稳定序数 - 版本历史

Tabelog：文字替换 -“BMS”替换为“BMS”

2025-08-30T13:58:48Z

文字替换 -“BMS”替换为“BMS”

←上一版本		2025年8月30日 (六) 21:58的版本
第179行：		第179行：

	=== 与 BMS 的关系 ===		=== 与 BMS 的关系 ===
	Racheline 证明 BMS 良序的文章中，给出了 [[~~Bashicu矩阵\|~~BMS]] 到 <math>\Sigma_n</math>-稳定的一个单射。		Racheline 证明 BMS 良序的文章中，给出了 [[BMS]] 到 <math>\Sigma_n</math>-稳定的一个单射。

	我们把 BMS 中第 n 行的父项关系记作 <n，每个列当成一个单独的序数。如此翻译，就得到了一个 <math>\Sigma_n</math> 稳定的表达式。		我们把 BMS 中第 n 行的父项关系记作 <n，每个列当成一个单独的序数。如此翻译，就得到了一个 <math>\Sigma_n</math> 稳定的表达式。

2025年8月20日 (三) 08:24 Z

2025-08-20T08:24:52Z

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第192行：		第192行：

	注意并非满射。如 <math>a<1b<2c</math> 在稳定中标准而在 BMS 中是 <math>(0,0)(1,0)(2,1)</math> 不标准。		注意并非满射。如 <math>a<1b<2c</math> 在稳定中标准而在 BMS 中是 <math>(0,0)(1,0)(2,1)</math> 不标准。

			{{默认排序:非递归记号}}
	[[分类:记号]]		[[分类:记号]]

2025年8月8日 (五) 08:04 Tabelog

2025-08-08T08:04:12Z

显示更改

2025年8月8日 (五) 05:54 Tabelog

2025-08-08T05:54:00Z

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第83行：		第83行：
	<math>\beta=\min\ (\{\alpha:L_\alpha\prec_{\Sigma_1}L_{\alpha+1}\land L_\alpha=L_{\alpha+1}-\Pi_2\}\ \text{onto})^{(1,0)}</math>		<math>\beta=\min\ (\{\alpha:L_\alpha\prec_{\Sigma_1}L_{\alpha+1}\land L_\alpha=L_{\alpha+1}-\Pi_2\}\ \text{onto})^{(1,0)}</math>

			<math>\beta=\min\ \{\beta:L_\beta\prec_{\Sigma_1}L_{\beta+1}\}\quad(L_\beta=L_{\beta+1}-\Pi_3)</math>

	<math>L_{\~~beta~~}~~</math>稳定到<math>~~L_{\beta+1}~~</math>，且<math>~~L_{\beta~~}</math>是<math>~~L_{\beta+1}</math>-<math>\~~Pi_~~{3}</math>反射		<math>\beta=\min\ \{\beta:L_\beta\prec_{\Sigma_2}L_{\beta+1}\}\quad(L_\beta=L_{\beta+1}-\text{psd.}\Pi_\omega)</math><math>\beta=\min\ \Pi_2\ \text{onto}\ \{\alpha:L_\alpha\prec_{\Sigma_1}L_{\alpha+2}\}</math>

	<math>L_{\~~beta~~}~~</math>稳定到<math>~~L_{\beta+2}~~</math>，则<math>~~\~~beta</math>满足对<math>n~~\in\~~omega</math>均有<math>~~L_{\~~beta~~}~~</math>是<math>~~L_{\~~beta~~+1}~~</math>-<math>~~\~~Pi_{n~~}</math>反射		<math>\beta=\min\ \{\beta:L_\beta\prec_{\Sigma_1}L_{\beta+2}\}\cap\Pi_2\ \text{onto}\ \{\alpha:L_\alpha\prec_{\Sigma_1}L_{\alpha+2}\}</math>

	<math>\beta~~</math>是<math>~~\~~Pi_~~{2}~~</math> onto~~ {~~<math>~~\alpha:L_{\~~alpha~~}~~</math>稳定到<math>~~L_{\alpha+2}</math>~~}的最小成员~~		<math>\beta=\min\ \Pi_3\ \text{onto}\ \{\alpha:L_\alpha\prec_{\Sigma_1}L_{\alpha+2}\}</math>

	<math>\beta~~</math>是~~{~~<math>~~\beta:L_{\~~beta~~}~~</math>稳定到<math>~~L_{\beta+2}~~</math>~~}~~<math>~~\~~cap(~~\~~Pi_~~{2}~~</math> onto~~ {~~<math>~~\alpha:L_{\~~alpha~~}~~</math>稳定到<math>~~L_{\alpha+2}</math>~~})的最小成员~~		<math>\beta=\min\ \{\beta:L_\beta\prec_{\Sigma_1}L_{\beta+1}\}\ \text{onto}\ \{\alpha:L_\alpha\prec_{\Sigma_1}L_{\alpha+2}\}</math>

	<math>\beta~~</math>是<math>~~\~~Pi_~~{3}~~</math>~~ onto {~~<math>~~\alpha:L_{\~~alpha~~}~~</math>稳定到<math>~~L_{\alpha+2}</math>~~}的最小成员~~		<math>\beta=\min\ \{\gamma:L_\gamma\prec_{\Sigma_1}L_{\gamma+2}\}\cap\{\beta:L_\beta\prec_{\Sigma_1}L_{\beta+1}\}\ \text{onto}\ \{\alpha:L_\alpha\prec_{\Sigma_1}L_{\alpha+2}\}</math>

