良基宇宙等同于集论全域的证明 - 版本历史

2025年8月31日 (日) 03:06 Tabelog

2025-08-31T03:06:03Z

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	由[[ZFC公理体系#正则公理\|正则公理]]，我们可以得到		由[[ZFC公理体系#正则公理\|正则公理]]，我们可以得到

	~~引理1：任何非空类都有~~ <math>\in</math> 关系上的最小元		'''引理 1'''：任何非空类都有 <math>\in</math> 关系上的最小元

	证明：取任意 <math>S \in C</math>。如果 <math>S \cap C = \emptyset</math>，则 <math>S </math> 是 <math>C</math> 上最小元；如果 <math>S \cap C </math> 不为 <math>\emptyset</math>，则我们让 <math>X = T \cap C</math>，其中 <math>T=\mathcal{TC}(S)</math> （ <math>\mathcal{TC}(S)</math> 表示 <math>S</math> 的[[传递闭包]]）。 <math>X</math> 是非空集并根据正则公理，有 <math>x \in X</math>，使得 <math>x \cap X = \emptyset </math>。由此可见， <math>x \cap C = \emptyset</math>；否则，如果 <math>y \in x</math> 并且 <math>y \in C</math>，则 <math>y \in T</math>，由 <math>T</math> 是[[传递集\|传递的]]，因此 <math>y \in x \cap T \cap C = x \cap X</math>。因此 <math>x</math> 是 <math>C</math> 上 <math>\in</math> 关系最小元。		证明：取任意 <math>S \in C</math>。如果 <math>S \cap C = \emptyset</math>，则 <math>S </math> 是 <math>C</math> 上最小元；如果 <math>S \cap C </math> 不为 <math>\emptyset</math>，则我们让 <math>X = T \cap C</math>，其中 <math>T=\mathcal{TC}(S)</math> （ <math>\mathcal{TC}(S)</math> 表示 <math>S</math> 的[[传递闭包]]）。 <math>X</math> 是非空集并根据正则公理，有 <math>x \in X</math>，使得 <math>x \cap X = \emptyset </math>。由此可见， <math>x \cap C = \emptyset</math>；否则，如果 <math>y \in x</math> 并且 <math>y \in C</math>，则 <math>y \in T</math>，由 <math>T</math> 是[[传递集\|传递的]]，因此 <math>y \in x \cap T \cap C = x \cap X</math>。因此 <math>x</math> 是 <math>C</math> 上 <math>\in</math> 关系最小元。

	~~定理：对于任何集合~~ <math>x</math>，都存在一个[[序数]] <math>\alpha</math> 使得 <math>x\in V_{\alpha}</math>		'''定理'''：对于任何集合 <math>x</math>，都存在一个[[序数]] <math>\alpha</math> 使得 <math>x\in V_{\alpha}</math>

	~~证明：使用反证法，考虑全体不属于某个~~ <math>V_{\alpha}</math> 的集合组成的非空类 <math>C</math>，由引理1， <math>C</math> 有 <math>\in</math> 关系上的最小元 <math>x</math>，则对于任意 <math>\beta \in x</math>，存在 <math>\alpha</math> 使得 <math>\beta \in V_{\alpha}</math>		'''证明'''：使用反证法，考虑全体不属于某个 <math>V_{\alpha}</math> 的集合组成的非空类 <math>C</math>，由引理1， <math>C</math> 有 <math>\in</math> 关系上的最小元 <math>x</math>，则对于任意 <math>\beta \in x</math>，存在 <math>\alpha</math> 使得 <math>\beta \in V_{\alpha}</math>

