线性数阵 - 版本历史

Tabelog：文字替换 -“#重定向”替换为“#REDIRECT”

2025-08-25T05:58:17Z

文字替换 -“#重定向”替换为“#REDIRECT”

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	#~~重定向~~ [[BEAF#线性数阵]]		#REDIRECT [[BEAF#线性数阵]]

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2025年7月14日 (一) 02:40 Z

2025-07-14T02:40:17Z

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			ω进制数阵
			ω进阵
			w进制数阵
			w进阵

Z：已将重定向目标从BEAF更改为BEAF#线性数阵

2025-07-14T02:37:59Z

已将重定向目标从BEAF更改为BEAF#线性数阵

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第1行：		第1行：
	#重定向 [[BEAF]]~~线性数阵是大部分数阵型记号的基础。~~		#重定向 [[BEAF#线性数阵]]

	~~== 定义 ==~~

	~~=== BEAF ===~~
	~~这里以[[BEAF]]的线性数阵为例。~~

	~~一个合法的 BEAF 线性数阵表达式形如<math>\{b,p,a_1,a_2,\cdots,a_n\}</math>其中<math>n</math>为非负整数，<math>b,p,a_i</math>均为正整数。~~

	~~我们进行以下约定：~~

	~~# 数阵的第一个数<math>b</math>称为'''底数'''；~~
	~~# 数阵的第二个数<math>p</math>称为'''指数'''；~~
	~~# 指数后面第一个大于1的数称为'''驾驶员'''，例如<math>\{3,2,{\color{blue}1},{\color{red}2},4\}</math>中的2，<math>\{4,{\color{blue}4},{\color{red}4},4\}</math>中红色的4；~~
	~~# 驾驶员左边相邻的数称为'''副驾驶'''，例如上一条中蓝色的数。~~

	~~BEAF 线性数阵的展开规则如下：~~

	~~# 若没有驾驶员，则数阵的值为<math>b^p</math>；~~
	~~# 若指数为1，则数阵的值为<math>b</math>；~~
	~~# 否则，将驾驶员-1，副驾驶改为"整个数阵指数-1后的值"，将副驾驶左边的数全部替换为底数。例如，<math>\{4,3,{\color{blue}1},{\color{red}2}\}~~
	~~=\{4,4,{\color{blue}\{4,2,1,2\}},{\color{red}1}\}~~
	~~=\{4,4,\{4,4,{\color{blue}\{4,1,1,2\}},{\color{red}1}\},1\}~~
	~~=\{4,4,\{4,4,4,1\},1\}</math>。~~

	~~=== 改进 ===~~
	这里介绍一种改进的线性数阵。它将经典的线性数阵改成了容易分析增长率的一元函数，将每一项的默认值改成了0，且删除了对增长率提升没有帮助的操作。

	~~一个合法的线性数阵表达式形如<math>F(x,a_1,a_2,\cdots,a_n)</math>，其中，<math>x,n,a_i</math>均为非负整数。~~

	~~我们用"#"表示任意序列，"Z"表示由若干个0组成的序列。~~

	~~该线性数阵的展开规则如下：~~

	~~# (基础规则)只有一项时，有<math>F(x)=x+1</math>；~~
	~~# (后继规则)若第二项不为0，有<math>F(x,a+1,\#)=f^x(x)</math>，其中<math>f(x)=F(x,a,\#)</math>。例如：<math>F(3,1,4)=F(F(F(3,0,4),0,4),0,4)</math>；~~
	~~# (删尾规则)若末项为0，有<math>F(\#,0)=F(\#)</math>，例如：<math>F(2,1,0)=F(2,1)</math>。~~
	~~# (借位规则)否则，第二项为0且存在不为0的项。此时有<math>F(x,Z,0,a+1,\#)=F(x,Z,x,a,\#)</math>。例如：<math>F(2,0,2,5)=F(2,2,1,5)</math>。~~