	<math>\beta~~</math>是~~{~~<math>~~\beta:L_{\beta}~~</math>稳定到<math>~~L_{\beta+1}~~</math>~~} onto {~~<math>~~\alpha:L_{\~~alpha~~}~~</math>稳定到<math>~~L_{\alpha+2}</math>~~}的最小成员~~		<math>\beta=\min\ \{\beta:L_\beta\prec_{\Sigma_1}L_{\beta+1}\land L_\beta=L_{\beta+1}-\Pi_2\}\ \text{onto}\ \{\alpha:L_\alpha\prec_{\Sigma_1}L_{\alpha+2}\}</math>

	<math>\beta~~</math>是~~{~~<math>~~\~~gamma~~:L_{\~~gamma~~}~~</math>稳定到<math>~~L_{\~~gamma~~+2}~~</math>~~}~~<math>~~\~~cap</math>({<math>~~\~~beta:L_~~{\~~beta}</math>稳定到<math>L_{~~\~~beta+1}</math>} onto~~ {~~<math>~~\alpha:L_{\~~alpha~~}~~</math>稳定到<math>~~L_{\alpha+2}</math>~~})的最小成员~~		<math>\beta=\min\ \{\beta:L_\beta\prec_{\Sigma_1}L_{\beta+2}\}\ \text{onto}\ \{\alpha:L_\alpha\prec_{\Sigma_1}L_{\alpha+2}\}</math>

	<math>\beta~~</math>是~~{~~<math>~~\beta:L_{\~~beta~~}~~</math>稳定到<math>~~L_{\beta+1}~~</math>且<math>~~L_{\beta~~}</math>是<math>~~L_{\beta+1}~~</math>~~-~~<math>\Pi_{2}</math>反射} onto {<math>~~\~~alpha:L_{~~\~~alpha~~}</math>~~稳定到<math>L_{\alpha+2}</math>}的最小成员~~		<math>\beta=\min\ \{\beta:L_\beta\prec_{\Sigma_1}L_{\beta+2}\land L_\beta=L_{\beta+2}-\Pi_2\}</math>

	<math>\beta~~</math>是~~{~~<math>~~\beta:L_{\~~beta~~}~~</math>稳定到<math>~~L_{\beta+2}~~</math>} onto {<math>~~\~~alpha:~~L_{\~~alpha}</math>稳定到<math>~~L_{\~~alpha~~+2}</math>~~}的最小成员~~		<math>\beta=\min\ \{\beta:L_\beta\prec_{\Sigma_1}L_{\beta+3}\land L_\beta=L_{\beta+2}-\text{psd.}\Pi_\omega\}</math>

	<math>L_{\beta~~}</math>稳定到<math>~~L_{\beta~~+2}</math>，且<math>L_~~{\~~beta~~}~~</math>是<math>~~L_{\beta+2}~~</math>-<math>~~\~~Pi_{2~~}</math>反射		<math>\beta=\min\ \{\beta:L_\beta\prec_{\Sigma_1}L_{\beta+\omega}\}</math>

	<math>L_{\beta~~}</math>稳定到<math>~~L_{\beta~~+3}</math>，则对<math>n~~\~~in\omega</math>有<math>L_~~{\~~beta~~}~~</math>是<math>~~L_{\beta+2}~~</math>-<math>Pi_{n~~}</math>反射		<math>\beta=\min\ \{\beta:L_\beta\prec_{\Sigma_1}L_{\beta\times2}\}</math>

	<math>L_{\~~beta~~}~~</math>稳定到<math>~~L_{\beta+\~~omega~~}</math>		<math>\beta=\min\ \{\beta:L_\beta\prec_{\Sigma_1}L_{\beta+\alpha+1}\}\quad(\alpha=\min\ \{\alpha:L_\alpha\prec_{\Sigma_1}L_{\alpha\times2}\})</math>

	<math>L_{\~~beta~~}~~</math>稳定到<math>~~L_{\beta*2}</math>		<math>\beta=\text{2nd}\ \{\beta:L_\beta\prec_{\Sigma_1}L_{\beta\times2}\}</math>

	~~<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+\alpha+1}</math>，其中<math>\alpha</math>是最小的<math>L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha*2}</math>~~

	~~<math>\beta</math>是第二个满足<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta*2}</math>的序数~~

	<math>\beta</math>是<math>\Pi_{1}</math> onto {<math>\alpha:L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha*2}</math>}的最小成员		<math>\beta</math>是<math>\Pi_{1}</math> onto {<math>\alpha:L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha*2}</math>}的最小成员

