康托范式 - 版本历史

2025年8月20日 (三) 08:23 Z

2025-08-20T08:23:13Z

←上一版本		2025年8月20日 (三) 16:23的版本
第43行：		第43行：
	* 否则，如果<math>\alpha_n</math>是后继表达式，记它的前驱是<math>\alpha_n'</math>，<math>S[m]=\omega^{\alpha_1}+\omega^{\alpha_2}+\omega^{\alpha_3}+\cdots +\omega^{\alpha_{n-1}}+\omega^{\alpha_n'}\times m</math>.		* 否则，如果<math>\alpha_n</math>是后继表达式，记它的前驱是<math>\alpha_n'</math>，<math>S[m]=\omega^{\alpha_1}+\omega^{\alpha_2}+\omega^{\alpha_3}+\cdots +\omega^{\alpha_{n-1}}+\omega^{\alpha_n'}\times m</math>.
	* 否则，<math>\alpha_n</math>是极限表达式，<math>S[m]=\omega^{\alpha_1}+\omega^{\alpha_2}+\omega^{\alpha_3}+\cdots +\omega^{\alpha_{n-1}}+\omega^{\alpha_n[m]}</math>.		* 否则，<math>\alpha_n</math>是极限表达式，<math>S[m]=\omega^{\alpha_1}+\omega^{\alpha_2}+\omega^{\alpha_3}+\cdots +\omega^{\alpha_{n-1}}+\omega^{\alpha_n[m]}</math>.
			{{默认排序:序数记号}}
	[[分类:入门]]		[[分类:入门]]
	[[分类:记号]]		[[分类:记号]]

2025年7月4日 (五) 07:12 Phyrion

2025-07-04T07:12:33Z

←上一版本		2025年7月4日 (五) 15:12的版本
第1行：		第1行：
	~~康托范式（Cantor normal form）提供了一种标准化的序数表示方式。它的定义依赖于~~[[序数#序数的运算\|序数运算]]中的加法和乘方。		'''康托范式 (Cantor Normal Form,CNF)''' 提供了一种标准化的序数表示方式。它的定义依赖于[[序数#序数的运算\|序数运算]]中的加法和乘方。

	== 形式 ==		== 形式 ==

2025年7月3日 (四) 10:12 Phyrion

2025-07-03T10:12:55Z

←上一版本		2025年7月3日 (四) 18:12的版本
第1行：		第1行：
	康托范式（Cantor normal form）提供了一种标准化的序数表示方式。它的定义依赖于[[序数#~~序数运算~~\|序数运算]]中的加法和乘方。		康托范式（Cantor normal form）提供了一种标准化的序数表示方式。它的定义依赖于[[序数#序数的运算\|序数运算]]中的加法和乘方。

	== 形式 ==		== 形式 ==

2025年7月3日 (四) 08:18 Z

2025-07-03T08:18:57Z

←上一版本		2025年7月3日 (四) 16:18的版本
第31行：		第31行：

	== 极限 ==		== 极限 ==
	~~理论上来说，任何序数都可以被康托范式表示，但存在一个序数满足α~~=ω^~~α，到了这里，前文所述那种递归地得到康托范式标准式的方法已经走不通了。因此我们不严谨的说康托范式的“极限”是~~<math>\varepsilon_0</math>，即<math>\sup\{\omega,\omega^{\omega},\omega^{\omega^{\omega}},\cdots\}</math>.		理论上来说，任何序数都可以被康托范式表示，但存在一个序数α满足<math>\alpha = \omega^{\alpha}</math>，到了这里，前文所述那种递归地得到康托范式标准式的方法已经走不通了。因此我们不严谨的说康托范式的“极限”是<math>\varepsilon_0</math>，即<math>\sup\{\omega,\omega^{\omega},\omega^{\omega^{\omega}},\cdots\}</math>.

	== 基本列系统 ==		== 基本列系统 ==

2025年7月3日 (四) 08:09 Z

2025-07-03T08:09:57Z

←上一版本		2025年7月3日 (四) 16:09的版本
第1行：		第1行：
	康托范式（Cantor normal ~~form）提供了一种在<math>\varepsilon_0</math>之下的标准化的序数表示方式。它的定义依赖于~~[[序数#序数运算\|序数运算]]中的加法和乘方。		康托范式（Cantor normal form）提供了一种标准化的序数表示方式。它的定义依赖于[[序数#序数运算\|序数运算]]中的加法和乘方。