	~~== 增长率分析 ==~~
	~~下面用[[增长层级#快速增长层级\|快速增长层级]]对改进的线性数阵进行增长率分析：~~

	~~<math>F(x)=F(x,0)=x+1=f_0(x)</math>~~

	~~<math>F(x,1)=F^x(x)\sim f_0^x(x)=f_1(x)</math>~~

	~~<math>F(x,2)\sim f_1^x(x)=f_2(x)</math>~~

	~~<math>F(x,n)\sim f_n(x)</math>~~

	~~<math>F(x,0,1)=F(x,x)\sim f_x(x)=f_\omega(x)</math>~~

	~~<math>F(x,1,1)=F(F(\cdots,0,1),0,1)\sim f_{\omega+1}(x)</math>~~

	~~<math>F(x,n,1)\sim f_{\omega+n}(x)</math>~~

	~~<math>F(x,0,2)=F(x,x,1)\sim f_{\omega+x}(x)=f_{\omega\cdot 2}(x)</math>~~

	~~<math>F(x,0,n)\sim f_{\omega\cdot n}(x)</math>~~

	~~<math>F(x,0,0,1)=F(x,0,x)\sim f_{\omega x}(x)=f_{\omega^2}(x)</math>~~

	~~<math>F(x,1,0,1)\sim f_{\omega^2+1}(x)</math>~~

	~~<math>F(x,0,1,1)=F(x,x,0,1)\sim f_{\omega^2+x}(x)=f_{\omega^2+\omega}(x)</math>~~

	~~<math>F(x,0,0,2)=F(x,0,x,1)\sim f_{\omega^2+\omega x}(x)=f_{\omega^22}(x)</math>~~

	~~<math>F(x,0,0,0,1)=F(x,0,0,x)\sim f_{\omega^2x}(x)=f_{\omega^3}(x)</math>~~

	~~<math>F(x,0,0,0,0,1)\sim f_{\omega^4}(x)</math>~~

	~~<math>F(x,\underbrace{0,\cdots,0}_n,1)\sim f_{\omega^n}(x)</math>~~

	~~一般来说，单独的线性数阵的极限增长率为<math>\omega^\omega</math>，但其强度会随"后继规则"的变化而变化。~~

	例如，若把第二条规则改为<math>F(x,a+1,\#)=F(x+1,a,\#)</math>，则上述分析应该在[[增长层级#哈代层级\|哈代层级]]下进行，故极限函数的增长率相当于<math>H_{\omega^\omega}(x)\sim f_\omega(x)</math>。

	~~== 小知识 ==~~
	~~对于上文[[线性数阵#增长率分析\|增长率分析]]中的记号，通过如下方法可以快速得到增长率：~~
	~~# 取出一个表达式<math>F(x,a_0,a_1,\cdots,a_n)</math>；~~
	~~# 取出<math>a_0,a_1,\cdots,a_n</math>的部分并反转，得到<math>a_n,\cdots,a_1,a_0</math>；~~
	~~# <math>F(x,a_0,a_1,\cdots,a_n)</math>的增长率即为<math>\omega^n\times{a_n}+\cdots+\omega^1\times{a_1}+\omega^0\times{a_0}</math>。~~
	举个例子：<math>F(x,{\color{red}0},{\color{green}1},{\color{blue}1})</math>的增长率即为<math>\omega^2\times{\color{blue}1}+\omega^1\times{\color{green}1}+\omega^0\times{\color{red}0}</math>。

	由于以上原因，(单行)线性数阵也被称为'''<math>\omega</math>进制数阵'''，因为<math>\omega^n\times{a_n}+\cdots+\omega^1\times{a_1}+\omega^0\times{a_0}</math>类似于一个“<math>\omega</math>进制数”。

	另外，表达式<math>\omega^n\times{a_n}+\cdots+\omega^1\times{a_1}+\omega^0\times{a_0}</math>对于每个<math>a_i(i=0,1,\cdots,n)</math>都是“线性”的，这也是线性数阵中“线性”一词的来源。
	~~[[分类:记号]]~~
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Z：重定向页面至BEAF

2025-07-14T02:32:06Z

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第1行：		第1行：
	线性数阵是大部分数阵型记号的基础。		#重定向 [[BEAF]]线性数阵是大部分数阵型记号的基础。

	== 定义 ==		== 定义 ==
第88行：		第88行：
	另外，表达式<math>\omega^n\times{a_n}+\cdots+\omega^1\times{a_1}+\omega^0\times{a_0}</math>对于每个<math>a_i(i=0,1,\cdots,n)</math>都是“线性”的，这也是线性数阵中“线性”一词的来源。		另外，表达式<math>\omega^n\times{a_n}+\cdots+\omega^1\times{a_1}+\omega^0\times{a_0}</math>对于每个<math>a_i(i=0,1,\cdots,n)</math>都是“线性”的，这也是线性数阵中“线性”一词的来源。
	[[分类:记号]]		[[分类:记号]]
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2025年7月11日 (五) 18:53 Apocalypse

2025-07-11T18:53:01Z

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第76行：		第76行：

	例如，若把第二条规则改为<math>F(x,a+1,\#)=F(x+1,a,\#)</math>，则上述分析应该在[[增长层级#哈代层级\|哈代层级]]下进行，故极限函数的增长率相当于<math>H_{\omega^\omega}(x)\sim f_\omega(x)</math>。		例如，若把第二条规则改为<math>F(x,a+1,\#)=F(x+1,a,\#)</math>，则上述分析应该在[[增长层级#哈代层级\|哈代层级]]下进行，故极限函数的增长率相当于<math>H_{\omega^\omega}(x)\sim f_\omega(x)</math>。