Tabelog：/* 枚举 */

2025-08-08T05:41:22Z

枚举

←上一版本		2025年8月8日 (五) 13:41的版本
第61行：		第61行：
	<math>\beta=\sup_{n\in\beta}\{\alpha:\Pi_2\ \text{onto}\ \{\alpha:L_\alpha\prec_{\Sigma_1}L_{\alpha+1}\}\}\quad(\beta\in\Pi_2\ \text{onto}\ \{\alpha:L_\alpha\prec_{\Sigma_1}L_{\alpha+1}\})=\min\ \Pi_2\ \text{onto}\ \{\beta:L_\beta\prec_{\Sigma_1}L_{\beta+1}\}\cap\Pi_1\ \text{onto}\ \Pi_2\ \text{onto}\ \{\alpha:L_\alpha\prec_{\Sigma_1}L_{\alpha+1}\}</math>		<math>\beta=\sup_{n\in\beta}\{\alpha:\Pi_2\ \text{onto}\ \{\alpha:L_\alpha\prec_{\Sigma_1}L_{\alpha+1}\}\}\quad(\beta\in\Pi_2\ \text{onto}\ \{\alpha:L_\alpha\prec_{\Sigma_1}L_{\alpha+1}\})=\min\ \Pi_2\ \text{onto}\ \{\beta:L_\beta\prec_{\Sigma_1}L_{\beta+1}\}\cap\Pi_1\ \text{onto}\ \Pi_2\ \text{onto}\ \{\alpha:L_\alpha\prec_{\Sigma_1}L_{\alpha+1}\}</math>

	<math>\beta\in\~~Pi_{2~~}~~</math> onto~~ {~~<math>~~\alpha : ~~L_{~~\~~alpha}</math>稳定到<math>L_~~{\~~alpha+1}</math>}是前<math>n~~\in\~~beta</math>个<math>~~\~~alpha</math>满足<math>~~\~~Pi_~~{~~2}</math> onto {<math>~~\alpha : L_{\~~alpha~~}~~</math>稳定到<math>~~L_{\alpha+1}~~</math>~~}~~的上界，则<math>~~\~~beta</math>是<math>~~\~~Pi_~~{2}~~</math>~~ onto {~~<math>~~\~~beta~~:L_{\~~beta~~}~~</math>稳定到<math>~~L_{\~~beta~~+1}~~</math>~~}~~<math>~~\cap~~</math>(<math>~~\~~Pi_{1}</math> onto <math>~~\~~Pi_~~{~~2}</math>~~ onto ~~{<math>\alpha : L_{\alpha~~}~~</math>稳定到<math>L_~~{~~\alpha+~~1}</math>~~})的最小成员~~		<math>\beta=\sup_{n\in\beta}\{\alpha:\{x:(\Pi_2\ \text{onto}\ \{\alpha:L_\alpha\prec_{\Sigma_1}L_{\alpha+1}\})\cap\Pi_1\ \text{onto})^x\}\}=\min\ (\Pi_2\ \text{onto}\ \{\alpha:L_\alpha\prec_{\Sigma_1}L_{\alpha+1}\}\cap\Pi_1\ \text{onto})^{(1,0)}</math>

	<math>\beta~~</math>是前<math>n~~\in\~~beta</math>个<math>~~\~~alpha</math>满足{x:(<math>~~\~~Pi_~~{2}~~</math> onto {<math>~~\~~alpha : L_{~~\~~alpha}</math>稳定到<math>L_{~~\~~alpha+1}</math>}<math>\cap~~\~~Pi_~~{~~1}</math><math>~~onto~~)^{x~~}~~</math>}的上界，则<math>~~\~~beta</math>是(<math>~~\~~Pi_{2}</math> onto~~ {~~<math>~~\alpha : L_{\~~alpha~~}~~</math>稳定到<math>~~L_{\alpha+1}~~</math>}<math>\cap~~\~~Pi_{1}</math> <math>onto)^{(1,0)~~}</math>~~的最小成员~~		<math>\beta=\min\ \Pi_2\ \text{onto}\ \Pi_2\ \text{onto}\ \{\alpha:L_\alpha\prec_{\Sigma_1}L_{\alpha+1}\}</math>

	<math>\beta~~</math>是<math>~~\~~Pi_~~{2}~~</math> onto <math>~~\~~Pi_~~{2}~~</math>~~ onto {~~<math>~~\alpha : L_{\~~alpha~~}~~</math>稳定到<math>~~L_{\alpha+1}</math>~~})的最小成员~~		<math>\beta=\Pi_2\ \text{onto}\ \{\alpha:L_\alpha\prec_{\Sigma_1}L_{\alpha+1}\}\quad(\beta\in\Pi_3)=\min\ \Pi_3\cap\Pi_2\ \text{onto}\ \{\alpha:L_\alpha\prec_{\Sigma_1}L_{\alpha+1}\}</math>

	<math>\beta\in\~~Pi_~~{3}~~</math>是<math>~~\~~Pi_{2}</math> onto~~ {~~<math>~~\alpha : L_{\~~alpha~~}~~</math>稳定到<math>~~L_{\alpha+1}~~</math>~~})~~的，则<math>~~\beta~~</math>是 <math>~~\~~Pi_~~{3}\cap(\~~Pi_~~{2}~~</math> onto~~ {~~<math>~~\alpha : L_{\~~alpha~~}~~</math>稳定到<math>~~L_{\alpha+1}</math>~~})的最小成员~~		<math>\beta=\Pi_2\ \text{onto}\ \{\alpha:L_\alpha\prec_{\Sigma_1}L_{\alpha+1}\}\quad(L_\beta\prec_{\Sigma_1}L_{\beta+1})=\min\ \{\beta:L_\beta\prec_{\Sigma_1}L_{\beta+1}\}\cap\Pi_2\ \text{onto}\ \{\alpha:L_\alpha\prec_{\Sigma_1}L_{\alpha+1}\}</math>

