模型 - 版本历史

2025年8月17日 (日) 01:40 Tabelog

2025-08-17T01:40:03Z

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第1行：		第1行：
	一个给定语言~~<math>\lambda</math>~~的'''模型'''是一个对<math>(A,I)</math>，其中~~<math>~~A~~</math>~~为全域/~~宇宙，<math>I</math>~~为~~<math>~~A~~</math>~~上的解释函数，负责把~~<math>\lambda</math>中的符号映射到A中合适的关系，函数，常元。通常我们将模型写为以下形式~~		一个给定语言 λ 的'''模型'''是一个对 <math>(A,I)</math>，其中 A 为全域/宇宙，I 为 A 上的解释函数，负责把 λ 中的符号映射到 A 中合适的关系，函数，常元。通常我们将模型写为以下形式：

	<math>\alpha=(A,P^\alpha,\cdots,F^\alpha,\cdots,c^\alpha)</math>		<math>\alpha=(A,P^\alpha,\cdots,F^\alpha,\cdots,c^\alpha)</math>
第5行：		第5行：
	在中文语境中，语言的模型也被称为'''数学结构'''。		在中文语境中，语言的模型也被称为'''数学结构'''。

	我们定义，一个数学结构<math>A</math>~~满足某个公式~~<math>\varphi(a,b,\cdots)</math>，		我们定义，一个数学结构 A 满足某个公式 <math>\varphi(a,b,\cdots)</math>，当且仅当 <math>\varphi(a^A,b^B,\cdots)</math> 在 A 中成立。

	~~当且仅当<math>\varphi(a^A,b^B,\cdots)</math>在<math>A</math>中成立。~~		一个语句集 Σ 的模型，是一个数学结构 A，使得其满足这个语句集中的任意一条语句。

	~~一个语句集~~<math>\~~Sigma~~</math>~~的模型，是一个数学结构<math>~~A~~</math>，使得其满足这个语句集中的任意一条语句。~~		=== 模型的同构 ===
			我们称两个模型 <math>A=(\alpha,P^A,\cdots,F^A,\cdots,c^A),B=(\beta,P^B,\cdots,F^B,\cdots,c^B)</math> 是'''同构的'''，当且仅当存在一个 A 到 B 的双射 f 使得以下四点成立：

	~~== 模型的同构 ==~~		* <math>P^A(x_1,x_2,x_3,\cdots)</math> 当且仅当 <math>P^B(f(x_1),f(x_2),f(x_3),\cdots)</math>（P 为某个 n 元关系且 <math>P^A</math> 映射到的对象是 <math>P^B</math>）

	我们称两个模型<math>A=(\alpha,P^A,\cdots,F^A,\cdots,c^A)</math>，<math>B=(\beta,P^B,\cdots,F^B,\cdots,c^B)</math>是'''同构的'''，当且仅当存在一个<math>A</math>到<math>B</math>的双射<math>f</math>使得以下四点成立：

	* <math>P^A(x_1,x_2,x_3,\cdots)</math>当且仅当<math>P^B(f(x_1),f(x_2),f(x_3),\cdots)</math>~~(<math>P</math>~~为某个~~<math>~~n~~</math>~~元关系且<math>P^A</math>映射到的对象是<math>P^B</math>)

	* <math>f(F^A(x_1,x_2,x_3,\cdots))=F^B(f(x_1),f(x_2),f(x_3),\cdots)</math>		* <math>f(F^A(x_1,x_2,x_3,\cdots))=F^B(f(x_1),f(x_2),f(x_3),\cdots)</math>
第21行：		第18行：
	* <math>f(c^A)=c^B</math>		* <math>f(c^A)=c^B</math>

	* <math>A\models\varphi(a_1,a_2,\cdots)</math>当且仅当<math>B\models\varphi(f(a_1),f(a_2),\cdots)</math>		* <math>A\models\varphi(a_1,a_2,\cdots)</math> 当且仅当 <math>B\models\varphi(f(a_1),f(a_2),\cdots)</math>

	~~== 子模型 ==~~
	~~我们称一个模型<math>A=(\alpha,P^A,\cdots,F^A,\cdots,c^A)</math>是模型<math>B=(\beta,P^B,\cdots,F^B,\cdots,c^B)</math>的'''子模型'''，当且仅当：~~