	== 形式 ==		== 形式 ==
第20行：		第20行：

	# 你可以把任意一个先前得到的序数α升级为<math>\omega^{\alpha}</math>这个新砖头		# 你可以把任意一个先前得到的序数α升级为<math>\omega^{\alpha}</math>这个新砖头
	# 你可以把有限个你手里的砖头按从大到小的顺序从左到右排列，得到一个序数		#你可以把有限个你手里的砖头按从大到小的顺序从左到右排列，得到一个序数

	递归的运用这两个能力，你就可以得到康托范式的标准式。		递归的运用这两个能力，你就可以得到康托范式的标准式。
第31行：		第31行：

	== 极限 ==		== 极限 ==
	~~康托范式的极限是~~<math>\varepsilon_0</math>，即<math>\sup\{\omega,\omega^{\omega},\omega^{\omega^{\omega}},\cdots\}</math>.		理论上来说，任何序数都可以被康托范式表示，但存在一个序数满足α=ω^α，到了这里，前文所述那种递归地得到康托范式标准式的方法已经走不通了。因此我们不严谨的说康托范式的“极限”是<math>\varepsilon_0</math>，即<math>\sup\{\omega,\omega^{\omega},\omega^{\omega^{\omega}},\cdots\}</math>.

	== 基本列系统 ==		== 基本列系统 ==

2025年7月3日 (四) 05:50 Zhy137036

2025-07-03T05:50:44Z

←上一版本		2025年7月3日 (四) 13:50的版本
第19行：		第19行：
	你有两个能力：		你有两个能力：

			# 你可以把任意一个先前得到的序数α升级为<math>\omega^{\alpha}</math>这个新砖头
	# 你可以把有限个你手里的砖头按从大到小的顺序从左到右排列，得到一个序数		# 你可以把有限个你手里的砖头按从大到小的顺序从左到右排列，得到一个序数
	~~# 你可以把任意一个先前得到的序数α升级为<math>\omega^{\alpha}</math>这个新砖头~~

	递归的运用这两个能力，你就可以得到康托范式的标准式。		递归的运用这两个能力，你就可以得到康托范式的标准式。
第31行：		第31行：

	== 极限 ==		== 极限 ==
	康托范式的极限是<math>\varepsilon_0</math>，即<math>sup\{\omega,\omega^{\omega},\omega^{\omega^{\omega}},\cdots\}</math>.		康托范式的极限是<math>\varepsilon_0</math>，即<math>\sup\{\omega,\omega^{\omega},\omega^{\omega^{\omega}},\cdots\}</math>.

	== 基本列系统 ==		== 基本列系统 ==

QWQ-bili：修正标点与公式

2025-07-03T05:36:13Z

修正标点与公式

←上一版本		2025年7月3日 (四) 13:36的版本
第36行：		第36行：
	康托范式可以被改写为基本列型的[[序数记号]]。以下是其规则：		康托范式可以被改写为基本列型的[[序数记号]]。以下是其规则：

	~~对于一个康托范式的合法式S~~:		对于一个康托范式的合法式<math>S</math>:

	<math>\omega^{\alpha_1}+\omega^{\alpha_2}+\omega^{\alpha_3}+\cdots +\omega^{\alpha_{n-1}}+\omega^{\alpha_n}</math>，其基本列第m项<math>S[m]</math>根据如下规则找到：		<math>\omega^{\alpha_1}+\omega^{\alpha_2}+\omega^{\alpha_3}+\cdots +\omega^{\alpha_{n-1}}+\omega^{\alpha_n}</math>，其基本列第m项<math>S[m]</math>根据如下规则找到：