	<math>~~L_{~~\beta~~}</math>稳定到<math>L_{~~\~~beta+1}</math>是 <math>\Pi_{2}</math> onto {<math>~~\~~alpha : L_{~~\~~alpha}</math>稳定到<math>L_{~~\~~alpha+1}</math>}的，则<math>~~\~~beta</math>是~~{~~<math>\beta:L_{\beta~~}~~</math>稳定到<math>L_{~~\~~beta+1}</math>}<math>~~\~~cap</math>(<math>\Pi_{2}</math> onto~~ {~~<math>~~\alpha : L_{\~~alpha~~}~~</math>稳定到<math>~~L_{\alpha+1}</math>~~})的最小成员~~		<math>\beta=\min\ \Pi_3\ \text{onto}\ \{\alpha:L_\alpha\prec_{\Sigma_1}L_{\alpha+1}\}</math>

	<math>\beta~~</math>是<math>~~\~~Pi_~~{3}~~</math>~~ onto {~~<math>~~\alpha : L_{\~~alpha~~}~~</math>稳定到<math>~~L_{\alpha+1}</math>~~})的最小成员~~		<math>\beta=\min\ \{\beta:L_\beta\prec_{\Sigma_1}L_{\beta+1}\}\ \text{onto}\ \{\alpha:L_\alpha\prec_{\Sigma_1}L_{\alpha+1}\}</math>

	<math>\beta~~</math>是~~{~~<math>~~\beta : L_{\~~beta~~}~~</math>稳定到<math>~~L_{\beta+1}~~</math>~~} onto {~~<math>~~\alpha : L_{\alpha}~~</math>稳定到<math>~~L_{\alpha+1}</math>~~})的最小成员~~		<math>\beta=\min\ \{\beta:L_\beta\prec_{\Sigma_1}L_{\beta+1}\}\ \text{onto}\ \{\alpha:L_\alpha\prec_{\Sigma_1}L_{\alpha+1}\land L_\alpha=\min\ L_{\alpha+1}-\Pi_2\})</math>

	<math>L_{\~~beta~~}~~</math>稳定到<math>~~L_{\beta+1}~~</math>，且<math>~~L_{\~~beta~~}~~</math>是<math>~~L_{\~~beta~~+1}~~</math>~~-~~<math>~~\~~Pi_{2~~}</math>反射		<math>\beta=\min\ (\{\beta:L_\beta\prec_{\Sigma_1}L_{\beta+1}\}\ \text{onto})^{(1,0)}\ \{\alpha:L_\alpha\prec_{\Sigma_1}L_{\alpha+1}\land L_\alpha=\min\ L_{\alpha+1}-\Pi_2\})</math>

	<math>\beta~~</math>是~~{~~<math>~~\beta:L_{\~~beta~~}~~</math>稳定到<math>~~L_{\beta+1}~~</math>~~} onto {~~<math>~~\alpha:L_{\alpha}~~</math>稳定到<math>~~L_{\alpha+1}~~</math>，且<math>~~L_{\alpha}~~</math>是<math>~~L_{\alpha+1}~~</math>~~-~~<math>~~\~~Pi_~~{2}</math>~~反射}的最小成员~~		<math>\beta=\{\beta:L_\beta\prec_{\Sigma_1}L_{\beta+1}\}\ \text{onto}\ \{\alpha:L_\alpha\prec_{\Sigma_1}L_{\alpha+1}\land L_\alpha=L_{\alpha+1}-\Pi_2\})\quad(\beta\in\{\alpha:L_\alpha\prec_{\Sigma_1}L_{\alpha+1}\land L_\alpha=L_{\alpha+1}-\Pi_2\})=\min\ \{\alpha:L_\alpha\prec_{\Sigma_1}L_{\alpha+1}\land L_\alpha=L_{\alpha+1}-\Pi_2\}\cap\{\beta:L_\beta\prec_{\Sigma_1}L_{\beta+1}\}\ \text{onto}\ \{\gamma:L_\gamma\prec_{\Sigma_1}L_{\gamma+1}\land L_\gamma=L_{\gamma+1}-\Pi_2\}</math>

	<math>\beta~~</math>是(~~{~~<math>~~\~~beta~~:L_{\~~beta~~}~~</math>稳定到<math>~~L_{\~~beta~~+1}~~</math>~~} ~~<math>~~onto~~)^{(1,0)~~}~~</math>~~{~~<math>~~\~~alpha~~:L_{\~~alpha~~}~~</math>稳定到<math>~~L_{\~~alpha~~+1}~~</math>，且<math>~~L_{\~~alpha}</math>是<math>~~L_{\~~alpha~~+1}~~</math>~~-~~<math>~~\~~Pi_{2~~}</math>~~反射}的最小成员~~		<math>\beta=\min\ \{\alpha:L_\alpha\prec_{\Sigma_1}L_{\alpha+1}\land L_\alpha=L_{\alpha+1}-\Pi_2\}\ \text{onto}\ \{\beta:L_\beta\prec_{\Sigma_1}L_{\beta+1}\land L_\beta=L_{\beta+1}-\Pi_2\}</math>