	所以对于任意 <math>\beta \in x</math>， <math>\beta \in \mathrm{WF}</math>，所以 <math>x</math> 是 <math>\mathrm{WF}</math> 的子类。因为 <math>x</math> 是个集合（所以不存在从 <math>x</math> 到 <math>\mathrm{Ord}</math> 的满射，所以存在某个序数 <math>\gamma</math> 使得 <math>\gamma</math> 和 <math>x</math> 之间存在双射，所以 <math>x</math> 是 <math>V_{\gamma}</math> 的子集），所以存在某个 <math>V_{\alpha}</math> 使得 <math>x</math> 是 <math>V_{\alpha}</math> 的子集，则 <math>x\in V_{\alpha+1}</math>，矛盾，所以 <math>C</math> 为空，得证。		所以对于任意 <math>\beta \in x</math>， <math>\beta \in \mathrm{WF}</math>，所以 <math>x</math> 是 <math>\mathrm{WF}</math> 的子类。因为 <math>x</math> 是个集合（所以不存在从 <math>x</math> 到 <math>\mathrm{Ord}</math> 的满射，所以存在某个序数 <math>\gamma</math> 使得 <math>\gamma</math> 和 <math>x</math> 之间存在双射，所以 <math>x</math> 是 <math>V_{\gamma}</math> 的子集），所以存在某个 <math>V_{\alpha}</math> 使得 <math>x</math> 是 <math>V_{\alpha}</math> 的子集，则 <math>x\in V_{\alpha+1}</math>，矛盾，所以 <math>C</math> 为空，得证。
	[[分类:集合论相关]]		[[分类:集合论相关]]
	~~[[分类:证明]]~~

2025年8月15日 (五) 09:51 虚妄之幻

2025-08-15T09:51:12Z

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	所以对于任意 <math>\beta \in x</math>， <math>\beta \in \mathrm{WF}</math>，所以 <math>x</math> 是 <math>\mathrm{WF}</math> 的子类。因为 <math>x</math> 是个集合（所以不存在从 <math>x</math> 到 <math>\mathrm{Ord}</math> 的满射，所以存在某个序数 <math>\gamma</math> 使得 <math>\gamma</math> 和 <math>x</math> 之间存在双射，所以 <math>x</math> 是 <math>V_{\gamma}</math> 的子集），所以存在某个 <math>V_{\alpha}</math> 使得 <math>x</math> 是 <math>V_{\alpha}</math> 的子集，则 <math>x\in V_{\alpha+1}</math>，矛盾，所以 <math>C</math> 为空，得证。		所以对于任意 <math>\beta \in x</math>， <math>\beta \in \mathrm{WF}</math>，所以 <math>x</math> 是 <math>\mathrm{WF}</math> 的子类。因为 <math>x</math> 是个集合（所以不存在从 <math>x</math> 到 <math>\mathrm{Ord}</math> 的满射，所以存在某个序数 <math>\gamma</math> 使得 <math>\gamma</math> 和 <math>x</math> 之间存在双射，所以 <math>x</math> 是 <math>V_{\gamma}</math> 的子集），所以存在某个 <math>V_{\alpha}</math> 使得 <math>x</math> 是 <math>V_{\alpha}</math> 的子集，则 <math>x\in V_{\alpha+1}</math>，矛盾，所以 <math>C</math> 为空，得证。
			[[分类:集合论相关]]
			[[分类:证明]]

QWQ-bili：美化公式

2025-08-04T09:14:10Z

美化公式

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	~~由正则公理，我们可以得到~~		由[[ZFC公理体系#正则公理\|正则公理]]，我们可以得到

