序数超运算 - 版本历史

量子杰克：分类

2026-04-21T20:30:11Z

分类

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第208行：		第208行：
	[[分类:记号]]		[[分类:记号]]
	[[分类:入门]]		[[分类:入门]]
			[[分类:序数超运算]]

量子杰克：+ω法序数超运算分析

2026-04-21T20:28:57Z

+ω法序数超运算分析

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第120行：		第120行：
	第三中试图解决问题的方案是+1法。		第三中试图解决问题的方案是+1法。

	它基于一种特别朴素的想法，即：如果<math>\omega\uparrow^c\alpha=\alpha</math>,则修改其值为<math>\omega\uparrow^c(\alpha+1)</math>.~~显然，这一改变真正起到效果的是指数上的变化。关于~~+1法序数超运算，我们有：		它基于一种特别朴素的想法，即：如果<math>\omega\uparrow^c\alpha=\alpha</math>,则修改其值为<math>\omega\uparrow^c(\alpha+1)</math>.显然，这一改变真正起到效果的是指数上的变化。当然，类似+1法，还可以用其他函数跳过不动点，例如+ω法，×2法，×ω法等，但不能达到下一个ε点。

			关于+1法序数超运算，我们有：

	例如：ω^^(ω+1)如果展开为ω^ω^^ω就会遇到不动点，因此触发上述的+1规则。		例如：ω^^(ω+1)如果展开为ω^ω^^ω就会遇到不动点，因此触发上述的+1规则。
第199行：		第201行：

	但如此的拓展达到同样序数的难度要明显大于一般的[[序数坍缩函数]]。有些版本引入了更为强大的结构，但已经失去了超运算的特性，其强度主要为引入的更高级序数结构，建议使用以更高级核心的序数记号替代之。		但如此的拓展达到同样序数的难度要明显大于一般的[[序数坍缩函数]]。有些版本引入了更为强大的结构，但已经失去了超运算的特性，其强度主要为引入的更高级序数结构，建议使用以更高级核心的序数记号替代之。

			类似+1法的+ω法序数超运算由于整度较大，容易分析，方便进行拓展，有如下分析：[[+ω法序数超运算分析]]

	== 总结 ==		== 总结 ==

2026年2月21日 (六) 09:43 0100000000a7

2026-02-21T09:43:06Z

←上一版本		2026年2月21日 (六) 17:43的版本
第21行：		第21行：
	# <math>\alpha\downarrow^c1=\alpha</math>		# <math>\alpha\downarrow^c1=\alpha</math>
	# <math>\alpha\downarrow^{c+1}(\beta+1)=(\alpha\downarrow^{c+1}\beta)\downarrow\alpha</math>		# <math>\alpha\downarrow^{c+1}(\beta+1)=(\alpha\downarrow^{c+1}\beta)\downarrow\alpha</math>
	# <math>\alpha\downarrow^c\lambda=sup\{\alpha\downarrow^c\beta\|\beta<\lambda\}</math>		# <math>\alpha\downarrow^c\lambda=\sup\{\alpha\downarrow^c\beta\|\beta<\lambda\}</math>

	其中<math>\alpha,\beta</math>是任意序数，c是自然数，<math>\lambda</math>是非0极限序数。		其中<math>\alpha,\beta</math>是任意序数，c是自然数，<math>\lambda</math>是非0极限序数。

2026年2月21日 (六) 09:42 0100000000a7

2026-02-21T09:42:43Z

←上一版本		2026年2月21日 (六) 17:42的版本
第11行：		第11行：
	其中<math>\alpha,\beta</math>是任意序数，c是自然数，<math>\lambda</math>是非0极限序数。		其中<math>\alpha,\beta</math>是任意序数，c是自然数，<math>\lambda</math>是非0极限序数。

	这样一来，就有<math>\omega\uparrow^2(\omega+1)=\omega^{\omega\uparrow^2\omega}=sup\{\omega^{\omega\uparrow^2n}\|n<\omega\}=sup\{\omega\uparrow^2n\|n<\omega\}=\omega\uparrow^2\omega</math>.进一步，对任意<math>\beta\geq\omega</math>，都有<math>\omega\uparrow^2\beta=\omega\uparrow^2\omega</math>.再进一步，对任意的<math>c\geq2,\beta\geq\omega</math>,都有<math>\omega\uparrow^c\beta=\omega\uparrow^2\omega</math>.		这样一来，就有<math>\omega\uparrow^2(\omega+1)=\omega^{\omega\uparrow^2\omega}=\sup\{\omega^{\omega\uparrow^2n}\|n<\omega\}=\sup\{\omega\uparrow^2n\|n<\omega\}=\omega\uparrow^2\omega</math>.进一步，对任意<math>\beta\geq\omega</math>，都有<math>\omega\uparrow^2\beta=\omega\uparrow^2\omega</math>.再进一步，对任意的<math>c\geq2,\beta\geq\omega</math>,都有<math>\omega\uparrow^c\beta=\omega\uparrow^2\omega</math>.

