良序 - 版本历史

2025年8月20日 (三) 08:35 Z

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	[[分类:集合论相关]]		[[分类:集合论相关]]
			[[分类:重要概念]]

Zhy137036：/* 概念 */

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概念

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第20行：		第20行：
	在描述具有无限个元素的集合的元素“多少”的时候，我们定义了势，即如果两个集合间能建立双射，则它们具有相同的势．那么，为了更精确描述良序集的“大小”，我们定义'''保序映射'''：		在描述具有无限个元素的集合的元素“多少”的时候，我们定义了势，即如果两个集合间能建立双射，则它们具有相同的势．那么，为了更精确描述良序集的“大小”，我们定义'''保序映射'''：

	如果集合 <math>(A,\mathcal L)</math>和<math>(B,\mathcal R)</math> 是良序集，<math>f : A \to B</math>，若对任意的 <math>x,y\in A</math>，有 <math>x\mathcal{L}y\implies f(x)\mathcal{R}f(y)</math>，则称 <math>f</math> 是保序映射．		如果集合 <math>(A,\mathcal L)</math> 和 <math>(B,\mathcal R)</math> 是良序集，<math>f : A \to B</math>，若对任意的 <math>x,y\in A</math>，有 <math>x\mathcal{L}y\implies f(x)\mathcal{R}f(y)</math>，则称 <math>f</math> 是保序映射．

	良序集中小于某元素的元素构成的集合依然是良序集，我们定义这一集合为该良序集关于该元素的'''前段'''，即如果 <math>(W,\leq)</math> 是良序集且 <math>u\in W</math>，则集合 <math>\{x\in W\|x<u\}</math> 是 <math>W</math> 关于 <math>u</math> 的前段．		良序集中小于某元素的元素构成的集合依然是良序集，我们定义这一集合为该良序集关于该元素的'''前段'''，即如果 <math>(W,\leq)</math> 是良序集且 <math>u\in W</math>，则集合 <math>\{x\in W\|x<u\}</math> 是 <math>W</math> 关于 <math>u</math> 的前段．
第26行：		第26行：
	于是我们可以定义'''序型'''：		于是我们可以定义'''序型'''：

	如果集合 <math>(A,L)</math>和<math>(B,R)</math> 是良序集，且存在双射 <math>f:A\to B</math> 使得 <math>f</math> 和 <math>f^{-1}</math> 均为保序映射，则称 <math>(A,L)</math>和<math>(B,R)</math> '''序同构'''，即具有相同的序型．		如果集合 <math>(A,\mathcal L)</math> 和 <math>(B,\mathcal R)</math> 是良序集，且存在双射 <math>f:A\to B</math> 使得 <math>f</math> 和 <math>f^{-1}</math> 均为保序映射，则称 <math>(A,\mathcal L)</math>和<math>(B,\mathcal R)</math> '''序同构'''，即具有相同的序型．

	如果集合 <math>(A,L)</math>与集合<math>(B,R)</math> 的某一前段同构，则称 <math>(A,L)</math> 的序型小于 <math>(B,R)</math>．		如果集合 <math>(A,\mathcal L)</math> 与集合 <math>(B,\mathcal R)</math> 的某一前段同构，则称 <math>(A,\mathcal L)</math> 的序型小于 <math>(B,\mathcal R)</math>．

			根据[[命数定理]]，任意良序集 <math>(A,\le)</math> 与唯一[[序数]] <math>\alpha</math> 同构，我们也把这个序数 <math>\alpha</math> 叫做良序集 <math>(A,\le)</math> 的序型．

	[[分类:集合论相关]]		[[分类:集合论相关]]

2025年7月30日 (三) 08:33 Zhy137036

2025-07-30T08:33:50Z

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第1行：		第1行：
	== 偏序集 ==		== 偏序集 ==

	如果一个非空集合 A 上定义的一个二元关系 <math>\leq</math> 满足		如果一个非空集合 <math>A</math> 上定义的一个二元关系 <math>\leq</math> 满足