	<math>\beta\~~in</math>{<math>~~\~~alpha:L_{~~\~~alpha}</math>稳定到<math>L_~~{\alpha~~+1}</math>，且<math>L_{\alpha}</math>是<math>L_{\alpha+1}</math>-<math>\Pi_{2}</math>反射}是{<math>\beta~~:L_~~{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>} onto {<math>~~\alpha~~:L_{~~\~~alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>，且<math>L_~~{\~~alpha~~}~~</math>是<math>~~L_{\alpha+1}~~</math>-<math>\Pi_{2}</math>反射}的，则<math>\beta</math>是{<math>\alpha:L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{~~\~~alpha+1}</math>，且<math>~~L_{\alpha~~}</math>是<math>~~L_{\alpha+1}~~</math>~~-~~<math>~~\~~Pi_{2}</math>反射~~}~~<math>~~\~~cap</math>({<math>~~\~~beta:L_~~{~~\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>}~~ onto ~~{<math>\gamma:L_{\gamma~~}~~</math>稳定到<math>L_~~{~~\gamma+1}</math>，且<math>L_{\gamma}</math>是<math>L_{\gamma+~~1}</math>~~-<math>\Pi_{2}</math>反射})的最小成员~~		<math>\beta=\min\ (\{\alpha:L_\alpha\prec_{\Sigma_1}L_{\alpha+1}\land L_\alpha=L_{\alpha+1}-\Pi_2\}\ \text{onto})^{(1,0)}</math>

	<math>\beta</math>是{<math>\alpha:L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>，且<math>L_{\alpha}</math>是<math>L_{\alpha+1}</math>-<math>\Pi_{2}</math>反射} onto {<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>，且<math>L_{\beta}</math>是<math>L_{\beta+1}</math>-<math>\Pi_{2}</math>反射}的最小成员

	<math>\beta</math>是({<math>\alpha:L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>，且<math>L_{\alpha}</math>是<math>L_{\alpha+1}</math>-<math>\Pi_{2}</math>反射}<math>onto)^{(1,0)}</math>的最小成员

	<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>，且<math>L_{\beta}</math>是<math>L_{\beta+1}</math>-<math>\Pi_{3}</math>反射		<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>，且<math>L_{\beta}</math>是<math>L_{\beta+1}</math>-<math>\Pi_{3}</math>反射

2025年8月8日 (五) 05:03 Tabelog

2025-08-08T05:03:00Z

显示更改

Tabelog：/* 枚举 */

2025-08-08T03:04:42Z

枚举

←上一版本		2025年8月8日 (五) 11:04的版本
第19行：		第19行：

	== 枚举 ==		== 枚举 ==
	稳定序数有如下路径:~~<br>~~		稳定序数有如下路径:
	~~<math>L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>，则任取<math>n\in\omega</math>有<math>\alpha\in\Pi_{n}</math>反射序数<br><br>~~

	<math>\~~beta</math>是前<math>n\in\omega</math>个<math>~~\~~alpha</math>满足<math>L_~~{\~~alpha~~}~~</math>稳定到<math>~~L_{\alpha+1}</math>~~的上界，则~~<math>\~~beta</math>是<math>~~\~~Pi_{1}~~</math> ~~onto {~~<math>\alpha ~~: L_{~~\~~alpha}</math>稳定到<math>L_{~~\~~alpha+1}~~</math~~>}的最小成员<br><br~~>		<math>L_\alpha\prec_{\Sigma_1}L_{\alpha+1}</math>，则任取 <math>n\in\omega</math> 有 <math>\alpha\in\Pi_n</math>

	<math>\beta~~</math>是前<math>~~n\in\omega^{~~2}</math>个<math>~~\alpha~~</math>满足<math>~~L_{\~~alpha~~}~~</math>稳定到<math>~~L_{\alpha+1}</math>~~的上界，则~~<math>\beta~~</math>是<math>~~\~~Pi_~~{1}~~</math> onto <math>~~\~~Pi_~~{~~1}</math> onto {<math>~~\alpha : L_{\~~alpha~~}~~</math>稳定到<math>~~L_{\alpha+1}</math~~>}的最小成员<br><br~~>		<math>\beta=\sup_{n\in\omega}\{\alpha:L_\alpha\prec_{\Sigma_1}L_{\alpha+1}\}</math>，则 <math>\beta=\min\ \Pi_1\ \text{onto}\ \{\alpha:L_\alpha\prec_{\Sigma_1}L_{\alpha+1}\}</math>

	<math>\beta~~</math>是前<math>~~n\in\~~beta</math>个<math>~~\alpha~~</math>满足<math>~~L_{\~~alpha~~}~~</math>稳定到<math>~~L_{\alpha+1}</math>~~的上界，则~~<math>\beta~~</math>是<math>~~\~~Pi_~~{1}~~</math> <math>~~onto~~^{(1,0)~~}~~</math>~~{~~<math>~~\alpha : L_{\~~alpha~~}~~</math>稳定到<math>~~L_{\alpha+1}</math~~>}的最小成员<br><br~~>		<math>\beta=\sup_{n\in\omega^2}\{\alpha:L_\alpha\prec_{\Sigma_1}L_{\alpha+1}\}</math>，则 <math>\beta=\min\ \Pi_1\ \text{onto}\ \Pi_1\ \text{onto}\{\alpha:L_\alpha\prec_{\Sigma_1}L_{\alpha+1}\}</math>

