无穷基数的平方等于自身 - 版本历史

2025年8月31日 (日) 03:05 Tabelog

2025-08-31T03:05:33Z

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第7行：		第7行：
	我们如下定义 <math>\mathrm{Ord}^2</math> 上的[[良序]]：		我们如下定义 <math>\mathrm{Ord}^2</math> 上的[[良序]]：

	<math display=block>		<math display="block">
	\begin{aligned}		\begin{aligned}
	(\alpha,\beta)<(\gamma,\delta)\iff{}&\max\{\alpha,\beta\}<\max\{\gamma,\delta\}\\		(\alpha,\beta)<(\gamma,\delta)\iff{}&\max\{\alpha,\beta\}<\max\{\gamma,\delta\}\\
第40行：		第40行：

	[[分类:集合论相关]]		[[分类:集合论相关]]
	~~[[分类:证明]]~~

QWQ-bili：增添引用

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增添引用

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第1行：		第1行：
	'''定理'''		'''定理'''

	~~对任意序数~~ <math>\alpha</math>，有 <math>\aleph_\alpha\times\aleph_\alpha=\aleph_\alpha</math>．		对任意[[序数]] <math>\alpha</math>，有 <math>\aleph_\alpha\times\aleph_\alpha=\aleph_\alpha</math>．

	'''证明'''		'''证明'''

	我们如下定义 <math>\mathrm{Ord}^2</math> ~~上的良序：~~		我们如下定义 <math>\mathrm{Ord}^2</math> 上的[[良序]]：

	<math display=block>		<math display=block>
第17行：		第17行：
	可以证明，这个序是一个良序．		可以证明，这个序是一个良序．

	我们令 <math>\Gamma(\alpha,\beta)</math> 表示集合 <math>\{(\gamma,\delta)\in\mathrm{Ord}^2\mid(\gamma,\delta)<(\alpha,\beta)\}</math> 的序型．可以证明，<math>\Gamma:\mathrm{Ord}^2\to\mathrm{Ord}</math> ~~保序且一对一．~~		我们令 <math>\Gamma(\alpha,\beta)</math> 表示集合 <math>\{(\gamma,\delta)\in\mathrm{Ord}^2\mid(\gamma,\delta)<(\alpha,\beta)\}</math> 的序型．可以证明，<math>\Gamma:\mathrm{Ord}^2\to\mathrm{Ord}</math> [[良序#概念\|保序]]且一对一．

	下面用 <math>\Gamma[\alpha\times\beta]</math> 表示 <math>\{\Gamma(\gamma,\delta)\mid(\gamma,\delta)\in\alpha\times\beta\}</math>，即集合 <math>\alpha\times\beta</math> 在 <math>\Gamma</math> 下的像集．		下面用 <math>\Gamma[\alpha\times\beta]</math> 表示 <math>\{\Gamma(\gamma,\delta)\mid(\gamma,\delta)\in\alpha\times\beta\}</math>，即集合 <math>\alpha\times\beta</math> 在 <math>\Gamma</math> 下的像集．
第29行：		第29行：
	那么我们取 <math>\delta</math> 满足 <math>\max\{\beta,\gamma\}<\delta<\omega_\alpha</math>，则 <math>\omega_\alpha=\Gamma(\beta,\gamma)\in\Gamma[\delta\times\delta]</math>．		那么我们取 <math>\delta</math> 满足 <math>\max\{\beta,\gamma\}<\delta<\omega_\alpha</math>，则 <math>\omega_\alpha=\Gamma(\beta,\gamma)\in\Gamma[\delta\times\delta]</math>．

	~~取上式两侧的基数，得到~~ <math>\aleph_\alpha<\|\delta\times\delta\|</math>．		取上式两侧的[[基数]]，得到 <math>\aleph_\alpha<\|\delta\times\delta\|</math>．

	因为 <math>\delta>\max\{\beta,\gamma\}\ge\omega</math>，所以可设 <math>\delta</math> 的基数为 <math>\aleph_\xi</math>，其中 <math>\xi<\alpha</math>．		因为 <math>\delta>\max\{\beta,\gamma\}\ge\omega</math>，所以可设 <math>\delta</math> 的基数为 <math>\aleph_\xi</math>，其中 <math>\xi<\alpha</math>．

