投影序数 - 版本历史

2025年9月7日 (日) 09:22 Z

2025-09-07T09:22:16Z

←上一版本		2025年9月7日 (日) 17:22的版本
第34行：		第34行：
	<nowiki>\(\begin{align}		<nowiki>\(\begin{align}
	&\psi_{p_1}(0) = q \tag{1}\\		&\psi_{p_1}(0) = q \tag{1}\\
	&\psi_{p_{m + 1}}(0) =n-proj. aft p_m \tag{2}\\		&\psi_{p_{m + 1}}(0) =n-proj. ~aft~ p_m \tag{2}\\
	&\psi_{p_m}(\#\sim X_{p_m + 1}) = \sup\{\psi_{p_m}(\#\sim t) \mid t < X_{p_m + 1}, X \in P_k, k \in \{1, \ldots, n\}\} \tag{3}\\		&\psi_{p_m}(\#\sim X_{p_m + 1}) = \sup\{\psi_{p_m}(\#\sim t) \mid t < X_{p_m + 1}, X \in P_k, k \in \{1, \ldots, n\}\} \tag{3}\\
	&\psi_{p_m}(t + 1) = \psi_{p_m}(t) \times \omega \tag{4}\\		&\psi_{p_m}(t + 1) = \psi_{p_m}(t) \times \omega \tag{4}\\

2025年9月7日 (日) 09:20 Z

2025-09-07T09:20:36Z

←上一版本		2025年9月7日 (日) 17:20的版本
第34行：		第34行：
	<nowiki>\(\begin{align}		<nowiki>\(\begin{align}
	&\psi_{p_1}(0) = q \tag{1}\\		&\psi_{p_1}(0) = q \tag{1}\\
	&\psi_{p_{m + 1}}(0) = p_m \tag{2}\\		&\psi_{p_{m + 1}}(0) =n-proj. aft p_m \tag{2}\\
	&\psi_{p_m}(\#\sim X_{p_m + 1}) = \sup\{\psi_{p_m}(\#\sim t) \mid t < X_{p_m + 1}, X \in P_k, k \in \{1, \ldots, n\}\} \tag{3}\\		&\psi_{p_m}(\#\sim X_{p_m + 1}) = \sup\{\psi_{p_m}(\#\sim t) \mid t < X_{p_m + 1}, X \in P_k, k \in \{1, \ldots, n\}\} \tag{3}\\
	&\psi_{p_m}(t + 1) = \psi_{p_m}(t) \times \omega \tag{4}\\		&\psi_{p_m}(t + 1) = \psi_{p_m}(t) \times \omega \tag{4}\\

2025年9月6日 (六) 14:57 YourCpper

2025-09-06T14:57:44Z

@@ 第118行： / 第118行： @@
 类似的，我们还可以用<math>\psi_S(\sigma S\times2+\dots)</math>来表示3-投影层级，直到<math>\psi_S(\sigma S\times3)=\beta</math>，最终得到<math>\psi_S(\sigma S\times\omega)=\omega-\text{Projection}</math>。这可以一直向上延伸到<math>\psi_S(\varepsilon_{\sigma S+1})</math>。
-[WIP]
+因为<math>\psi_S</math>函数不能投影S本身，所以<math>\psi_S(S_{\sigma S+1})</math>会直接补层展开为<math>\psi_S(\alpha \rightarrow \psi_{S_{\sigma S+1}}(\alpha)\rm{fp})</math>。在这之后，因为S能够投影<math>\sigma S_2</math>，所以<math>\psi_S(\sigma S_2)</math>会折叠<math>\psi_S(f(\sigma S))</math>(类比<math>\psi_\alpha(\Omega_{\alpha+2})</math>)。于是就可以将刚才的路重走一遍：
 === 在 OCF 中的行为 ===

Tabelog：文字替换 -“BMS”替换为“BMS”

2025-08-30T14:00:50Z

文字替换 -“BMS”替换为“BMS”

←上一版本		2025年8月30日 (六) 22:00的版本
第45行：		第45行：

	=== 扩展 ===		=== 扩展 ===
	投影有许多强大的拓展，在这里介绍投影使用最为广泛的拓展：向上投影。这个拓展可以与[[~~Bashicu矩阵\|~~BMS]]相抗衡。		投影有许多强大的拓展，在这里介绍投影使用最为广泛的拓展：向上投影。这个拓展可以与[[BMS]]相抗衡。

	==== 向上投影 ====		==== 向上投影 ====

2025年8月20日 (三) 08:24 Z

2025-08-20T08:24:03Z

←上一版本		2025年8月20日 (三) 16:24的版本
第228行：		第228行：
	\|<math>(1,1,1,1)(2,2,2,1)(3)</math>		\|<math>(1,1,1,1)(2,2,2,1)(3)</math>
	\|}		\|}
			{{默认排序:非递归记号}}
	[[分类:记号]]		[[分类:记号]]