	<math>\beta\~~in\Pi_~~{~~2}</math>反射是前<math>~~n\in\beta~~</math>个<math>~~\alpha~~</math>满足<math>~~L_{\~~alpha~~}~~</math>稳定到<math>~~L_{\alpha+1}</math>~~的上界，则~~<math>\beta~~</math>是<math>~~\~~Pi_~~{2}~~\cap~~(~~\Pi_{~~1}~~</math> onto~~ {~~<math>~~\alpha : L_{\~~alpha~~}~~</math>稳定到<math>~~L_{\alpha+1}</math~~>})的最小成员<br><br~~>		<math>\beta=\sup_{n\in\beta}\{\alpha:L_\alpha\prec_{\Sigma_1}L_{\alpha+1}\}</math>，则 <math>\beta=\min\ \Pi_1\ \text{onto}^{(1,0)}\ \{\alpha:L_\alpha\prec_{\Sigma_1}L_{\alpha+1}\}</math>

	<math>\beta~~</math>是前<math>~~n\in\~~omega</math>个<math>~~\alpha~~</math>满足<math>~~\~~Pi_{2}~~\~~cap\Pi_{1}</math> onto {<math>L_~~{\~~alpha~~}~~</math>稳定到<math>~~L_{\alpha+1}</math>~~}的上界，则~~<math>\beta~~</math>是<math>~~\~~Pi_{1}</math> onto <math>~~\~~Pi_{2}~~\cap(\~~Pi_~~{~~1}</math> onto {<math>~~\alpha : L_{\~~alpha~~}~~</math>稳定到<math>~~L_{\alpha+1}</math~~>})的最小成员<br><br~~>		<math>\beta=\sup_{n\in\beta}\{\alpha:L_\alpha\prec_{\Sigma_1}L_{\alpha+1}\}\cap\Pi_2</math>，则 <math>\beta=\min\ \Pi_2\cap\Pi_1\ \{\alpha:L_\alpha\prec_{\Sigma_1}L_{\alpha+1}\}</math>

	<math>\beta\in\~~Pi_~~{2}</math>是前<math>n\in\~~beta~~</math>个<~~math~~>~~\alpha~~<~~/math~~>满足<math>\~~Pi_~~{2}\cap\~~Pi_~~{1}~~</math> onto~~ {~~<math>~~L_{\alpha}</math>~~稳定到~~<math>L_{\alpha+1}</math>~~}的上界，则~~<~~math~~>~~\beta~~<~~/math~~>是<math>\~~Pi_~~{2}\cap(\~~Pi_~~{1}</math> ~~onto~~ <math>\~~Pi_{2}~~\cap(\~~Pi_~~{1}~~</math>~~{~~<math>~~\alpha : L_{\~~alpha~~}~~</math>稳定到<math>~~L_{\alpha+1}</math~~>}))的最小成员<br><br~~>		<math>\beta=\sup_{n\in\omega}\{\alpha:\Pi_2\cap\Pi_1\ \text{onto}\ \{L_\alpha\prec_{\Sigma_1}L_{\alpha+1}\}\}</math>，则 <math>\beta=\min\ \Pi_1\ \text{onto}\ \Pi_2\cap\Pi_1\ \text{onto}\ \{\alpha:L_\alpha\prec_{\Sigma_1}L_{\alpha+1}\}</math><br><br><math>\beta=\sup_{n\in\beta}\{\alpha:\Pi_2\cap\Pi_1\ \text{onto}\ \{L_\alpha\prec_{\Sigma_1}L_{\alpha+1}\}\}\cap\Pi_2\text{-ref.}</math>，则 <math>\beta=\min\ \Pi_2\cap\Pi_1\ \text{onto}\ \Pi_2\cap\Pi_1\ \text{onto}\ \{\alpha:L_\alpha\prec_{\Sigma_1}L_{\alpha+1}\}</math><br><br><math>\beta=\sup_{n\in\beta}\{\alpha:\{n:\Pi_2\cap\Pi_1\ \text{onto}^n\ \{L_\alpha\prec_{\Sigma_1}L_{\alpha+1}\}\}</math>，则 <math>\beta=\min\ \Pi_2\cap\Pi_1\ \text{onto}^{(1,0)}\ \{\alpha:L_\alpha\prec_{\Sigma_1}L_{\alpha+1}\}</math>

	<math>\beta~~</math>是前<math>n\in\beta</math>个<math>~~\~~alpha</math>满足~~{n:(<~~math>~~\~~Pi_{2~~}\~~cap~~\~~Pi_{1}</math><math> onto)^{n}</math>{<math>~~L_{\~~alpha~~}~~</math>稳定到<math>~~L_{\alpha+1}~~</math><nowiki>}~~}~~的上界，则</nowiki><math>~~\~~beta</math>是~~(~~<math>~~\~~Pi_~~{2}\~~cap~~\~~Pi_{1}</math> <math>onto~~)~~^{(1,0)}~~</math>{<math>\~~alpha : L_{~~\~~alpha}</math>稳定到<math>L_{~~\~~alpha+1}</math>}的最小成员<br><br>~~		<math>\beta=\sup_{n<\beta}\{\alpha:L_\alpha\prec_{\Sigma_1}L_{\alpha+1}\}\cap(\Pi_2\ \text{onto}\ \Pi_2)</math>，则 <math>\beta=\min\ (\Pi_2\ \text{onto}\ \Pi_2)\cap\Pi_1\ \text{onto}\ \{\alpha:L_\alpha\prec_{\Sigma_1}L_{\alpha+1}\}</math><br><br><br>