	~~<math>\alpha\subset\beta</math>，<math>P^A\subset{P^B}</math>，<math>F^A\subset{F^B}</math>，<math>c^B\in{A}</math>且<math>A</math>在任意<math>A</math>上函数下封闭。~~

	~~一个从<math>B</math>到~~<math>A</math>~~的嵌入是一个~~<math>B</math>~~和<math>A</math>的子模型<math>B_1</math>之间的同构关系。~~		=== 子模型 ===
			我们称一个模型 <math>A=(\alpha,P^A,\cdots,F^A,\cdots,c^A)</math> 是模型 <math>B=(\beta,P^B,\cdots,F^B,\cdots,c^B)</math> 的'''子模型'''，当且仅当：

	一个<math>A~~</math>的子模型<math>~~B~~</math>是<math>~~A~~</math>的'''初等子模型'''，当且仅当对于任何<math>~~B~~</math>中的元素<math>(b_1,b_2,b_3~~,\~~cdots)~~</math>，有		<math>\alpha\subset\beta,\quad P^A\subset{P^B},\quad F^A\subset{F^B},\quad c^B\in{A}</math> 且 A 在任意 A 上函数下封闭。

	~~<math>~~B~~\models\varphi(b_1,b_2,b_3,\cdots)~~</math>~~当且仅当<math>A\models\varphi(b_1,b_2,b_3,\cdots)~~</math>。		一个从 B 到 A 的嵌入是一个 B 和 A 的子模型 <math>B_1</math> 之间的同构关系。

	~~两个模型是~~'''~~基本等价~~'''~~的，当且仅当它们满足同样的语句~~(~~无自由变量的命题~~)。		一个 A 的子模型 B 是 A 的'''初等子模型'''，当且仅当对于任何 B 中的元素 <math>(b_1,b_2,b_3,\cdots)</math>，有 <math>B\models\varphi(b_1,b_2,b_3,\cdots)</math> 当且仅当 <math>A\models\varphi(b_1,b_2,b_3,\cdots)</math>。

	~~一个嵌入被称为~~'''~~初等嵌入~~'''~~，当且仅当当且仅当它是一个嵌入且它的定义域是值域的初等子模型。~~		两个模型是'''基本等价'''的，当且仅当它们满足同样的语句（无自由变量的命题）。

	~~== 可定义性 ==~~		一个嵌入被称为'''[[初等嵌入]]'''，当且仅当当且仅当它是一个嵌入且它的定义域是值域的初等子模型。

	~~我们称一个集合X是在模型A上~~'''可定义的'''，当且仅当存在公式 <math>\varphi</math> 和变元<math>a_{1},a_{2},...\in A</math>，使得		=== 可定义性 ===
			我们称一个集合 X 是在模型 A 上'''可定义的'''，当且仅当存在公式 <math>\varphi</math> 和变元 <math>a_{1},a_{2},...\in A</math>，使得

	<math>X=\{x\in A\ \|\ A\models \varphi(x,a_{1},a_{2},...)\}</math>		<math>X=\{x\in A\ \|\ A\models \varphi(x,a_{1},a_{2},...)\}</math>

	如果这个公式 <math>\varphi</math> 只包含 <math>x</math> 一个参数，则称 ~~<math>~~X~~</math>~~ 是在 ~~<math>~~A~~</math>~~ 中可定义的。		如果这个公式 <math>\varphi</math> 只包含 <math>x</math> 一个参数，则称 X 是在 A 中可定义的。

	一个元素<math>a\in A</math>是可定义的，当且仅当 <math>\{a\}</math> 是在 ~~<math>~~A~~</math>~~ 上可定义的。		一个元素 <math>a\in A</math> 是可定义的，当且仅当 <math>\{a\}</math> 是在 A 上可定义的。
	[[分类:集合论相关]]		[[分类:集合论相关]]