	~~引理1：任何非空类都有∈关系上的最小元~~		引理1：任何非空类都有 <math>\in</math> 关系上的最小元

	~~证明：取任意S ∈~~ C 。如果 S ∩ C = ~~∅，则~~ S ~~是C上最小元;如果~~ S ∩ C 不为 ~~∅，则我们让~~ X = T ~~∩ C，其中~~ <math>T=\mathcal{TC}(S)</math>（<math>\mathcal{TC}(S)</math> ~~表示S的~~[[传递闭包]]~~）。X~~ 是非空集并根据正则公理，有 x ~~∈ X，使得~~ x ∩ X = ~~∅。由此可见，x ∩~~ C = ~~∅;否则，如果~~ y ∈ x 并且 y ~~∈ C，则~~ y ~~∈ T，由T 是传递的，因此~~ y ∈ x ∩ T ∩ C = x ~~∩ X。因此~~ x ~~是C上∈关系最小元~~		证明：取任意 <math>S \in C</math>。如果 <math>S \cap C = \emptyset</math>，则 <math>S </math> 是 <math>C</math> 上最小元；如果 <math>S \cap C </math> 不为 <math>\emptyset</math>，则我们让 <math>X = T \cap C</math>，其中 <math>T=\mathcal{TC}(S)</math> （ <math>\mathcal{TC}(S)</math> 表示 <math>S</math> 的[[传递闭包]]）。 <math>X</math> 是非空集并根据正则公理，有 <math>x \in X</math>，使得 <math>x \cap X = \emptyset </math>。由此可见， <math>x \cap C = \emptyset</math>；否则，如果 <math>y \in x</math> 并且 <math>y \in C</math>，则 <math>y \in T</math>，由 <math>T</math> 是[[传递集\|传递的]]，因此 <math>y \in x \cap T \cap C = x \cap X</math>。因此 <math>x</math> 是 <math>C</math> 上 <math>\in</math> 关系最小元。

	~~定理：对于任何集合x，都存在一个序数a使得x∈V_a~~		定理：对于任何集合 <math>x</math>，都存在一个[[序数]] <math>\alpha</math> 使得 <math>x\in V_{\alpha}</math>

	~~证明：使用反证法，考虑全体不属于某个V_a的集合组成的非空类C，由引理1，C有∈关系上的最小元x，则对于任意b∈x，存在a使得b∈V_a~~		证明：使用反证法，考虑全体不属于某个 <math>V_{\alpha}</math> 的集合组成的非空类 <math>C</math>，由引理1， <math>C</math> 有 <math>\in</math> 关系上的最小元 <math>x</math>，则对于任意 <math>\beta \in x</math>，存在 <math>\alpha</math> 使得 <math>\beta \in V_{\alpha}</math>

	所以对于任意b∈x，b∈WF，所以x是WF的子类。因为x是个集合（所以不存在从x到ord的满射，所以存在某个序数y使得y和x之间存在双射，所以x是V_y的子集），所以存在某个Va使得x是Va的子集，则x∈V_a+~~1，矛盾，所以C为空，得证。~~		所以对于任意 <math>\beta \in x</math>， <math>\beta \in \mathrm{WF}</math>，所以 <math>x</math> 是 <math>\mathrm{WF}</math> 的子类。因为 <math>x</math> 是个集合（所以不存在从 <math>x</math> 到 <math>\mathrm{Ord}</math> 的满射，所以存在某个序数 <math>\gamma</math> 使得 <math>\gamma</math> 和 <math>x</math> 之间存在双射，所以 <math>x</math> 是 <math>V_{\gamma}</math> 的子集），所以存在某个 <math>V_{\alpha}</math> 使得 <math>x</math> 是 <math>V_{\alpha}</math> 的子集，则 <math>x\in V_{\alpha+1}</math>，矛盾，所以 <math>C</math> 为空，得证。

2025年8月4日 (一) 08:34 Zhy137036

2025-08-04T08:34:51Z

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	引理1：任何非空类都有∈关系上的最小元		引理1：任何非空类都有∈关系上的最小元

	证明：取任意S ∈ C 。如果 S ∩ C = ∅，则 S 是C上最小元;如果 S ∩ C 不为 ∅，则我们让 X = T ∩ C，其中 <math>T=\mathcal{TC}(S)</math>（<math>\mathcal{TC}(X)</math> 表示S的[[传递闭包]]）。X 是非空集并根据正则公理，有 x ∈ X，使得 x ∩ X = ∅。由此可见，x ∩ C = ∅;否则，如果 y ∈ x 并且 y ∈ C，则 y ∈ T，由T 是传递的，因此 y ∈ x ∩ T ∩ C = x ∩ X。因此 x 是C上∈关系最小元		证明：取任意S ∈ C 。如果 S ∩ C = ∅，则 S 是C上最小元;如果 S ∩ C 不为 ∅，则我们让 X = T ∩ C，其中 <math>T=\mathcal{TC}(S)</math>（<math>\mathcal{TC}(S)</math> 表示S的[[传递闭包]]）。X 是非空集并根据正则公理，有 x ∈ X，使得 x ∩ X = ∅。由此可见，x ∩ C = ∅;否则，如果 y ∈ x 并且 y ∈ C，则 y ∈ T，由T 是传递的，因此 y ∈ x ∩ T ∩ C = x ∩ X。因此 x 是C上∈关系最小元

