（[[慢速增长层级\|SGH]]）		* <math>g_{\Gamma_0}(65)</math>（[[慢速增长层级\|SGH]]）

	==== ~~计算末位数字~~ ====		==== 葛立恒数的最后n位 ====
	可通过简单的模幂算法轻松计算葛立恒数的最后位数。以下是一个获取较小 x 值对应葛立恒数末 x 位数 N(x) 的简易算法：		可通过简单的模幂算法轻松计算葛立恒数的最后位数。以下是一个获取较小 x 值对应葛立恒数末 x 位数 N(x) 的简易算法：

2025年7月2日 (三) 09:33 Phyrion

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	=== 比较 ===		=== 比较 ===
	<ref>Graham's Number \| Googology Wiki. https://googology.fandom.com/wiki/Graham%27s_number</ref>由于 <math>~~g_0~~</math> 是 4 而不是 3，因此葛立恒数不能用[[康威链\|链式箭头表示法]]或 BEAF 有效表示。使用 Jonathan Bowers 的 base-3 G 函数，它正好是 <math>G^{64}4</math>。它也可以在 Graham Array Notation 中精确表示为 <math>[3,3,4,64]</math>。Tim Chow 证明<ref>Tim Chow. Proof that G >> M. https://www-users.cs.york.ac.uk/susan/cyc/b/gmproof.htm</ref>了葛立恒数比 Moser 大得多。证明取决于这样一个事实，即使用 Steinhaus-Moser 符号，a(k+2)-gon 中的 n 小于 <math>n\uparrow^{2k-1}n</math>。他于 1998 年 7 月 7 日将证明<ref>Stepney, Susan. Moser's polygon notation. Retrieved 2013-03-17. https://www-users.york.ac.uk/~ss44/cyc/b/big.htm#moser</ref>发送给 Susan Stepney。巧合的是，几天后 Todd Cesere 向 Stepney 发送了类似的证明。		<ref>Graham's Number \| Googology Wiki. https://googology.fandom.com/wiki/Graham%27s_number</ref>由于 <math>G(0)</math> 是 4 而不是 3，因此葛立恒数不能用[[康威链\|链式箭头表示法]]或 BEAF 有效表示。使用 Jonathan Bowers 的 base-3 G 函数，它正好是 <math>G^{64}4</math>。它也可以在 Graham Array Notation 中精确表示为 <math>[3,3,4,64]</math>。Tim Chow 证明<ref>Tim Chow. Proof that G >> M. https://www-users.cs.york.ac.uk/susan/cyc/b/gmproof.htm</ref>了葛立恒数比 Moser 大得多。证明取决于这样一个事实，即使用 Steinhaus-Moser 符号，a(k+2)-gon 中的 n 小于 <math>n\uparrow^{2k-1}n</math>。他于 1998 年 7 月 7 日将证明<ref>Stepney, Susan. Moser's polygon notation. Retrieved 2013-03-17. https://www-users.york.ac.uk/~ss44/cyc/b/big.htm#moser</ref>发送给 Susan Stepney。巧合的是，几天后 Todd Cesere 向 Stepney 发送了类似的证明。

	日本 googologist Fish 证明<ref>Fish. Upper bound of Graham's number in fast-growing hierarchy, July 11, 2021. https://googology.fandom.com/wiki/User_blog:Kyodaisuu/Upper_bound_of_Graham%27s_number_in_fast-growing_hierarchy</ref> Graham 的数小于 <math>f_{\omega+1}(64)</math> 在 [[快速增长层级\|FGH]] 中，相对于 Wainer 层次结构。		日本 googologist Fish 证明<ref>Fish. Upper bound of Graham's number in fast-growing hierarchy, July 11, 2021. https://googology.fandom.com/wiki/User_blog:Kyodaisuu/Upper_bound_of_Graham%27s_number_in_fast-growing_hierarchy</ref> Graham 的数小于 <math>f_{\omega+1}(64)</math> 在 [[快速增长层级\|FGH]] 中，相对于 Wainer 层次结构。

2025年7月2日 (三) 09:22 Phyrion

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	[[文件:GrahamCube.png\|缩略图\|图中展示了一个立方体的示例，包含 12 个共面的 K₄ 完全图，其中下方显示了一个单色 K₄。若将该 K₄ 底部的边改为蓝色，则立方体中将不存在单色的共面 K₄，从而证明 <math>N^*</math> 至少为 4。]]		[[文件:GrahamCube.png\|缩略图\|图中展示了一个立方体的示例，包含 12 个共面的 K₄ 完全图，其中下方显示了一个单色 K₄。若将该 K₄ 底部的边改为蓝色，则立方体中将不存在单色的共面 K₄，从而证明 <math>N^*</math> 至少为 4。]]