	~~<math>~~\~~beta~~\in\~~Pi_~~{~~2}</math>~~ onto ~~<math>\Pi_{2~~}~~</math>是前<math>n~~\in\~~beta</math>个<math>~~\~~alpha</math>满足<math>L_{~~\~~alpha}</math>稳定到<math>L_{~~\~~alpha+1}</math>的上界，则<math>~~\~~beta</math>是(<math>\Pi_~~{~~2}</math>~~ onto ~~<math>\Pi_{2~~}~~</math>)<math>~~\~~cap(~~\~~Pi_~~{~~1}</math> onto {<math>~~\alpha : L_{\~~alpha~~}~~</math>稳定到<math>~~L_{\alpha+1}</math>~~})的最小成员~~<br><br>

	<math>\beta\in\Pi_{3}</math>是前<math>n\in\beta</math>个<math>\alpha</math>满足<math>L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>的上界，则<math>\beta</math>是<math>\Pi_{3}\cap(\Pi_{1}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>})的最小成员<br><br>		<math>\beta\in\Pi_{3}</math>是前<math>n\in\beta</math>个<math>\alpha</math>满足<math>L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>的上界，则<math>\beta</math>是<math>\Pi_{3}\cap(\Pi_{1}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>})的最小成员<br><br>
第177行：		第174行：

	<math>L_{\beta_{x}}</math>稳定到<math>L_{\beta_{x+1}}</math>，对<math>n\in\omega</math>，则<math>\beta_{n}</math>是<math>\omega</math>-ply，常规稳定链的终点，在此后需要涉及更高阶的反射		<math>L_{\beta_{x}}</math>稳定到<math>L_{\beta_{x+1}}</math>，对<math>n\in\omega</math>，则<math>\beta_{n}</math>是<math>\omega</math>-ply，常规稳定链的终点，在此后需要涉及更高阶的反射




	== 与BMS的关系 ==		== 与BMS的关系 ==

2025年8月5日 (二) 14:27 Tabelog

2025-08-05T14:27:12Z

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第1行：		第1行：
	<math>L_{\alpha}</math>是<math>L_{\beta}</math>的<math>\Sigma_{n}</math>初等子结构，如果任取<math>\Sigma_{n}</math>公式<math>\varphi</math>~~均有单射j满足~~<math>~~L_{\alpha}~~</math>\|=<math>\varphi~~</math>~~(~~<math>x_{1}</math>~~,~~<math>x_{2}~~</math>~~,…)~~等价于<math>L_{\beta~~}</math>\|=<math>~~\varphi~~</math>~~(j(~~<math>x_{1}</math>~~),j(~~<math>x_{2}~~</math>~~),…)~~，也称其为<math>L_{\alpha~~}</math> <math>~~\~~Sigma_~~{n}~~</math>稳定到 <math>~~L_{\beta}</math><br>		<math>L_{\alpha}</math> 是 <math>L_{\beta}</math> 的 <math>\Sigma_{n}</math> 初等子结构，如果任取 <math>\Sigma_{n}</math> 公式 <math>\varphi</math> 均有单射 <math>j</math> 满足<math>L_\alpha\models\varphi(x_1,x_2,\cdots)</math> 等价于 <math>L_\beta\models\varphi(j(x_1),j(x_2),\cdots)</math>，也称其为 <math>L_\alpha\ \Sigma_n\text{稳定到}\ L_\beta</math>。<br>

	除此外，我们还有<math>L_{\alpha}</math>是<math>L_{\beta~~}</math>~~-~~<math>~~\~~Pi_~~{n}</math>~~反射用于表达一些精细的层级，其中~~<math>L_{\alpha~~}</math><math>~~\~~Sigma_~~{1}~~</math>稳定到<math>~~L_{\beta}</math><br>~~(如未特别说明，下文的稳定到均为~~<math>\Sigma_{1}</math>~~稳定到)~~		除此外，我们还有 <math>L_{\alpha}</math> 是 <math>L_\beta-\Pi_n\text{-反射}</math> 用于表达一些精细的层级，其中 <math>L_\alpha\ \Sigma_1\text{稳定到}\ L_\beta</math><br>（如未特别说明，下文的稳定到均为 <math>\Sigma_{1}</math> 稳定到）
	~~函数式定义:<br>~~
	<math>L_{\alpha}</math>是<math>L_{f(\alpha)}</math>-<math>\Pi_{n}</math>反射 onto X，如果任取<math>\Pi_{n}</math>公式<math>\varphi</math>及参数<math>\gamma\in L_{\alpha}</math>和<math>\gamma'\in L_{\alpha'}</math>
	~~有<math>L_{f(\alpha)}\|=\varphi(\alpha,\gamma)\rightarrow L_{f(\alpha')}\|=\varphi(\alpha',\gamma')</math>,对于<math>\alpha'\in\alpha \cap X</math><br>~~