2025年8月4日 (一) 04:16 Zhy137036

2025-08-04T04:16:33Z

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第39行：		第39行：
	因此，对任意序数 <math>\alpha</math>，都有 <math>\aleph_\alpha\times\aleph_\alpha=\aleph_\alpha</math>．		因此，对任意序数 <math>\alpha</math>，都有 <math>\aleph_\alpha\times\aleph_\alpha=\aleph_\alpha</math>．

			[[分类:集合论相关]]
	[[分类:证明]]		[[分类:证明]]

2025年7月29日 (二) 08:00 Zhy137036

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第38行：		第38行：

	因此，对任意序数 <math>\alpha</math>，都有 <math>\aleph_\alpha\times\aleph_\alpha=\aleph_\alpha</math>．		因此，对任意序数 <math>\alpha</math>，都有 <math>\aleph_\alpha\times\aleph_\alpha=\aleph_\alpha</math>．

			[[分类:证明]]

2025年7月29日 (二) 07:59 Zhy137036

2025-07-29T07:59:32Z

←上一版本		2025年7月29日 (二) 15:59的版本
第1行：		第1行：
	~~== <math>\aleph_\alpha\times\aleph_\alpha=\aleph_\alpha</math> 的证明 ==~~		'''定理'''

	~~证明：我们如下定义~~ <math>\mathrm{Ord}^2</math> 上的良序：		对任意序数 <math>\alpha</math>，有 <math>\aleph_\alpha\times\aleph_\alpha=\aleph_\alpha</math>．

			'''证明'''

			我们如下定义 <math>\mathrm{Ord}^2</math> 上的良序：

	<math display=block>		<math display=block>
第11行：		第15行：
	</math>		</math>

	~~可以证明，这个序是一个良序。~~		可以证明，这个序是一个良序．

	我们令 <math>\Gamma(\alpha,\beta)</math> 表示集合 <math>\{(\gamma,\delta)\in\mathrm{Ord}^2\mid(\gamma,\delta)<(\alpha,\beta)\}</math> ~~的序型。可以证明，~~<math>\Gamma:\mathrm{Ord}^2\to\mathrm{Ord}</math> ~~保序且一对一。~~		我们令 <math>\Gamma(\alpha,\beta)</math> 表示集合 <math>\{(\gamma,\delta)\in\mathrm{Ord}^2\mid(\gamma,\delta)<(\alpha,\beta)\}</math> 的序型．可以证明，<math>\Gamma:\mathrm{Ord}^2\to\mathrm{Ord}</math> 保序且一对一．

	下面用 <math>\Gamma[\alpha\times\beta]</math> 表示 <math>\{\Gamma(\gamma,\delta)\mid(\gamma,\delta)\in\alpha\times\beta\}</math>，即集合 <math>\alpha\times\beta</math> 在 <math>\Gamma</math> ~~下的像集。~~		下面用 <math>\Gamma[\alpha\times\beta]</math> 表示 <math>\{\Gamma(\gamma,\delta)\mid(\gamma,\delta)\in\alpha\times\beta\}</math>，即集合 <math>\alpha\times\beta</math> 在 <math>\Gamma</math> 下的像集．

	注意到 <math>\Gamma[\omega_\alpha\times\omega_\alpha]=\Gamma(0,\omega_\alpha)\ge\omega_\alpha</math>，以及 <math>\mathrm\Gamma[\omega\times\omega]=\omega</math>~~（取对角线计数）。~~		注意到 <math>\Gamma[\omega_\alpha\times\omega_\alpha]=\Gamma(0,\omega_\alpha)\ge\omega_\alpha</math>，以及 <math>\mathrm\Gamma[\omega\times\omega]=\omega</math>（取对角线计数）．

	我们要证 <math>\aleph_\alpha\times\aleph_\alpha=\aleph_\alpha</math>，只需证 <math>\Gamma[\omega_\alpha\times\omega_\alpha]=\omega_\alpha</math>。		我们要证 <math>\aleph_\alpha\times\aleph_\alpha=\aleph_\alpha</math>，只需证 <math>\Gamma[\omega_\alpha\times\omega_\alpha]=\omega_\alpha</math>．