	这显然不是我们所期待的。		这显然不是我们所期待的。

Phyrion：/* 攀爬法 */

2026-02-21T06:08:40Z

攀爬法

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第79行：		第79行：

	== 攀爬法 ==		== 攀爬法 ==
	第二种试图解决问题的方案是攀爬法。攀爬法提供了一种更强的推广。我们知道，<math>\varepsilon_1</math>的基本列是<math>\{\omega^{\varepsilon_0+1},\omega^{\omega^{\varepsilon_0+1}},\omega^{\omega^{\omega^{\varepsilon_0+1}}},\cdots\}</math>，我们可以将其表示为<math>\{\omega^{\omega^{\omega^{\cdots}}}+1,\omega^{\omega^{\omega^{\cdots}}+1},\omega^{\omega^{\omega^{\cdots}+1}},\cdots\}</math>.在这里我们把<math>\omega</math>的指数塔固定在<math>\omega</math>。在这样的基本列中，+1像在指数塔攀爬一样，攀爬法也因此而得名。在基本列的尽头，+1攀爬到了指数塔的顶端，与原来在顶端的1相加变为2。因此我们得到<math>\varepsilon_1=\underbrace{\omega^{\omega^{\cdots^{2}}}}_{\omega+1 \text{ layers}}</math>.进一步的，按照攀爬法我们有<math>\varepsilon_{\omega}=\underbrace{\omega^{\omega^{\cdots^{\omega}}}}_{\omega+1 \text{ layers}}</math>,我们将其记为<math>\omega\uparrow\uparrow(\omega+1)=\varepsilon_{\omega}</math>.		第二种试图解决问题的方案是攀爬法。攀爬法提供了一种更强的推广。我们知道，<math>\varepsilon_1</math>的基本列是<math>\{\varepsilon_0+1,\omega^{\varepsilon_0+1},\omega^{\omega^{\varepsilon_0+1}},\omega^{\omega^{\omega^{\varepsilon_0+1}}},\cdots\}</math>，我们可以将其表示为<math>\{\omega^{\omega^{\omega^{\cdots}}}+1,\omega^{\omega^{\omega^{\cdots}}+1},\omega^{\omega^{\omega^{\cdots}+1}},\cdots\}</math>.在这里我们把<math>\omega</math>的指数塔固定在<math>\omega</math>。在这样的基本列中，+1像在指数塔攀爬一样，攀爬法也因此而得名。在基本列的尽头，+1攀爬到了指数塔的顶端，与原来在顶端的1相加变为2。因此我们得到<math>\varepsilon_1=\underbrace{\omega^{\omega^{\cdots^{2}}}}_{\omega+1 \text{ layers}}</math>.进一步的，按照攀爬法我们有<math>\varepsilon_{\omega}=\underbrace{\omega^{\omega^{\cdots^{\omega}}}}_{\omega+1 \text{ layers}}</math>,我们将其记为<math>\omega\uparrow\uparrow(\omega+1)=\varepsilon_{\omega}</math>.

	进一步有：		进一步有：

0100000000a7：修复部分公式排版

2026-02-21T05:59:19Z

修复部分公式排版

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第7行：		第7行：
	# <math>\alpha\uparrow^c1=\alpha</math>		# <math>\alpha\uparrow^c1=\alpha</math>
	# <math>\alpha\uparrow^{c+1}(\beta+1)=\alpha\uparrow^c(\alpha\uparrow^{c+1}\beta)</math>		# <math>\alpha\uparrow^{c+1}(\beta+1)=\alpha\uparrow^c(\alpha\uparrow^{c+1}\beta)</math>
	# <math>\alpha\uparrow^c\lambda=sup\{\alpha\uparrow^c\beta\|\beta<\lambda\}</math>		# <math>\alpha\uparrow^c\lambda=\sup\{\alpha\uparrow^c\beta\|\beta<\lambda\}</math>

	其中<math>\alpha,\beta</math>是任意序数，c是自然数，<math>\lambda</math>是非0极限序数。		其中<math>\alpha,\beta</math>是任意序数，c是自然数，<math>\lambda</math>是非0极限序数。
第79行：		第79行：