2025年8月20日 (三) 00:47 Z

2025-08-20T00:47:56Z

←上一版本		2025年8月20日 (三) 08:47的版本
第229行：		第229行：
	\|}		\|}
	[[分类:记号]]		[[分类:记号]]
	~~[[分类:分析]]~~

2025年8月8日 (五) 12:32 YourCpper

2025-08-08T12:32:24Z

←上一版本		2025年8月8日 (五) 20:32的版本
第114行：		第114行：
	……		……

	这样下去我们将会得到<math>\psi_S(\sigma S+S_\omega)=\psi_\alpha(\alpha_\omega)</math>，S只需稍微发力，便能击穿整个2-~~投影层级。这样，我们就有~~<math>\psi_S(\sigma S\times2)=\alpha</math>。		这样下去我们将会得到<math>\psi_S(\sigma S+S_\omega)=\psi_\alpha(\alpha_\omega)</math>，S只需稍微发力，便能击穿整个2-投影层级。于是我们有<math>\psi_S(\sigma S\times2)=\alpha</math>。

	类似的，我们还可以用<math>\psi_S(\sigma S\times2+\dots)</math>来表示3-投影层级，直到<math>\psi_S(\sigma S\times3)=\beta</math>，最终得到<math>\psi_S(\sigma S\times\omega)=\omega-\text{Projection}</math>		类似的，我们还可以用<math>\psi_S(\sigma S\times2+\dots)</math>来表示3-投影层级，直到<math>\psi_S(\sigma S\times3)=\beta</math>，最终得到<math>\psi_S(\sigma S\times\omega)=\omega-\text{Projection}</math>。这可以一直向上延伸到<math>\psi_S(\varepsilon_{\sigma S+1})</math>。

	[WIP]		[WIP]

2025年8月8日 (五) 12:15 YourCpper

2025-08-08T12:15:22Z

@@ 第45行： / 第45行： @@
 === 扩展 ===
-投影有许多强大的拓展，在这里介绍投影使用最为广泛的拓展：向上投影
+投影有许多强大的拓展，在这里介绍投影使用最为广泛的拓展：向上投影。这个拓展可以与[[Bashicu矩阵|BMS]]相抗衡。
 ==== 向上投影 ====
@@ 第71行： / 第71行： @@
 S=(1,0)-Proj.，σ 表示升 1 阶投影（如 σS=(1,1)-Proj.），θ 表示升 (1,0) 阶投影（如 θS=(2,0)-Proj.）
 === 在 OCF 中的行为 ===

2025年8月8日 (五) 01:02 Tabelog

2025-08-08T01:02:51Z

←上一版本		2025年8月8日 (五) 09:02的版本
第1行：		第1行：
	投影序数（projection）是 test_alpha0 创造的非递归记号。投影序数是目前为止最方便的强大非递归序数表达方式，伴生的限制则是——它很有可能永远无法良定义（至少在比较小的序数处如此）。但即使如此，它可以作为非递归序数和递归记号的交接桥梁，并在国内大数社群广泛地被使用。		投影序数（projection）是 test_alpha0 创造的非递归记号。投影序数是目前为止最方便的强大非递归序数表达方式，伴生的限制则是——它很有可能永远无法良定义（至少在比较小的序数处如此）。但即使如此，它可以作为非递归序数和递归记号的交接桥梁，并在国内大数社群广泛地被使用。

	== 定义 ==		=== 定义 ===

	=== 第一个 2-投影序数 ===		==== 第一个 2-投影序数 ====
	我们定义 1-投影序数（1-proj.）就是传统的非递归序数。		我们定义 1-投影序数（1-proj.）就是传统的非递归序数。

	2-proj. 是一系列很大的非递归序数。它们被认为是 <math>a<_{\Sigma_1}Ord</math>。第 n 个<math>2-~~projection~~</math>被写作 <math>a_n</math>。现在让我们把 <math>a</math> 放进 [[序数坍缩函数\|OCF]] 里：		2-proj. 是一系列很大的非递归序数。它们被认为是 <math>a<_{\Sigma_1}Ord</math>。第 n 个<math>2\text{-proj.}</math>被写作 <math>a_n</math>。现在让我们把 <math>a</math> 放进 [[序数坍缩函数\|OCF]] 里：