	# 自反性：<math>\forall a \in A,a \leq a</math>		# 自反性：<math>\forall a \in A,a \leq a</math>
	# 反对称性：<math>\forall a,b \in A,(a \leq b \& b \leq a)\Rightarrow a = b</math>		# 反对称性：<math>\forall a,b \in A,(a \leq b \land b \leq a)\Rightarrow a = b</math>
	# 传递性：<math>\forall a,b,c \in A,(a \leq b \& b \leq c)\Rightarrow a \leq c</math>		# 传递性：<math>\forall a,b,c \in A,(a \leq b \land b \leq c)\Rightarrow a \leq c</math>

	我们就称这个二元关系为集合上的一个'''偏序'''，集合称为'''偏序集'''，记作 <math>(A,\leq)</math>		我们就称这个二元关系为集合上的一个'''偏序'''，集合称为'''偏序集'''，记作 <math>(A,\leq)</math>．

	== 良序集 ==		== 良序集 ==
第13行：		第13行：
	在偏序关系的基础上，我们进一步引入全序关系的概念：		在偏序关系的基础上，我们进一步引入全序关系的概念：

	设有一偏序集 <math>(A,\leq)</math>，如果对集合的任意有限非空子集都有关于偏序的最小元素，即我们就称偏序是'''全序'''，<math>(A,\leq)</math> 是一个'''全序集'''~~。上述定义等价于~~ <math>\forall a,b\in A</math>，总有 <math>a \leq b</math> 或 <math>b \leq a</math> ~~一者成立（集合的任意两个元素之间可以比较大小）。~~		设有一偏序集 <math>(A,\leq)</math>，如果对集合的任意有限非空子集都有关于偏序的最小元素，即我们就称偏序是'''全序'''，<math>(A,\leq)</math> 是一个'''全序集'''．上述定义等价于 <math>\forall a,b\in A</math>，总有 <math>a \leq b</math> 或 <math>b \leq a</math> 至少一者成立（集合的任意两个元素之间可以比较大小）．

	如果将全序集中关于“集合的任意有限非空子集”改为“集合的任意非空子集”，结论依然成立的集合称为一个'''良序集'''~~，此时≤为集合上的一个~~'''良序'''。		如果将全序集中关于“集合的任意有限非空子集”改为“集合的任意非空子集”，结论依然成立的集合称为一个'''良序集'''，此时 <math>\le</math> 为集合上的一个'''良序'''．

	== 概念 ==		== 概念 ==
	在描述具有无限个元素的集合的元素“多少”的时候，我们定义了势，即如果两个集合间能建立双射，则它们具有相同的势。那么，为了更精确描述良序集的“大小”，我们定义'''保序映射'''：		在描述具有无限个元素的集合的元素“多少”的时候，我们定义了势，即如果两个集合间能建立双射，则它们具有相同的势．那么，为了更精确描述良序集的“大小”，我们定义'''保序映射'''：

	如果集合 <math>(A,L)</math>和<math>(B,R)</math> 是良序集，<math>~~\rm{~~f} : A \~~rightarrow~~ B</math>，若对任意的 <math>x,y\in A</math>，若 <math>\rm{~~xLy~~}~~</math> 有 <math>~~\~~rm{~~f(x)Rf(y)}</math>，则称 f ~~是保序映射。~~		如果集合 <math>(A,\mathcal L)</math>和<math>(B,\mathcal R)</math> 是良序集，<math>f : A \to B</math>，若对任意的 <math>x,y\in A</math>，有 <math>x\mathcal{L}y\implies f(x)\mathcal{R}f(y)</math>，则称 <math>f</math> 是保序映射．