			== 小知识 ==
			对于上文[[线性数阵#增长率分析\|增长率分析]]中的记号，通过如下方法可以快速得到增长率：
			# 取出一个表达式<math>F(x,a_0,a_1,\cdots,a_n)</math>；
			# 取出<math>a_0,a_1,\cdots,a_n</math>的部分并反转，得到<math>a_n,\cdots,a_1,a_0</math>；
			# <math>F(x,a_0,a_1,\cdots,a_n)</math>的增长率即为<math>\omega^n\times{a_n}+\cdots+\omega^1\times{a_1}+\omega^0\times{a_0}</math>。
			举个例子：<math>F(x,{\color{red}0},{\color{green}1},{\color{blue}1})</math>的增长率即为<math>\omega^2\times{\color{blue}1}+\omega^1\times{\color{green}1}+\omega^0\times{\color{red}0}</math>。

			由于以上原因，(单行)线性数阵也被称为'''<math>\omega</math>进制数阵'''，因为<math>\omega^n\times{a_n}+\cdots+\omega^1\times{a_1}+\omega^0\times{a_0}</math>类似于一个“<math>\omega</math>进制数”。

			另外，表达式<math>\omega^n\times{a_n}+\cdots+\omega^1\times{a_1}+\omega^0\times{a_0}</math>对于每个<math>a_i(i=0,1,\cdots,n)</math>都是“线性”的，这也是线性数阵中“线性”一词的来源。
	[[分类:记号]]		[[分类:记号]]

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2025-07-06T07:00:22Z

更改hierarchys的外链

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第39行：		第39行：

	== 增长率分析 ==		== 增长率分析 ==
	下面用[[快速增长层级]]对改进的线性数阵进行增长率分析：		下面用[[增长层级#快速增长层级\|快速增长层级]]对改进的线性数阵进行增长率分析：

	<math>F(x)=F(x,0)=x+1=f_0(x)</math>		<math>F(x)=F(x,0)=x+1=f_0(x)</math>
第75行：		第75行：
	一般来说，单独的线性数阵的极限增长率为<math>\omega^\omega</math>，但其强度会随"后继规则"的变化而变化。		一般来说，单独的线性数阵的极限增长率为<math>\omega^\omega</math>，但其强度会随"后继规则"的变化而变化。

	例如，若把第二条规则改为<math>F(x,a+1,\#)=F(x+1,a,\#)</math>，则上述分析应该在[[哈代层级]]下进行，故极限函数的增长率相当于<math>H_{\omega^\omega}(x)\sim f_\omega(x)</math>。		例如，若把第二条规则改为<math>F(x,a+1,\#)=F(x+1,a,\#)</math>，则上述分析应该在[[增长层级#哈代层级\|哈代层级]]下进行，故极限函数的增长率相当于<math>H_{\omega^\omega}(x)\sim f_\omega(x)</math>。
	[[分类:记号]]		[[分类:记号]]

2025年7月6日 (日) 06:33 Z

2025-07-06T06:33:04Z

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第76行：		第76行：

	例如，若把第二条规则改为<math>F(x,a+1,\#)=F(x+1,a,\#)</math>，则上述分析应该在[[哈代层级]]下进行，故极限函数的增长率相当于<math>H_{\omega^\omega}(x)\sim f_\omega(x)</math>。		例如，若把第二条规则改为<math>F(x,a+1,\#)=F(x+1,a,\#)</math>，则上述分析应该在[[哈代层级]]下进行，故极限函数的增长率相当于<math>H_{\omega^\omega}(x)\sim f_\omega(x)</math>。
			[[分类:记号]]

2025年7月5日 (六) 12:52 GaoKao

2025-07-05T12:52:00Z

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第2行：		第2行：

	== 定义 ==		== 定义 ==

			=== BEAF ===
			这里以[[BEAF]]的线性数阵为例。

			一个合法的 BEAF 线性数阵表达式形如<math>\{b,p,a_1,a_2,\cdots,a_n\}</math>其中<math>n</math>为非负整数，<math>b,p,a_i</math>均为正整数。