	~~使用反证法。令~~ <math>\alpha</math> 是使得 <math>\omega_\alpha<\Gamma[\omega_\alpha\times\omega_\alpha]</math> 的最小序数，则存在 <math>\beta,\gamma<\omega_\alpha</math> 使得 <math>\Gamma(\beta,\gamma)=\omega_\alpha</math>。		使用反证法．令 <math>\alpha</math> 是使得 <math>\omega_\alpha<\Gamma[\omega_\alpha\times\omega_\alpha]</math> 的最小序数，则存在 <math>\beta,\gamma<\omega_\alpha</math> 使得 <math>\Gamma(\beta,\gamma)=\omega_\alpha</math>．

	那么我们取 <math>\delta</math> 满足 <math>\max\{\beta,\gamma\}<\delta<\omega_\alpha</math>，则 <math>\omega_\alpha=\Gamma(\beta,\gamma)\in\Gamma[\delta\times\delta]</math>。		那么我们取 <math>\delta</math> 满足 <math>\max\{\beta,\gamma\}<\delta<\omega_\alpha</math>，则 <math>\omega_\alpha=\Gamma(\beta,\gamma)\in\Gamma[\delta\times\delta]</math>．

	取上式两侧的基数，得到 <math>\aleph_\alpha<\|\delta\times\delta\|</math>。		取上式两侧的基数，得到 <math>\aleph_\alpha<\|\delta\times\delta\|</math>．

	因为 <math>\delta>\max\{\beta,\gamma\}\ge\omega</math>，所以可设 <math>\delta</math> 的基数为 <math>\aleph_\xi</math>，其中 <math>\xi<\alpha</math>。		因为 <math>\delta>\max\{\beta,\gamma\}\ge\omega</math>，所以可设 <math>\delta</math> 的基数为 <math>\aleph_\xi</math>，其中 <math>\xi<\alpha</math>．

	我们刚才设 <math>\alpha</math> 是使得 <math>\omega_\alpha<\Gamma(\omega_\alpha\times\omega_\alpha)</math> 的最小序数，所以 <math>\omega_\xi=\Gamma[\omega_\xi\times\omega_\xi]</math>，即 <math>\aleph_\xi=\aleph_\xi\times\aleph_\xi</math>。		我们刚才设 <math>\alpha</math> 是使得 <math>\omega_\alpha<\Gamma(\omega_\alpha\times\omega_\alpha)</math> 的最小序数，所以 <math>\omega_\xi=\Gamma[\omega_\xi\times\omega_\xi]</math>，即 <math>\aleph_\xi=\aleph_\xi\times\aleph_\xi</math>．

	所以 <math>\|\delta\times\delta\|=\|\delta\|\times\|\delta\|=\aleph_\xi\times\aleph_\xi=\aleph_\xi<\aleph_\alpha</math>~~，矛盾。~~		所以 <math>\|\delta\times\delta\|=\|\delta\|\times\|\delta\|=\aleph_\xi\times\aleph_\xi=\aleph_\xi<\aleph_\alpha</math>，矛盾．

	因此，对任意序数 <math>\alpha</math>，都有 <math>\aleph_\alpha\times\aleph_\alpha=\aleph_\alpha</math>。		因此，对任意序数 <math>\alpha</math>，都有 <math>\aleph_\alpha\times\aleph_\alpha=\aleph_\alpha</math>．

Zhy137036：Zhy137036移动页面证明至无穷基数的平方等于自身，不留重定向

2025-07-29T07:57:55Z

Zhy137036移动页面证明至无穷基数的平方等于自身，不留重定向

←上一版本	2025年7月29日 (二) 15:57的版本
（没有差异）

Zhy137036：创建页面，内容为“== $\aleph_\alpha\times\aleph_\alpha=\aleph_\alpha$ 的证明 == 证明：我们如下定义 $\mathrm{Ord}^2$ 上的良序： $\begin{aligned} (\alpha,\beta)<(\gamma,\delta)\iff{}&\max\{\alpha,\beta\}<\max\{\gamma,\delta\}\\ &\lor(\max\{\alpha,\beta\}=\max\{\gamma,\delta\}\land \alpha<\gamma)\\ &\lor(\max\{\alpha,\beta\}=\max\{\gamma,\delta\}\land\alpha=\gamma\land\beta<\delta)\\ \end{aligned}$ 可以证明，…”