	* 如果<math>\alpha_n</math>=0,~~则S是后继表达式，S的前驱是~~<math>\omega^{\alpha_1}+\omega^{\alpha_2}+\omega^{\alpha_3}+\cdots +\omega^{\alpha_{n-1}}</math>。		* 如果<math>\alpha_n</math>=0,则<math>S</math>是后继表达式，<math>S</math>的前驱是<math>\omega^{\alpha_1}+\omega^{\alpha_2}+\omega^{\alpha_3}+\cdots +\omega^{\alpha_{n-1}}</math>.
	* 否则，如果<math>\alpha_n</math>是后继表达式，记它的前驱是<math>\alpha_n'</math>,S[m]=~~<math>~~\omega^{\alpha_1}+\omega^{\alpha_2}+\omega^{\alpha_3}+\cdots +\omega^{\alpha_{n-1}}+\omega^{\alpha_n'}\times m</math>。		* 否则，如果<math>\alpha_n</math>是后继表达式，记它的前驱是<math>\alpha_n'</math>，<math>S[m]=\omega^{\alpha_1}+\omega^{\alpha_2}+\omega^{\alpha_3}+\cdots +\omega^{\alpha_{n-1}}+\omega^{\alpha_n'}\times m</math>.
	* 否则，<math>\alpha_n</math>~~是极限表达式，S~~[m]=~~<math>~~\omega^{\alpha_1}+\omega^{\alpha_2}+\omega^{\alpha_3}+\cdots +\omega^{\alpha_{n-1}}+\omega^{\alpha_n[m]}</math>。		* 否则，<math>\alpha_n</math>是极限表达式，<math>S[m]=\omega^{\alpha_1}+\omega^{\alpha_2}+\omega^{\alpha_3}+\cdots +\omega^{\alpha_{n-1}}+\omega^{\alpha_n[m]}</math>.
	[[分类:入门]]		[[分类:入门]]
	[[分类:记号]]		[[分类:记号]]

2025年7月3日 (四) 02:53 Z

2025-07-03T02:53:57Z

←上一版本		2025年7月3日 (四) 10:53的版本
第40行：		第40行：
	<math>\omega^{\alpha_1}+\omega^{\alpha_2}+\omega^{\alpha_3}+\cdots +\omega^{\alpha_{n-1}}+\omega^{\alpha_n}</math>，其基本列第m项<math>S[m]</math>根据如下规则找到：		<math>\omega^{\alpha_1}+\omega^{\alpha_2}+\omega^{\alpha_3}+\cdots +\omega^{\alpha_{n-1}}+\omega^{\alpha_n}</math>，其基本列第m项<math>S[m]</math>根据如下规则找到：

	如果<math>\alpha_n</math>=0,则S是后继表达式，S的前驱是<math>\omega^{\alpha_1}+\omega^{\alpha_2}+\omega^{\alpha_3}+\cdots +\omega^{\alpha_{n-1}}</math>。		* 如果<math>\alpha_n</math>=0,则S是后继表达式，S的前驱是<math>\omega^{\alpha_1}+\omega^{\alpha_2}+\omega^{\alpha_3}+\cdots +\omega^{\alpha_{n-1}}</math>。
			* 否则，如果<math>\alpha_n</math>是后继表达式，记它的前驱是<math>\alpha_n'</math>,S[m]=<math>\omega^{\alpha_1}+\omega^{\alpha_2}+\omega^{\alpha_3}+\cdots +\omega^{\alpha_{n-1}}+\omega^{\alpha_n'}\times m</math>。
	否则，如果<math>\alpha_n</math>是后继表达式，记它的前驱是<math>\alpha_n'</math>,S[m]=<math>\omega^{\alpha_1}+\omega^{\alpha_2}+\omega^{\alpha_3}+\cdots +\omega^{\alpha_{n-1}}+\omega^{\alpha_n'}\times m</math>。		* 否则，<math>\alpha_n</math>是极限表达式，S[m]=<math>\omega^{\alpha_1}+\omega^{\alpha_2}+\omega^{\alpha_3}+\cdots +\omega^{\alpha_{n-1}}+\omega^{\alpha_n[m]}</math>。

	否则，<math>\alpha_n</math>是极限表达式，S[m]=<math>\omega^{\alpha_1}+\omega^{\alpha_2}+\omega^{\alpha_3}+\cdots +\omega^{\alpha_{n-1}}+\omega^{\alpha_n[m]}</math>。
	[[分类:入门]]		[[分类:入门]]
	[[分类:记号]]		[[分类:记号]]

2025年7月3日 (四) 02:53 Z

2025-07-03T02:53:17Z

←上一版本		2025年7月3日 (四) 10:53的版本
第45行：		第45行：

	否则，<math>\alpha_n</math>是极限表达式，S[m]=<math>\omega^{\alpha_1}+\omega^{\alpha_2}+\omega^{\alpha_3}+\cdots +\omega^{\alpha_{n-1}}+\omega^{\alpha_n[m]}</math>。		否则，<math>\alpha_n</math>是极限表达式，S[m]=<math>\omega^{\alpha_1}+\omega^{\alpha_2}+\omega^{\alpha_3}+\cdots +\omega^{\alpha_{n-1}}+\omega^{\alpha_n[m]}</math>。
			[[分类:入门]]
			[[分类:记号]]