			我们进行以下约定：

			# 数阵的第一个数<math>b</math>称为'''底数'''；
			# 数阵的第二个数<math>p</math>称为'''指数'''；
			# 指数后面第一个大于1的数称为'''驾驶员'''，例如<math>\{3,2,{\color{blue}1},{\color{red}2},4\}</math>中的2，<math>\{4,{\color{blue}4},{\color{red}4},4\}</math>中红色的4；
			# 驾驶员左边相邻的数称为'''副驾驶'''，例如上一条中蓝色的数。

			BEAF 线性数阵的展开规则如下：

			# 若没有驾驶员，则数阵的值为<math>b^p</math>；
			# 若指数为1，则数阵的值为<math>b</math>；
			# 否则，将驾驶员-1，副驾驶改为"整个数阵指数-1后的值"，将副驾驶左边的数全部替换为底数。例如，<math>\{4,3,{\color{blue}1},{\color{red}2}\}
			=\{4,4,{\color{blue}\{4,2,1,2\}},{\color{red}1}\}
			=\{4,4,\{4,4,{\color{blue}\{4,1,1,2\}},{\color{red}1}\},1\}
			=\{4,4,\{4,4,4,1\},1\}</math>。

			=== 改进 ===
			这里介绍一种改进的线性数阵。它将经典的线性数阵改成了容易分析增长率的一元函数，将每一项的默认值改成了0，且删除了对增长率提升没有帮助的操作。

			一个合法的线性数阵表达式形如<math>F(x,a_1,a_2,\cdots,a_n)</math>，其中，<math>x,n,a_i</math>均为非负整数。

			我们用"#"表示任意序列，"Z"表示由若干个0组成的序列。

			该线性数阵的展开规则如下：

			# (基础规则)只有一项时，有<math>F(x)=x+1</math>；
			# (后继规则)若第二项不为0，有<math>F(x,a+1,\#)=f^x(x)</math>，其中<math>f(x)=F(x,a,\#)</math>。例如：<math>F(3,1,4)=F(F(F(3,0,4),0,4),0,4)</math>；
			# (删尾规则)若末项为0，有<math>F(\#,0)=F(\#)</math>，例如：<math>F(2,1,0)=F(2,1)</math>。
			# (借位规则)否则，第二项为0且存在不为0的项。此时有<math>F(x,Z,0,a+1,\#)=F(x,Z,x,a,\#)</math>。例如：<math>F(2,0,2,5)=F(2,2,1,5)</math>。

			== 增长率分析 ==
			下面用[[快速增长层级]]对改进的线性数阵进行增长率分析：

			<math>F(x)=F(x,0)=x+1=f_0(x)</math>

			<math>F(x,1)=F^x(x)\sim f_0^x(x)=f_1(x)</math>

			<math>F(x,2)\sim f_1^x(x)=f_2(x)</math>

			<math>F(x,n)\sim f_n(x)</math>

			<math>F(x,0,1)=F(x,x)\sim f_x(x)=f_\omega(x)</math>

			<math>F(x,1,1)=F(F(\cdots,0,1),0,1)\sim f_{\omega+1}(x)</math>

			<math>F(x,n,1)\sim f_{\omega+n}(x)</math>

			<math>F(x,0,2)=F(x,x,1)\sim f_{\omega+x}(x)=f_{\omega\cdot 2}(x)</math>

			<math>F(x,0,n)\sim f_{\omega\cdot n}(x)</math>

			<math>F(x,0,0,1)=F(x,0,x)\sim f_{\omega x}(x)=f_{\omega^2}(x)</math>

			<math>F(x,1,0,1)\sim f_{\omega^2+1}(x)</math>

			<math>F(x,0,1,1)=F(x,x,0,1)\sim f_{\omega^2+x}(x)=f_{\omega^2+\omega}(x)</math>

			<math>F(x,0,0,2)=F(x,0,x,1)\sim f_{\omega^2+\omega x}(x)=f_{\omega^22}(x)</math>

			<math>F(x,0,0,0,1)=F(x,0,0,x)\sim f_{\omega^2x}(x)=f_{\omega^3}(x)</math>

			<math>F(x,0,0,0,0,1)\sim f_{\omega^4}(x)</math>

			<math>F(x,\underbrace{0,\cdots,0}_n,1)\sim f_{\omega^n}(x)</math>

			一般来说，单独的线性数阵的极限增长率为<math>\omega^\omega</math>，但其强度会随"后继规则"的变化而变化。

			例如，若把第二条规则改为<math>F(x,a+1,\#)=F(x+1,a,\#)</math>，则上述分析应该在[[哈代层级]]下进行，故极限函数的增长率相当于<math>H_{\omega^\omega}(x)\sim f_\omega(x)</math>。

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线性数阵是大部分数阵型记号的基础。

== 定义 ==

线性数阵 - 版本历史

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2025年7月14日 (一) 02:40 Z

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