	1971 年，R.L.~~Graham, B~~.L.Rothschild 在他们的论文<ref>GRAHAM R L, ROTHSCHILD B L. Ramsey’s theorem for $n$-parameter sets[J]. Transactions of the American Mathematical Society, 1971, 159: 257-292. https://www.ams.org/journals/tran/1971-159-00/S0002-9947-1971-0284352-8/S0002-9947-1971-0284352-8.pdf</ref>中证明了<math>N'\le N^*\le N</math>，		1971 年，R.L.Graham和B.L.Rothschild 在他们的论文<ref>GRAHAM R L, ROTHSCHILD B L. Ramsey’s theorem for $n$-parameter sets[J]. Transactions of the American Mathematical Society, 1971, 159: 257-292. https://www.ams.org/journals/tran/1971-159-00/S0002-9947-1971-0284352-8/S0002-9947-1971-0284352-8.pdf</ref>中证明了<math>N'\le N^*\le N</math>，

	其中<math>N'=6</math>，<math>N=F(F(F(F(F(F(F(12,3),3),3),3),3),3),3)</math>。		其中<math>N'=6</math>，<math>N=F(F(F(F(F(F(F(12,3),3),3),3),3),3),3)</math>。

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	=== 比较 ===		=== 比较 ===
	<ref>Graham's Number \| Googology Wiki. https://googology.fandom.com/wiki/Graham%27s_number</ref>由于 <math>G(0)</math> 是 4 而不是 3，因此葛立恒数不能用[[康威链\|链式箭头表示法]]或 BEAF ~~有效表示。~~		<ref>Graham's Number \| Googology Wiki. https://googology.fandom.com/wiki/Graham%27s_number</ref>由于 <math>G(0)</math> 是 4 而不是 3，因此葛立恒数不能用[[康威链\|链式箭头表示法]]或 [[BEAF]] 精确表示。

	Tim Chow 证明<ref>Tim Chow. Proof that G >> M. https://www-users.cs.york.ac.uk/susan/cyc/b/gmproof.htm</ref>了葛立恒数比 Moser数大得多。他于 1998 年 7 月 7 日将证明<ref>Stepney, Susan. Moser's polygon notation. Retrieved 2013-03-17. https://www-users.york.ac.uk/~ss44/cyc/b/big.htm#moser</ref>发送给 Susan Stepney。巧合的是，几天后 Todd Cesere 向 Stepney 发送了类似的证明。		Tim Chow 证明<ref>Tim Chow. Proof that G >> M. https://www-users.cs.york.ac.uk/susan/cyc/b/gmproof.htm</ref>了葛立恒数比 Moser数大得多。他于 1998 年 7 月 7 日将证明<ref>Stepney, Susan. Moser's polygon notation. Retrieved 2013-03-17. https://www-users.york.ac.uk/~ss44/cyc/b/big.htm#moser</ref>发送给 Susan Stepney。巧合的是，几天后 Todd Cesere 向 Stepney 发送了类似的证明。

	2021年，Daniel Nagaj 声称他的 16 态图灵机实现了多展开并超过了葛立恒数<ref>Daniel Nagaj. Multiexpandal growth Turing machine with 16 states, March 18, 2021. https://morphett.info/turing/turing.html</ref>，这意味着 <math>BB(16)>G(64)</math>。这一结论后来被S. Ligocki 证明。		2021年，Daniel Nagaj 声称他的 16 态图灵机实现了多展开并超过了葛立恒数<ref>Daniel Nagaj. Multiexpandal growth Turing machine with 16 states, March 18, 2021. https://morphett.info/turing/turing.html</ref>，这意味着 <math>BB(16)>G(64)</math>。这一结论后来被S. Ligocki 证明。

	~~已知远大于葛立恒数的特定整数此后出现在许多严肃的数学证明中，例如，与 Harvey Friedman 的各种有限形式的 Kruskal 定理有关。~~

	==== 在其他记号中的近似 ====		==== 在其他记号中的近似 ====

	* <math>3\rightarrow3\rightarrow64\rightarrow2</math>~~（[[康威链\|链式箭头表示法]]）~~		* <math>3\rightarrow3\rightarrow64\rightarrow2</math>（链式箭头表示法）
	* <math>\{3,65,1,2\}</math>（BEAF）		* <math>\{3,65,1,2\}</math>（BEAF）
	* <math>[3,3,4,64]</math>（Graham Array Notation，精确值）		* <math>[3,3,4,64]</math>（Graham Array Notation，精确值）
	* <math>E[3]3\#\#4\#64</math>（Hyper-E Notation）		* <math>E[3]3\#\#4\#64</math>（Hyper-E Notation）
	* <math>s(3,64,2,2)</math>~~（SAN）~~		* <math>s(3,64,2,2)</math>（[[SAN]]）
	* <math>64[\&1]</math>（Ampersand Notation）		* <math>64[\&1]</math>（Ampersand Notation）
	* <math>f_{\omega+1}(64)</math>（[[快速增长层级\|FGH]]）		* <math>f_{\omega+1}(64)</math>（[[快速增长层级\|FGH]]）