2025年7月3日 (四) 02:52 Z

2025-07-03T02:52:42Z

←上一版本		2025年7月3日 (四) 10:52的版本
第1行：		第1行：
	康托范式（Cantor normal ~~form）提供了一种标准化的序数表示方式。它的定义依赖于~~[[序数#序数运算\|序数运算]]中的加法和乘方。		康托范式（Cantor normal form）提供了一种在<math>\varepsilon_0</math>之下的标准化的序数表示方式。它的定义依赖于[[序数#序数运算\|序数运算]]中的加法和乘方。

			== 形式 ==
			康托范式是形如：

			<math>\omega^{\alpha_1}+\omega^{\alpha_2}+\omega^{\alpha_3}+\cdots +\omega^{\alpha_n}</math>

			的表达式。其中<math>\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\cdots,\alpha_n</math>是不严格递减的序数，且也是康托范式形式的。n是自然数。

			比方说，<math>\omega ^0+\omega^0</math>是一个康托范式，<math>\omega^{\omega^0+\omega^0+\omega^0}+\omega^{\omega^0+\omega^0+\omega^0}+\omega^{\omega^0}+\omega^0+\omega^0+\omega^0</math>也是一个康托范式。

			但是这样写有些过于繁琐了。因此为了简便书写，我们保留自然数，并且引入乘法。即上面那个可以写为<math>\omega^3\times2+\omega+3</math>.

			== 直观理解 ==
			为了直观理解，我们把<math>\omega^{\alpha}</math>想象成“砖头”，α的大小决定了砖头的大小。康托范式就是由有限个砖头按从大到小的顺序从左到右排列。

			一开始你手里只有一个0.

			你有两个能力：

			# 你可以把有限个你手里的砖头按从大到小的顺序从左到右排列，得到一个序数
			# 你可以把任意一个先前得到的序数α升级为<math>\omega^{\alpha}</math>这个新砖头

			递归的运用这两个能力，你就可以得到康托范式的标准式。

			举例：还拿<math>\omega^3\times2+\omega+3</math>作为例子。

			一开始你手里只有一个0.你用能力1，把0升级为<math>\omega^0</math>，即1.然后你用能力2，把有限个1拼在一起形成序数。因此，1和3都可以被表示出来。

			然后你再用能力1，把1和3升级为<math>\omega^1</math>和<math>\omega^3</math>.然后你就可以把2个砖头<math>\omega^3</math>，1个砖头<math>\omega^1</math>和3个砖头<math>\omega^0</math>拼在一起，就得到了<math>\omega^3\times2+\omega+3</math>.

			== 极限 ==
			康托范式的极限是<math>\varepsilon_0</math>，即<math>sup\{\omega,\omega^{\omega},\omega^{\omega^{\omega}},\cdots\}</math>.

			== 基本列系统 ==
			康托范式可以被改写为基本列型的[[序数记号]]。以下是其规则：

			对于一个康托范式的合法式S:

			<math>\omega^{\alpha_1}+\omega^{\alpha_2}+\omega^{\alpha_3}+\cdots +\omega^{\alpha_{n-1}}+\omega^{\alpha_n}</math>，其基本列第m项<math>S[m]</math>根据如下规则找到：

			如果<math>\alpha_n</math>=0,则S是后继表达式，S的前驱是<math>\omega^{\alpha_1}+\omega^{\alpha_2}+\omega^{\alpha_3}+\cdots +\omega^{\alpha_{n-1}}</math>。

			否则，如果<math>\alpha_n</math>是后继表达式，记它的前驱是<math>\alpha_n'</math>,S[m]=<math>\omega^{\alpha_1}+\omega^{\alpha_2}+\omega^{\alpha_3}+\cdots +\omega^{\alpha_{n-1}}+\omega^{\alpha_n'}\times m</math>。

			否则，<math>\alpha_n</math>是极限表达式，S[m]=<math>\omega^{\alpha_1}+\omega^{\alpha_2}+\omega^{\alpha_3}+\cdots +\omega^{\alpha_{n-1}}+\omega^{\alpha_n[m]}</math>。

康托范式 - 版本历史

2025年8月20日 (三) 08:23 Z

2025年7月4日 (五) 07:12 Phyrion

2025年7月3日 (四) 10:12 Phyrion

2025年7月3日 (四) 08:18 Z

2025年7月3日 (四) 08:09 Z

2025年7月3日 (四) 05:50 Zhy137036

QWQ-bili：​修正标点与公式

2025年7月3日 (四) 02:53 Z

2025年7月3日 (四) 02:53 Z

2025年7月3日 (四) 02:52 Z

QWQ-bili：修正标点与公式