2025-07-29T07:45:44Z

创建页面，内容为“== <math>\aleph_\alpha\times\aleph_\alpha=\aleph_\alpha</math> 的证明 == 证明：我们如下定义 <math>\mathrm{Ord}^2</math> 上的良序： <math display=block> \begin{aligned} (\alpha,\beta)<(\gamma,\delta)\iff{}&\max\{\alpha,\beta\}<\max\{\gamma,\delta\}\\ &\lor(\max\{\alpha,\beta\}=\max\{\gamma,\delta\}\land \alpha<\gamma)\\ &\lor(\max\{\alpha,\beta\}=\max\{\gamma,\delta\}\land\alpha=\gamma\land\beta<\delta)\\ \end{aligned} </math> 可以证明，…”

新页面

== <math>\aleph_\alpha\times\aleph_\alpha=\aleph_\alpha</math> 的证明 ==

证明：我们如下定义 <math>\mathrm{Ord}^2</math> 上的良序：

<math display=block>
\begin{aligned}
(\alpha,\beta)<(\gamma,\delta)\iff{}&\max\{\alpha,\beta\}<\max\{\gamma,\delta\}\\
&\lor(\max\{\alpha,\beta\}=\max\{\gamma,\delta\}\land \alpha<\gamma)\\
&\lor(\max\{\alpha,\beta\}=\max\{\gamma,\delta\}\land\alpha=\gamma\land\beta<\delta)\\
\end{aligned}
</math>

可以证明，这个序是一个良序。

我们令 <math>\Gamma(\alpha,\beta)</math> 表示集合 <math>\{(\gamma,\delta)\in\mathrm{Ord}^2\mid(\gamma,\delta)<(\alpha,\beta)\}</math> 的序型。可以证明，<math>\Gamma:\mathrm{Ord}^2\to\mathrm{Ord}</math> 保序且一对一。

下面用 <math>\Gamma[\alpha\times\beta]</math> 表示 <math>\{\Gamma(\gamma,\delta)\mid(\gamma,\delta)\in\alpha\times\beta\}</math>，即集合 <math>\alpha\times\beta</math> 在 <math>\Gamma</math> 下的像集。

注意到 <math>\Gamma[\omega_\alpha\times\omega_\alpha]=\Gamma(0,\omega_\alpha)\ge\omega_\alpha</math>，以及 <math>\mathrm\Gamma[\omega\times\omega]=\omega</math>（取对角线计数）。

我们要证 <math>\aleph_\alpha\times\aleph_\alpha=\aleph_\alpha</math>，只需证 <math>\Gamma[\omega_\alpha\times\omega_\alpha]=\omega_\alpha</math>。

使用反证法。令 <math>\alpha</math> 是使得 <math>\omega_\alpha<\Gamma[\omega_\alpha\times\omega_\alpha]</math> 的最小序数，则存在 <math>\beta,\gamma<\omega_\alpha</math> 使得 <math>\Gamma(\beta,\gamma)=\omega_\alpha</math>。

那么我们取 <math>\delta</math> 满足 <math>\max\{\beta,\gamma\}<\delta<\omega_\alpha</math>，则 <math>\omega_\alpha=\Gamma(\beta,\gamma)\in\Gamma[\delta\times\delta]</math>。

取上式两侧的基数，得到 <math>\aleph_\alpha<|\delta\times\delta|</math>。

因为 <math>\delta>\max\{\beta,\gamma\}\ge\omega</math>，所以可设 <math>\delta</math> 的基数为 <math>\aleph_\xi</math>，其中 <math>\xi<\alpha</math>。

我们刚才设 <math>\alpha</math> 是使得 <math>\omega_\alpha<\Gamma(\omega_\alpha\times\omega_\alpha)</math> 的最小序数，所以 <math>\omega_\xi=\Gamma[\omega_\xi\times\omega_\xi]</math>，即 <math>\aleph_\xi=\aleph_\xi\times\aleph_\xi</math>。

所以 <math>|\delta\times\delta|=|\delta|\times|\delta|=\aleph_\xi\times\aleph_\xi=\aleph_\xi<\aleph_\alpha</math>，矛盾。

因此，对任意序数 <math>\alpha</math>，都有 <math>\aleph_\alpha\times\aleph_\alpha=\aleph_\alpha</math>。