QWQ-bili：美化公式

2025-07-20T04:56:26Z

美化公式

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第1行：		第1行：
	一个给定语言<math>\lambda</math>~~的模型是一个对~~<math>(A,I)</math>，其中<math>A</math>为全域/宇宙，<math>I</math>为<math>A</math>上的解释函数，负责把<math>\lambda</math>中的符号映射到A中合适的关系，函数，常元。通常我们将模型写为以下形式		一个给定语言<math>\lambda</math>的'''模型'''是一个对<math>(A,I)</math>，其中<math>A</math>为全域/宇宙，<math>I</math>为<math>A</math>上的解释函数，负责把<math>\lambda</math>中的符号映射到A中合适的关系，函数，常元。通常我们将模型写为以下形式

	<math>\alpha=(A,P^\alpha,\cdots,F^\alpha,\cdots,c^\alpha)</math>		<math>\alpha=(A,P^\alpha,\cdots,F^\alpha,\cdots,c^\alpha)</math>

	~~在中文语境中，语言的模型也被称为数学结构。~~		在中文语境中，语言的模型也被称为'''数学结构'''。

	我们定义，一个数学结构<math>A</math>满足某个公式<math>\~~phi~~(a,b,\cdots)</math>，		我们定义，一个数学结构<math>A</math>满足某个公式<math>\varphi(a,b,\cdots)</math>，

	当且仅当<math>\~~phi~~(a^A,b^B,\cdots)</math>在<math>A</math>中成立。		当且仅当<math>\varphi(a^A,b^B,\cdots)</math>在<math>A</math>中成立。

	一个语句集<math>\Sigma</math>的模型，是一个数学结构<math>A</math>，使得其满足这个语句集中的任意一条语句。		一个语句集<math>\Sigma</math>的模型，是一个数学结构<math>A</math>，使得其满足这个语句集中的任意一条语句。
第13行：		第13行：
	== 模型的同构 ==		== 模型的同构 ==

	我们称两个模型<math>A=(\alpha,P^A,\cdots,F^A,\cdots,c^A)</math>，<math>B=(\beta,P^B,\cdots,F^B,\cdots,c^B)</math>~~是同构的，当且仅当存在一个~~<math>A</math>到<math>B</math>~~的一对一函数~~<math>f</math>使得以下四点成立：		我们称两个模型<math>A=(\alpha,P^A,\cdots,F^A,\cdots,c^A)</math>，<math>B=(\beta,P^B,\cdots,F^B,\cdots,c^B)</math>是'''同构的'''，当且仅当存在一个<math>A</math>到<math>B</math>的双射<math>f</math>使得以下四点成立：

	* <math>P^A(x_1,x_2,x_3,\cdots)</math>当且仅当<math>P^B(f(x_1),f(x_2),f(x_3),\cdots)</math>(<math>P</math>为某个<math>n</math>元关系且<math>P^A</math>映射到的对象是<math>P^B</math>)		* <math>P^A(x_1,x_2,x_3,\cdots)</math>当且仅当<math>P^B(f(x_1),f(x_2),f(x_3),\cdots)</math>(<math>P</math>为某个<math>n</math>元关系且<math>P^A</math>映射到的对象是<math>P^B</math>)
第21行：		第21行：
	* <math>f(c^A)=c^B</math>		* <math>f(c^A)=c^B</math>

	* <math>A\models\~~phi~~(a_1,a_2,\cdots)</math>当且仅当<math>B\models\~~phi~~(f(a_1),f(a_2),\cdots)</math>		* <math>A\models\varphi(a_1,a_2,\cdots)</math>当且仅当<math>B\models\varphi(f(a_1),f(a_2),\cdots)</math>

	== 子模型 ==		== 子模型 ==
	我们称一个模型<math>A=(\alpha,P^A,\cdots,F^A,\cdots,c^A)</math>是模型<math>B=(\beta,P^B,\cdots,F^B,\cdots,c^B)</math>~~的子模型，当且仅当：~~		我们称一个模型<math>A=(\alpha,P^A,\cdots,F^A,\cdots,c^A)</math>是模型<math>B=(\beta,P^B,\cdots,F^B,\cdots,c^B)</math>的'''子模型'''，当且仅当：