	良序集中小于某元素的元素构成的集合依然是良序集，我们定义这一集合为该良序集关于该元素的'''前段'''，即如果 <math>(W,\leq)</math> 是良序集且 <math>u\in W</math>，则集合 <math>\{x\in W\|x<u\}</math> 是 W 关于 u ~~的前段。~~		良序集中小于某元素的元素构成的集合依然是良序集，我们定义这一集合为该良序集关于该元素的'''前段'''，即如果 <math>(W,\leq)</math> 是良序集且 <math>u\in W</math>，则集合 <math>\{x\in W\|x<u\}</math> 是 <math>W</math> 关于 <math>u</math> 的前段．

	于是我们可以定义'''序型'''：		于是我们可以定义'''序型'''：

	如果集合 <math>(A,L)</math>和<math>(B,R)</math> ~~是良序集，且存在~~ <math>~~\rm{~~f} : A \~~rightarrow~~ B</math>和<math>~~\rm~~{f'} ~~: B \rightarrow A~~</math> 均为保序映射，则称 <math>(A,L)</math>和<math>(B,R)</math> '''同构'''~~，且具有相同的序型。~~		如果集合 <math>(A,L)</math>和<math>(B,R)</math> 是良序集，且存在双射 <math>f:A\to B</math> 使得 <math>f</math> 和 <math>f^{-1}</math> 均为保序映射，则称 <math>(A,L)</math>和<math>(B,R)</math> '''序同构'''，即具有相同的序型．

	如果集合 <math>(A,L)</math>与集合<math>(B,R)</math> 的某一前段同构，则称 <math>(A,L)</math> 的序型小于 <math>(B,R)</math>。		如果集合 <math>(A,L)</math>与集合<math>(B,R)</math> 的某一前段同构，则称 <math>(A,L)</math> 的序型小于 <math>(B,R)</math>．

	[[分类:集合论相关]]		[[分类:集合论相关]]

2025年7月27日 (日) 08:09 Tabelog

2025-07-27T08:09:25Z

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第1行：		第1行：
	== 偏序集 ==		== 偏序集 ==
	~~如果一个非空集合A上定义的一个二元关系~~<math>\leq</math>满足
			如果一个非空集合 A 上定义的一个二元关系 <math>\leq</math> 满足

	# 自反性：<math>\forall a \in A,a \leq a</math>		# 自反性：<math>\forall a \in A,a \leq a</math>
第6行：		第7行：
	# 传递性：<math>\forall a,b,c \in A,(a \leq b \& b \leq c)\Rightarrow a \leq c</math>		# 传递性：<math>\forall a,b,c \in A,(a \leq b \& b \leq c)\Rightarrow a \leq c</math>

	我们就称这个二元关系为集合上的一个'''偏序'''，集合称为'''偏序集'''，记作<math>(A,\leq)</math>		我们就称这个二元关系为集合上的一个'''偏序'''，集合称为'''偏序集'''，记作 <math>(A,\leq)</math>

	== 良序集 ==		== 良序集 ==

	在偏序关系的基础上，我们进一步引入全序关系的概念：		在偏序关系的基础上，我们进一步引入全序关系的概念：

	设有一偏序集<math>(A,\leq)</math>，如果对集合的任意有限非空子集都有关于偏序的最小元素，即我们就称偏序是'''全序'''，<math>(A,\leq)</math>是一个'''全序集'''。上述定义等价于<math>\forall a,b\in A</math>，总有<math>a \leq b</math>或<math>b \leq a</math>一者成立（集合的任意两个元素之间可以比较大小）。		设有一偏序集 <math>(A,\leq)</math>，如果对集合的任意有限非空子集都有关于偏序的最小元素，即我们就称偏序是'''全序'''，<math>(A,\leq)</math> 是一个'''全序集'''。上述定义等价于 <math>\forall a,b\in A</math>，总有 <math>a \leq b</math> 或 <math>b \leq a</math> 一者成立（集合的任意两个元素之间可以比较大小）。