	* <math>\psi_a(0)=\Omega</math>		* <math>\psi_a(0)=\Omega</math>
第18行：		第18行：
	这条规则乍一看平平无奇，但是注意，a 的下一个 Ω 序数，即 <math>\Omega_{a+1}</math>，也是一个 1-proj.！这意味着，<math>\psi_a(\Omega_{a+1})\neq\psi_a(\psi_{\Omega_{a+1}}(\psi_{\Omega_{a+1}}(\psi_{\Omega_{a+1}}(\cdots))))</math>，而是等于 <math>\sup\{\psi_a(a),\psi_a(a^a),\psi_a(\varepsilon_{a+1}),\psi_a(\zeta_{a+1}),\psi_a(\Gamma_{a+1}),\psi_a(BO(a+1)),\cdots\}</math>。通俗的说，就是需要穷尽 a 的递归运算。投影序数能挣脱 <math>\Omega_2</math> 的藩篱，正是靠这个本事。但其问题也是出在这里。因为我们无法直接定义 <math>\Omega_{a+1}</math> 之下的所有递归运算，因此投影序数直接作为非递归记号依然是不良的。但是它作为放进 OCF 里的递归记号却是良的，因此放心使用。		这条规则乍一看平平无奇，但是注意，a 的下一个 Ω 序数，即 <math>\Omega_{a+1}</math>，也是一个 1-proj.！这意味着，<math>\psi_a(\Omega_{a+1})\neq\psi_a(\psi_{\Omega_{a+1}}(\psi_{\Omega_{a+1}}(\psi_{\Omega_{a+1}}(\cdots))))</math>，而是等于 <math>\sup\{\psi_a(a),\psi_a(a^a),\psi_a(\varepsilon_{a+1}),\psi_a(\zeta_{a+1}),\psi_a(\Gamma_{a+1}),\psi_a(BO(a+1)),\cdots\}</math>。通俗的说，就是需要穷尽 a 的递归运算。投影序数能挣脱 <math>\Omega_2</math> 的藩篱，正是靠这个本事。但其问题也是出在这里。因为我们无法直接定义 <math>\Omega_{a+1}</math> 之下的所有递归运算，因此投影序数直接作为非递归记号依然是不良的。但是它作为放进 OCF 里的递归记号却是良的，因此放心使用。

	=== 更多的 2-投影序数 ===		==== 更多的 2-投影序数 ====
	我们定义 <math>\psi_{a_n}</math> 如下：		我们定义 <math>\psi_{a_n}</math> 如下：

第29行：		第29行：
	它们的作用可以理解为，当你在 <math>\psi_a</math> 内部需要用到 <math>\Omega_{a+2},I_{a+1},M_{a+1},\cdots</math> 这些东西的时候，需要 <math>\psi_{a_2}</math> 来表示它们。		它们的作用可以理解为，当你在 <math>\psi_a</math> 内部需要用到 <math>\Omega_{a+2},I_{a+1},M_{a+1},\cdots</math> 这些东西的时候，需要 <math>\psi_{a_2}</math> 来表示它们。

	=== n-投影序数 ===		==== n-投影序数 ====
	定义 p_m 是 <math>m\text{th}\ n+1-~~\rm Projection~~</math>，q 是 <math>\text{1st}\ n-~~\rm Projection~~</math>，P_n 是 <math>n-~~\rm Projection~~</math> 的集合：		定义 p_m 是 <math>m\text{th }n+1\text{-proj.}</math>，q 是 <math>\text{1st }n\text{-proj.}</math>，P_n 是 <math>n\text{-proj.}</math> 的集合：

	<nowiki>\(\begin{align}		<nowiki>\(\begin{align}
第40行：		第40行：
	\end{align}\)</nowiki>		\end{align}\)</nowiki>

	以上规则便统一定义了 <math>n-~~\rm Projection~~</math>。		以上规则便统一定义了 <math>n\text{-proj.}</math>。

	通俗的说，<math>(n+1)-~~Projection~~</math> 之于 <math>n-~~projection~~</math> 的关系就如同 <math>a_n</math> 之于 <math>\Omega_n</math>，高阶的投影序数可以对低阶的投影序数取并，从而造就极大地表示范围。		通俗的说，<math>(n+1)\text{-proj.}</math> 之于 <math>n\text{-proj.}</math> 的关系就如同 <math>a_n</math> 之于 <math>\Omega_n</math>，高阶的投影序数可以对低阶的投影序数取并，从而造就极大地表示范围。

	== 扩展 ==		=== 扩展 ===
	投影有许多强大的拓展，在这里介绍投影使用最为广泛的拓展：向上投影		投影有许多强大的拓展，在这里介绍投影使用最为广泛的拓展：向上投影

	=== 向上投影 ===		==== 向上投影 ====
	考虑一个很大的序数H，它可以折叠“投影点”：		考虑一个很大的序数H，它可以折叠“投影点”：

第64行：		第64行：
	<math>\psi_H(H^\omega)=\omega-\text{Projection}</math>		<math>\psi_H(H^\omega)=\omega-\text{Projection}</math>