	<math>\alpha\subset\beta</math>，<math>P^A\subset{P^B}</math>，<math>F^A\subset{F^B}</math>，<math>c^B\in{A}</math>且<math>A</math>在任意<math>A</math>上函数下封闭。		<math>\alpha\subset\beta</math>，<math>P^A\subset{P^B}</math>，<math>F^A\subset{F^B}</math>，<math>c^B\in{A}</math>且<math>A</math>在任意<math>A</math>上函数下封闭。
第30行：		第30行：
	一个从<math>B</math>到<math>A</math>的嵌入是一个<math>B</math>和<math>A</math>的子模型<math>B_1</math>之间的同构关系。		一个从<math>B</math>到<math>A</math>的嵌入是一个<math>B</math>和<math>A</math>的子模型<math>B_1</math>之间的同构关系。

	一个<math>A</math>的子模型<math>B</math>是<math>A</math>的'''初等子模型'''，当且仅当对于任何<math>B</math>中的元素<math>(b_1,b_2,b_3,\cdots)</math>，		一个<math>A</math>的子模型<math>B</math>是<math>A</math>的'''初等子模型'''，当且仅当对于任何<math>B</math>中的元素<math>(b_1,b_2,b_3,\cdots)</math>，有

	<math>B\models\~~phi~~(b_1,b_2,b_3,\cdots)</math>当且仅当<math>A\models\~~phi~~(b_1,b_2,b_3,\cdots)</math>。		<math>B\models\varphi(b_1,b_2,b_3,\cdots)</math>当且仅当<math>A\models\varphi(b_1,b_2,b_3,\cdots)</math>。

	两个模型是'''基本等价'''的，当且仅当它们满足同样的语句(无自由变量的命题)。		两个模型是'''基本等价'''的，当且仅当它们满足同样的语句(无自由变量的命题)。

	~~一个嵌入被称为初等嵌入，当且仅当当且仅当它是一个嵌入且它的定义域是值域的初等子模型~~		一个嵌入被称为'''初等嵌入'''，当且仅当当且仅当它是一个嵌入且它的定义域是值域的初等子模型。

	~~我们称一个集合X是在模型A上可定义的，当且仅当存在公式φ和变元a_1，a_2，... ∈A使得~~		== 可定义性 ==

	~~X=｛x∈A｜A｜=φ（x，a_1，a_2，~~...）｝		我们称一个集合X是在模型A上'''可定义的'''，当且仅当存在公式 <math>\varphi</math> 和变元<math>a_{1},a_{2},...\in A</math>，使得

	~~如果这个公式φ只包含x一个参数，则称X是在A中可定义的~~		<math>X=\{x\in A\ \|\ A\models \varphi(x,a_{1},a_{2},...)\}</math>

	~~一个元素a∈A是可定义的，当且仅当｛a｝是在A上可定义的~~		如果这个公式 <math>\varphi</math> 只包含 <math>x</math> 一个参数，则称 <math>X</math> 是在 <math>A</math> 中可定义的。

			一个元素<math>a\in A</math>是可定义的，当且仅当 <math>\{a\}</math> 是在 <math>A</math> 上可定义的。
			[[分类:集合论相关]]

虚妄之幻：初等嵌入

2025-07-18T07:14:35Z

初等嵌入

←上一版本		2025年7月18日 (五) 15:14的版本
第35行：		第35行：

	两个模型是'''基本等价'''的，当且仅当它们满足同样的语句(无自由变量的命题)。		两个模型是'''基本等价'''的，当且仅当它们满足同样的语句(无自由变量的命题)。