	~~序数式定义:<br>~~		函数式定义：
	~~<math>L_{\alpha}</math>是<math>L_{\beta}</math>-<math>\Pi_{n}</math>反射 onto X，如果任取<math>\Pi_{n}</math>公式，参数<math>\gamma\in\alpha</math>和<math>\gamma'\in\alpha'</math>有~~
	~~<math>L_{\beta}\|=\varphi(\alpha,\gamma)\rightarrow L_{\beta'}\|=\varphi(\alpha',\gamma')</math>，对于<math>\beta'\in\alpha</math>和<math>\alpha'\in\alpha\cap X</math><br>~~

	关于函数式定义，由于<math>\omega</math>-~~ply的顶点下成员都是~~<math>\omega</math>-~~ply，这会到达f和~~<math>\alpha</math>~~的某种不动点，以至于无法继续行进~~		<math>L_{\alpha}</math> 是 <math>L_{f(\alpha)}\text{-}\Pi_{n}</math> 反射 onto <math>X</math>，当且仅当对于任意 <math>\Pi_{n}</math> 公式 <math>\varphi</math> 及参数 <math>\gamma \in L_{\alpha}</math>、<math>\gamma' \in L_{\alpha'}</math>（其中 <math>\alpha' \in \alpha \cap X</math>），有
			<math>L_{f(\alpha)} \models \varphi(\alpha, \gamma) \rightarrow L_{f(\alpha')} \models \varphi(\alpha', \gamma')</math>。

			序数式定义：

			<math>L_{\alpha}</math> 是 <math>L_{\beta}\text{-}\Pi_{n}</math> 反射 onto <math>X</math>，当且仅当对于任意 <math>\Pi_{n}</math> 公式 <math>\varphi</math> 及参数 <math>\gamma \in \alpha</math>、<math>\gamma' \in \alpha'</math>（其中 <math>\beta' \in \alpha</math> 且 <math>\alpha' \in \alpha \cap X</math>），有
			<math>L_{\beta} \models \varphi(\alpha, \gamma) \rightarrow L_{\beta'} \models \varphi(\alpha', \gamma')</math>。

			关于函数式定义，由于 <math>\omega</math>-ply 的顶点下成员均为 <math>\omega</math>-ply，这会触发 <math>f</math> 与 <math>\alpha</math> 的某种不动点，导致无法继续推进。

	== 结构讲解 ==		== 结构讲解 ==
	参见词条[[Σ1稳定序数]]、[[方括号稳定]]。		参见词条 [[Σ1稳定序数\|Σ1 稳定序数]]、[[方括号稳定]]。

	== 枚举 ==		== 枚举 ==

2025年7月17日 (四) 01:17 Z

2025-07-17T01:17:32Z

←上一版本		2025年7月17日 (四) 09:17的版本
第189行：		第189行：

	注意并非满射。如<math>a<1b<2c</math>在稳定中标准而在BMS中是<math>(0,0)(1,0)(2,1)</math>不标准。		注意并非满射。如<math>a<1b<2c</math>在稳定中标准而在BMS中是<math>(0,0)(1,0)(2,1)</math>不标准。
			[[分类:记号]]

2025年7月17日 (四) 01:16 Z

2025-07-17T01:16:54Z

←上一版本		2025年7月17日 (四) 09:16的版本
第176行：		第176行：

	== 与BMS的关系 ==		== 与BMS的关系 ==
	待续		Racheline证明BMS良序的文章中，给出了[[Bashicu矩阵\|BMS]]到<math>\Sigma_n</math>稳定的一个单射。

			我们把BMS中第n行的父项关系记作<n，每个列当成一个单独的序数。如此翻译，就得到了一个<math>\Sigma_n</math>稳定的表达式。

			如<math>(0,0)(1,1)</math>,(0,0)记作α，(1,1)记作β，注意到第一行上<math>\alpha<1\beta</math>,第二行上<math>\alpha<2\beta</math>,翻译过来可只写<math>\alpha<2\beta</math>

			又如<math>(0,0)(1,1)(2,1)</math>翻译成<math>a<2(b,c),b<1c</math>.

			又如<math>(0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(1,1)(2,1)(3,0)(4,1)(5,1)(6,1)</math>,翻译成<math>a<2(b,c,d,e,f),b<1c<1d,b,c,d\in e,e<1f<1g,g<2(j,k,l),j<1k<1l</math>

			又如<math>a<2(b,d),b<2(c,e),c<1e,(b,c,e)\in d</math>，翻译成BMS为<math>(0,0)(1,1)(2,2)(3,2)(1,1)</math>.其中属于关系对应的是BMS对应项的位置，然后a稳定到b暗含a属于b。

			注意并非满射。如<math>a<1b<2c</math>在稳定中标准而在BMS中是<math>(0,0)(1,0)(2,1)</math>不标准。

稳定序数 - 版本历史

Tabelog：​文字替换 -“BMS”替换为“BMS”

2025年8月20日 (三) 08:24 Z

2025年8月8日 (五) 08:04 Tabelog

2025年8月8日 (五) 05:54 Tabelog

Tabelog：​/* 枚举 */

2025年8月8日 (五) 05:03 Tabelog

Tabelog：​/* 枚举 */

2025年8月5日 (二) 14:27 Tabelog

2025年7月17日 (四) 01:17 Z

2025年7月17日 (四) 01:16 Z

Tabelog：文字替换 -“BMS”替换为“BMS”

Tabelog：/* 枚举 */

Tabelog：/* 枚举 */