	我们观察到，对于一个<math>\psi_H(X\sim H)</math>，它可以“投影”<math>\psi_H(X\sim (H\times 2))</math>之前的序数而不补层。比如说<math>\psi_H(H^2)</math>（<math>\alpha</math>），可以“投影”<math>\psi_H(H^2\times2)</math>（<math>\alpha_2</math>）以前的序数，例如<math>\psi_H(H\times(H+1))=\psi_H(H^2+H))</math>（<math>\Omega_{\alpha+1}</math>）。		我们观察到，对于一个 <math>\psi_H(X\sim H)</math>，它可以“投影”<math>\psi_H(X\sim (H\times 2))</math> 之前的序数而不补层。比如说 <math>\psi_H(H^2)</math>（<math>\alpha</math>），可以“投影”<math>\psi_H(H^2\times2)</math>（<math>\alpha_2</math>）以前的序数，例如 <math>\psi_H(H\times(H+1))=\psi_H(H^2+H))</math>（<math>\Omega_{\alpha+1}</math>）。

	下面我们考虑一个(1,0)-投影<math>\psi_H(H^H)</math>，按照先前的规律，它可以“投影”<math>\psi_H(H^{H\times 2})</math>（(2,0)-~~投影）之前的序数而不补层。为了方便接下来的讲解，我们引入如下记号：~~		下面我们考虑一个 (1,0)-Proj. <math>\psi_H(H^H)</math>，按照先前的规律，它可以“投影” <math>\psi_H(H^{H\times 2})</math>（(2,0)-Proj.）之前的序数而不补层。为了方便接下来的讲解，我们引入如下记号：

	(a1,a2,...,an)-投影=<math>\psi_H(H^{H^{n-1}\times a_1+H^{n-2}\times a_2+\dots+H\times a_{n-1}+a_n})</math>，例如(1,1,4,5,1,4)-投影=<math>\psi(H^{H^5+H^4+H^3\times4+H^2\times5+H+4})</math>		(a1,a2,...,an)-Proj.=<math>\psi_H(H^{H^{n-1}\times a_1+H^{n-2}\times a_2+\dots+H\times a_{n-1}+a_n})</math>，例如 (1,1,4,5,1,4)-Proj.=<math>\psi(H^{H^5+H^4+H^3\times4+H^2\times5+H+4})</math>

	S=(1,0)-~~投影，σ表示升1阶投影（如σS~~=(1,1)-~~投影），θ表示升~~(1,0)~~阶投影（如θS~~=(2,0)-~~投影）~~		S=(1,0)-Proj.，σ 表示升 1 阶投影（如 σS=(1,1)-Proj.），θ 表示升 (1,0) 阶投影（如 θS=(2,0)-Proj.）

	~~[WIP]~~		=== 在 OCF 中的行为 ===

	== 在 OCF 中的行为 ==
	''TO DO: 在 OCF 中的行为''		''TO DO: 在 OCF 中的行为''

	== 枚举和强度分析 ==		=== 枚举和强度分析 ===
	''主词条：[[投影 VS 反射稳定\|投影序数 VS 反射稳定]]，[[非递归BMS分析\|非递归 BMS 分析]]，[[投影序数 VS 方括号稳定]]''		''主词条：[[投影 VS 反射稳定\|投影序数 VS 反射稳定]]，[[非递归BMS分析\|非递归 BMS 分析]]，[[投影序数 VS 方括号稳定]]''

第183行：		第181行：
	\|}		\|}
	[[分类:记号]]		[[分类:记号]]
			[[分类:分析]]

2025年8月7日 (四) 15:45 YourCpper

2025-08-07T15:45:14Z

@@ 第32行： / 第32行： @@
 定义 p_m 是 <math>m\text{th}\ n+1-\rm Projection</math>，q 是 <math>\text{1st}\ n-\rm Projection</math>，P_n 是 <math>n-\rm Projection</math> 的集合：
-\(\begin{align}
+<nowiki>\(\begin{align}
 &\psi_{p_1}(0) = q \tag{1}\\
 &\psi_{p_{m + 1}}(0) = p_m \tag{2}\\
@@ 第38行： / 第38行： @@
 &\psi_{p_m}(t + 1) = \psi_{p_m}(t) \times \omega \tag{4}\\
 &\psi_{p_m}(\#\sim p_m) = \beta \rightarrow \psi_{p_m}(\#\sim \beta) \quad \text{Fixed Point} \tag{5}
-\end{align}\)
+\end{align}\)</nowiki>
 以上规则便统一定义了 <math>n-\rm Projection</math>。
@@ 第45行： / 第45行： @@
 == 扩展 ==
-''TO DO: 向上投影''
+投影有许多强大的拓展，在这里介绍投影使用最为广泛的拓展：向上投影
 == 在 OCF 中的行为 ==