			一个嵌入被称为初等嵌入，当且仅当当且仅当它是一个嵌入且它的定义域是值域的初等子模型

			我们称一个集合X是在模型A上可定义的，当且仅当存在公式φ和变元a_1，a_2，... ∈A使得

			X=｛x∈A｜A｜=φ（x，a_1，a_2，...）｝

			如果这个公式φ只包含x一个参数，则称X是在A中可定义的

			一个元素a∈A是可定义的，当且仅当｛a｝是在A上可定义的

2025年7月18日 (五) 02:28 Apocalypse

2025-07-18T02:28:16Z

←上一版本		2025年7月18日 (五) 10:28的版本
第22行：		第22行：

	* <math>A\models\phi(a_1,a_2,\cdots)</math>当且仅当<math>B\models\phi(f(a_1),f(a_2),\cdots)</math>		* <math>A\models\phi(a_1,a_2,\cdots)</math>当且仅当<math>B\models\phi(f(a_1),f(a_2),\cdots)</math>
	*
	*		== 子模型 ==
	* 子模型		我们称一个模型<math>A=(\alpha,P^A,\cdots,F^A,\cdots,c^A)</math>是模型<math>B=(\beta,P^B,\cdots,F^B,\cdots,c^B)</math>的子模型，当且仅当：
	* 我们称一个模型A=~~（α，P~~^~~A，...~~F^A~~...~~c^~~a...）是模型B~~=~~（β，P~~^~~B，...~~F^~~B，...~~c^B~~...）的子模型，当且仅当α⊂β，P~~^~~A⊂P~~^~~B，F~~^~~A⊂F~~^~~B，c~~^~~B∈A且A在任意A上函数下封闭~~
	* 一个从B到A的嵌入是一个B和A的子模型B_1之间的同构关系		<math>\alpha\subset\beta</math>，<math>P^A\subset{P^B}</math>，<math>F^A\subset{F^B}</math>，<math>c^B\in{A}</math>且<math>A</math>在任意<math>A</math>上函数下封闭。
	* 一个A的子模型B是A的初等子模型，当且仅当，对于任何B中的元素（b1，b2，b3，...）
	* B｜=φ（b1，b2，b3，...）当且仅当A｜=φ（b1，b2，b3，...）		一个从<math>B</math>到<math>A</math>的嵌入是一个<math>B</math>和<math>A</math>的子模型<math>B_1</math>之间的同构关系。
	* 两个模型是基本等价的当且仅当它们满足同样的语句（无自由变量的命题）
	*		一个<math>A</math>的子模型<math>B</math>是<math>A</math>的'''初等子模型'''，当且仅当对于任何<math>B</math>中的元素<math>(b_1,b_2,b_3,\cdots)</math>，

			<math>B\models\phi(b_1,b_2,b_3,\cdots)</math>当且仅当<math>A\models\phi(b_1,b_2,b_3,\cdots)</math>。

			两个模型是'''基本等价'''的，当且仅当它们满足同样的语句(无自由变量的命题)。

虚妄之幻：子模型

2025-07-18T02:18:38Z

子模型

←上一版本		2025年7月18日 (五) 10:18的版本
第22行：		第22行：

	* <math>A\models\phi(a_1,a_2,\cdots)</math>当且仅当<math>B\models\phi(f(a_1),f(a_2),\cdots)</math>		* <math>A\models\phi(a_1,a_2,\cdots)</math>当且仅当<math>B\models\phi(f(a_1),f(a_2),\cdots)</math>
			*
			*
			* 子模型
			* 我们称一个模型A=（α，P^A，...F^A...c^a...）是模型B=（β，P^B，...F^B，...c^B...）的子模型，当且仅当α⊂β，P^A⊂P^B，F^A⊂F^B，c^B∈A且A在任意A上函数下封闭
			* 一个从B到A的嵌入是一个B和A的子模型B_1之间的同构关系
			* 一个A的子模型B是A的初等子模型，当且仅当，对于任何B中的元素（b1，b2，b3，...）
			* B｜=φ（b1，b2，b3，...）当且仅当A｜=φ（b1，b2，b3，...）
			* 两个模型是基本等价的当且仅当它们满足同样的语句（无自由变量的命题）
			*

Apocalypse：加入公式

2025-07-18T01:43:05Z

加入公式

←上一版本		2025年7月18日 (五) 09:43的版本
第1行：		第1行：
	~~一个给定语言λ的模型是一个对（A，I），其中A为全域~~/~~宇宙，I为A上的解释函数，负责把λ中的符号映射到A中合适的关系，函数，常元。通常我们将模型写为以下形式~~		一个给定语言<math>\lambda</math>的模型是一个对<math>(A,I)</math>，其中<math>A</math>为全域/宇宙，<math>I</math>为<math>A</math>上的解释函数，负责把<math>\lambda</math>中的符号映射到A中合适的关系，函数，常元。通常我们将模型写为以下形式

	α=~~（A，P~~^~~α，...，F~~^~~α，...，c~~^α）		<math>\alpha=(A,P^\alpha,\cdots,F^\alpha,\cdots,c^\alpha)</math>