	定理：对于任何集合x，都存在一个序数a使得x∈V_a		定理：对于任何集合x，都存在一个序数a使得x∈V_a

2025年8月4日 (一) 08:34 Zhy137036

2025-08-04T08:34:36Z

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	~~首先我们定义一个集合S的传递闭包T为T=∩{R：S是R的子集且R是传递的}~~

	由正则公理，我们可以得到		由正则公理，我们可以得到

	引理1：任何非空类都有∈关系上的最小元		引理1：任何非空类都有∈关系上的最小元

	证明：取任意S ∈ C 。如果 S ∩ C = ∅，则 S 是C上最小元;如果 S ∩ C 不为 ∅，则我们让 X = T ∩ C，其中 T = ~~TC（S）（TC（S）表示S的传递必报）。X~~ 是非空集并根据正则公理，有 x ∈ X，使得 x ∩ X = ∅。由此可见，x ∩ C = ∅;否则，如果 y ∈ x 并且 y ∈ C，则 y ∈ T，由T 是传递的，因此 y ∈ x ∩ T ∩ C = x ∩ X。因此 x 是C上∈关系最小元		证明：取任意S ∈ C 。如果 S ∩ C = ∅，则 S 是C上最小元;如果 S ∩ C 不为 ∅，则我们让 X = T ∩ C，其中 <math>T=\mathcal{TC}(S)</math>（<math>\mathcal{TC}(X)</math> 表示S的[[传递闭包]]）。X 是非空集并根据正则公理，有 x ∈ X，使得 x ∩ X = ∅。由此可见，x ∩ C = ∅;否则，如果 y ∈ x 并且 y ∈ C，则 y ∈ T，由T 是传递的，因此 y ∈ x ∩ T ∩ C = x ∩ X。因此 x 是C上∈关系最小元

	定理：对于任何集合x，都存在一个序数a使得x∈V_a		定理：对于任何集合x，都存在一个序数a使得x∈V_a

虚妄之幻：V=WF

2025-08-04T07:40:33Z

V=WF

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首先我们定义一个集合S的传递闭包T为T=∩{R：S是R的子集且R是传递的}

由正则公理，我们可以得到

引理1：任何非空类都有∈关系上的最小元

证明：取任意S ∈ C 。如果 S ∩ C = ∅，则 S 是C上最小元;如果 S ∩ C 不为 ∅，则我们让 X = T ∩ C，其中 T = TC（S）（TC（S）表示S的传递必报）。X 是非空集并根据正则公理，有 x ∈ X，使得 x ∩ X = ∅。由此可见，x ∩ C = ∅;否则，如果 y ∈ x 并且 y ∈ C，则 y ∈ T，由T 是传递的，因此 y ∈ x ∩ T ∩ C = x ∩ X。因此 x 是C上∈关系最小元

定理：对于任何集合x，都存在一个序数a使得x∈V_a

证明：使用反证法，考虑全体不属于某个V_a的集合组成的非空类C，由引理1，C有∈关系上的最小元x，则对于任意b∈x，存在a使得b∈V_a

所以对于任意b∈x，b∈WF，所以x是WF的子类。因为x是个集合（所以不存在从x到ord的满射，所以存在某个序数y使得y和x之间存在双射，所以x是V_y的子集），所以存在某个Va使得x是Va的子集，则x∈V_a+1，矛盾，所以C为空，得证。

良基宇宙等同于集论全域的证明 - 版本历史

2025年8月31日 (日) 03:06 Tabelog

2025年8月15日 (五) 09:51 虚妄之幻

QWQ-bili：​美化公式

2025年8月4日 (一) 08:34 Zhy137036

2025年8月4日 (一) 08:34 Zhy137036

虚妄之幻：​V=WF

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虚妄之幻：V=WF