	如果将全序集中关于“集合的任意有限非空子集”改为“集合的任意非空子集”，结论依然成立的集合称为一个'''良序集'''，此时≤为集合上的一个'''良序'''。		如果将全序集中关于“集合的任意有限非空子集”改为“集合的任意非空子集”，结论依然成立的集合称为一个'''良序集'''，此时≤为集合上的一个'''良序'''。
第18行：		第20行：
	在描述具有无限个元素的集合的元素“多少”的时候，我们定义了势，即如果两个集合间能建立双射，则它们具有相同的势。那么，为了更精确描述良序集的“大小”，我们定义'''保序映射'''：		在描述具有无限个元素的集合的元素“多少”的时候，我们定义了势，即如果两个集合间能建立双射，则它们具有相同的势。那么，为了更精确描述良序集的“大小”，我们定义'''保序映射'''：

	如果集合<math>(A,L)</math>和<math>(B,R)</math>是良序集，<math>\rm{f} : A \rightarrow B</math>~~,若对任意的~~<math>x,y\in A</math>，若<math>\rm{xLy}</math>有<math>\rm{f(x)Rf(y)}</math>~~,则称f是保序映射。~~		如果集合 <math>(A,L)</math>和<math>(B,R)</math> 是良序集，<math>\rm{f} : A \rightarrow B</math>，若对任意的 <math>x,y\in A</math>，若 <math>\rm{xLy}</math> 有 <math>\rm{f(x)Rf(y)}</math>，则称 f 是保序映射。

	良序集中小于某元素的元素构成的集合依然是良序集，我们定义这一集合为该良序集关于该元素的'''前段'''，即如果<math>(W,\leq)</math>是良序集且<math>u\in W</math>~~,则集合~~<math>\{x\in W\|x<u\}</math>~~是W关于u的前段。~~		良序集中小于某元素的元素构成的集合依然是良序集，我们定义这一集合为该良序集关于该元素的'''前段'''，即如果 <math>(W,\leq)</math> 是良序集且 <math>u\in W</math>，则集合 <math>\{x\in W\|x<u\}</math> 是 W 关于 u 的前段。

	于是我们可以定义'''序型'''：		于是我们可以定义'''序型'''：

	如果集合<math>(A,L)</math>和<math>(B,R)</math>是良序集，且存在<math>\rm{f} : A \rightarrow B</math>和<math>\rm{f'} : B \rightarrow A</math>均为保序映射，则称<math>(A,L)</math>和<math>(B,R)</math>'''同构'''，且具有相同的序型。		如果集合 <math>(A,L)</math>和<math>(B,R)</math> 是良序集，且存在 <math>\rm{f} : A \rightarrow B</math>和<math>\rm{f'} : B \rightarrow A</math> 均为保序映射，则称 <math>(A,L)</math>和<math>(B,R)</math> '''同构'''，且具有相同的序型。

			如果集合 <math>(A,L)</math>与集合<math>(B,R)</math> 的某一前段同构，则称 <math>(A,L)</math> 的序型小于 <math>(B,R)</math>。

	~~如果集合<math>(A,L)</math>与集合<math>(B,R)</math>的某一前段同构，则称<math>(A,L)</math>的序型小于<math>(B,R)</math>~~		[[分类:集合论相关]]
	[[分类:入门]]

2025年7月2日 (三) 23:16 Z

2025-07-02T23:16:53Z

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第14行：		第14行：

	如果将全序集中关于“集合的任意有限非空子集”改为“集合的任意非空子集”，结论依然成立的集合称为一个'''良序集'''，此时≤为集合上的一个'''良序'''。		如果将全序集中关于“集合的任意有限非空子集”改为“集合的任意非空子集”，结论依然成立的集合称为一个'''良序集'''，此时≤为集合上的一个'''良序'''。

			== 概念 ==
			在描述具有无限个元素的集合的元素“多少”的时候，我们定义了势，即如果两个集合间能建立双射，则它们具有相同的势。那么，为了更精确描述良序集的“大小”，我们定义'''保序映射'''：

			如果集合<math>(A,L)</math>和<math>(B,R)</math>是良序集，<math>\rm{f} : A \rightarrow B</math>,若对任意的<math>x,y\in A</math>，若<math>\rm{xLy}</math>有<math>\rm{f(x)Rf(y)}</math>,则称f是保序映射。