	~~在中文语境中，语言的模型也被称为数学结构~~		在中文语境中，语言的模型也被称为数学结构。

	~~我们定义，一个数学结构A满足某个公式φ（a，b，...）~~		我们定义，一个数学结构<math>A</math>满足某个公式<math>\phi(a,b,\cdots)</math>，

	~~当且仅当φ（a~~^~~A，b~~^~~B，...）在A中成立~~		当且仅当<math>\phi(a^A,b^B,\cdots)</math>在<math>A</math>中成立。

	~~一个语句集∑的模型，是一个数学结构A，使得其满足这个语句集中的任意一条语句~~		一个语句集<math>\Sigma</math>的模型，是一个数学结构<math>A</math>，使得其满足这个语句集中的任意一条语句。

	模型的同构		== 模型的同构 ==

	~~我们称两个模型A~~=~~（α，P~~^~~A，...~~F^A~~....~~c^A~~...），B~~=（β,P^B~~...~~F^B~~...~~c^B~~...）是同构的，当且仅当存在一个A到B的一对一函数f使得~~		我们称两个模型<math>A=(\alpha,P^A,\cdots,F^A,\cdots,c^A)</math>，<math>B=(\beta,P^B,\cdots,F^B,\cdots,c^B)</math>是同构的，当且仅当存在一个<math>A</math>到<math>B</math>的一对一函数<math>f</math>使得以下四点成立：

	P^~~A（x_1，x_2，x_3，....）当且仅当P~~^~~B（f（x_1），f（x_2），f（x_3），...）（P为某个n元关系且P~~^~~A映射到的对象是P~~^B）		* <math>P^A(x_1,x_2,x_3,\cdots)</math>当且仅当<math>P^B(f(x_1),f(x_2),f(x_3),\cdots)</math>(<math>P</math>为某个<math>n</math>元关系且<math>P^A</math>映射到的对象是<math>P^B</math>)

	~~f（F~~^~~A（x_1，x_2，x_3，...））~~=F^~~B（f（x_1），f（x_2），....）~~		* <math>f(F^A(x_1,x_2,x_3,\cdots))=F^B(f(x_1),f(x_2),f(x_3),\cdots)</math>

	~~f（c~~^A）=c^B		* <math>f(c^A)=c^B</math>

	~~且A｜=φ（a1，a2，...）当且仅当B｜=φ（f（a1），f（a2），...）~~		* <math>A\models\phi(a_1,a_2,\cdots)</math>当且仅当<math>B\models\phi(f(a_1),f(a_2),\cdots)</math>

虚妄之幻：模型的定义

2025-07-18T01:26:20Z

模型的定义

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一个给定语言λ的模型是一个对（A，I），其中A为全域/宇宙，I为A上的解释函数，负责把λ中的符号映射到A中合适的关系，函数，常元。通常我们将模型写为以下形式

α=（A，P^α，...，F^α，...，c^α）

在中文语境中，语言的模型也被称为数学结构

我们定义，一个数学结构A满足某个公式φ（a，b，...）

当且仅当φ（a^A，b^B，...）在A中成立

一个语句集∑的模型，是一个数学结构A，使得其满足这个语句集中的任意一条语句

模型的同构

我们称两个模型A=（α，P^A，...F^A....c^A...），B=（β,P^B...F^B...c^B...）是同构的，当且仅当存在一个A到B的一对一函数f使得

P^A（x_1，x_2，x_3，....）当且仅当P^B（f（x_1），f（x_2），f（x_3），...）（P为某个n元关系且P^A映射到的对象是P^B）

f（F^A（x_1，x_2，x_3，...））=F^B（f（x_1），f（x_2），....）

f（c^A）=c^B

且A｜=φ（a1，a2，...）当且仅当B｜=φ（f（a1），f（a2），...）

模型 - 版本历史

2025年8月17日 (日) 01:40 Tabelog

QWQ-bili：​美化公式

虚妄之幻：​初等嵌入

2025年7月18日 (五) 02:28 Apocalypse

虚妄之幻：​子模型

Apocalypse：​加入公式

虚妄之幻：​模型的定义

QWQ-bili：美化公式

虚妄之幻：初等嵌入

虚妄之幻：子模型

Apocalypse：加入公式

虚妄之幻：模型的定义