			良序集中小于某元素的元素构成的集合依然是良序集，我们定义这一集合为该良序集关于该元素的'''前段'''，即如果<math>(W,\leq)</math>是良序集且<math>u\in W</math>,则集合<math>\{x\in W\|x<u\}</math>是W关于u的前段。

			于是我们可以定义'''序型'''：

			如果集合<math>(A,L)</math>和<math>(B,R)</math>是良序集，且存在<math>\rm{f} : A \rightarrow B</math>和<math>\rm{f'} : B \rightarrow A</math>均为保序映射，则称<math>(A,L)</math>和<math>(B,R)</math>'''同构'''，且具有相同的序型。

			如果集合<math>(A,L)</math>与集合<math>(B,R)</math>的某一前段同构，则称<math>(A,L)</math>的序型小于<math>(B,R)</math>
	[[分类:入门]]		[[分类:入门]]

2025年7月2日 (三) 15:45 Z

2025-07-02T15:45:06Z

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第14行：		第14行：

	如果将全序集中关于“集合的任意有限非空子集”改为“集合的任意非空子集”，结论依然成立的集合称为一个'''良序集'''，此时≤为集合上的一个'''良序'''。		如果将全序集中关于“集合的任意有限非空子集”改为“集合的任意非空子集”，结论依然成立的集合称为一个'''良序集'''，此时≤为集合上的一个'''良序'''。
			[[分类:入门]]

Z：创建页面，内容为“== 偏序集 == 如果一个非空集合A上定义的一个二元关系 $\leq$ 满足 # 自反性： $\forall a \in A,a \leq a$ # 反对称性： $\forall a,b \in A,(a \leq b \& b \leq a)\Rightarrow a = b$ # 传递性： $\forall a,b,c \in A,(a \leq b \& b \leq c)\Rightarrow a \leq c$ 我们就称这个二元关系为集合上的一个'''偏序'''，集合称为'''偏序集'''，记作 $(A,\leq)$ == 良序集…”

2025-07-02T15:43:54Z

创建页面，内容为“== 偏序集 == 如果一个非空集合A上定义的一个二元关系<math>\leq</math>满足 # 自反性：<math>\forall a \in A,a \leq a</math> # 反对称性：<math>\forall a,b \in A,(a \leq b \& b \leq a)\Rightarrow a = b</math> # 传递性：<math>\forall a,b,c \in A,(a \leq b \& b \leq c)\Rightarrow a \leq c</math> 我们就称这个二元关系为集合上的一个'''偏序'''，集合称为'''偏序集'''，记作<math>(A,\leq)</math> == 良序集…”

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== 偏序集 ==
如果一个非空集合A上定义的一个二元关系<math>\leq</math>满足

# 自反性：<math>\forall a \in A,a \leq a</math>
# 反对称性：<math>\forall a,b \in A,(a \leq b \& b \leq a)\Rightarrow a = b</math>
# 传递性：<math>\forall a,b,c \in A,(a \leq b \& b \leq c)\Rightarrow a \leq c</math>

我们就称这个二元关系为集合上的一个'''偏序'''，集合称为'''偏序集'''，记作<math>(A,\leq)</math>

== 良序集 ==
在偏序关系的基础上，我们进一步引入全序关系的概念：

设有一偏序集<math>(A,\leq)</math>，如果对集合的任意有限非空子集都有关于偏序的最小元素，即我们就称偏序是'''全序'''，<math>(A,\leq)</math>是一个'''全序集'''。上述定义等价于<math>\forall a,b\in A</math>，总有<math>a \leq b</math>或<math>b \leq a</math>一者成立（集合的任意两个元素之间可以比较大小）。

如果将全序集中关于“集合的任意有限非空子集”改为“集合的任意非空子集”，结论依然成立的集合称为一个'''良序集'''，此时≤为集合上的一个'''良序'''。