	== 攀爬法 ==		== 攀爬法 ==
	第二种试图解决问题的方案是攀爬法。攀爬法提供了一种更强的推广。我们知道，<math>\varepsilon_1</math>的基本列是<math>\{\omega^{\varepsilon_0+1},\omega^{\omega^{\varepsilon_0+1}},\omega^{\omega^{\omega^{\varepsilon_0+1}}},\cdots\}</math>，我们可以将其表示为<math>\{\omega^{\omega^{\omega^{\cdots}}}+1,\omega^{\omega^{\omega^{\cdots}}+1},\omega^{\omega^{\omega^{\cdots}+1}},\cdots\}</math>.在这里我们把<math>\omega</math>的指数塔固定在<math>\omega</math>。在这样的基本列中，+1像在指数塔攀爬一样，攀爬法也因此而得名。在基本列的尽头，+1攀爬到了指数塔的顶端，与原来在顶端的1相加变为2。因此我们得到<math>\varepsilon_1=\underbrace{\omega^{\omega^{\cdots^{2}}}}_{\omega+1 layers}</math>.进一步的，按照攀爬法我们有<math>\varepsilon_{\omega}=\underbrace{\omega^{\omega^{\cdots^{\omega}}}}_{\omega+1 layers}</math>,我们将其记为<math>\omega\uparrow\uparrow(\omega+1)=\varepsilon_{\omega}</math>.		第二种试图解决问题的方案是攀爬法。攀爬法提供了一种更强的推广。我们知道，<math>\varepsilon_1</math>的基本列是<math>\{\omega^{\varepsilon_0+1},\omega^{\omega^{\varepsilon_0+1}},\omega^{\omega^{\omega^{\varepsilon_0+1}}},\cdots\}</math>，我们可以将其表示为<math>\{\omega^{\omega^{\omega^{\cdots}}}+1,\omega^{\omega^{\omega^{\cdots}}+1},\omega^{\omega^{\omega^{\cdots}+1}},\cdots\}</math>.在这里我们把<math>\omega</math>的指数塔固定在<math>\omega</math>。在这样的基本列中，+1像在指数塔攀爬一样，攀爬法也因此而得名。在基本列的尽头，+1攀爬到了指数塔的顶端，与原来在顶端的1相加变为2。因此我们得到<math>\varepsilon_1=\underbrace{\omega^{\omega^{\cdots^{2}}}}_{\omega+1 \text{ layers}}</math>.进一步的，按照攀爬法我们有<math>\varepsilon_{\omega}=\underbrace{\omega^{\omega^{\cdots^{\omega}}}}_{\omega+1 \text{ layers}}</math>,我们将其记为<math>\omega\uparrow\uparrow(\omega+1)=\varepsilon_{\omega}</math>.

	进一步有：		进一步有：

QuantumJack1：+1法超运算分析

2025-09-16T16:38:50Z

+1法超运算分析

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第122行：		第122行：
	它基于一种特别朴素的想法，即：如果<math>\omega\uparrow^c\alpha=\alpha</math>,则修改其值为<math>\omega\uparrow^c(\alpha+1)</math>.显然，这一改变真正起到效果的是指数上的变化。关于+1法序数超运算，我们有：		它基于一种特别朴素的想法，即：如果<math>\omega\uparrow^c\alpha=\alpha</math>,则修改其值为<math>\omega\uparrow^c(\alpha+1)</math>.显然，这一改变真正起到效果的是指数上的变化。关于+1法序数超运算，我们有：

	<math>\omega\uparrow\uparrow(\omega+1)=\omega^{\varepsilon_0+1}</math>		例如：ω^^(ω+1)如果展开为ω^ω^^ω就会遇到不动点，因此触发上述的+1规则。

			<math>\omega\uparrow\uparrow(\omega+1)=\omega^{\omega\uparrow\uparrow\omega+1}=\omega^{\varepsilon_0+1}</math>

			然后，以此类推：

	<math>\omega\uparrow\uparrow(\omega+2)=\omega^{\omega^{\varepsilon_0+1}}</math>		<math>\omega\uparrow\uparrow(\omega+2)=\omega^{\omega^{\varepsilon_0+1}}</math>

	<math>\omega\uparrow\uparrow(\~~omega\times2~~)=\varepsilon_1</math>		<math>\omega\uparrow\uparrow(\omega2)=\varepsilon_1</math>

	<math>\omega\uparrow\uparrow(\~~omega\times3~~)=\varepsilon_2</math>		<math>\omega\uparrow\uparrow(\omega3)=\varepsilon_2</math>

	<math>\omega\uparrow\uparrow(\omega^2)=\varepsilon_{\omega}</math>		<math>\omega\uparrow\uparrow(\omega^2)=\varepsilon_{\omega}</math>

	<math>\omega\uparrow\uparrow\omega\uparrow\uparrow\omega=\varepsilon_{\varepsilon_0}</math>		<math>\omega\uparrow^33=\omega\uparrow\uparrow\omega\uparrow\uparrow\omega=\varepsilon_{\varepsilon_0}</math>

	<math>\omega\uparrow^3\omega=\zeta_0</math>		<math>\omega\uparrow^3\omega=\zeta_0</math>

	<math>\omega\uparrow^3(\omega+1)=\varepsilon_{\zeta_0+1}</math>		到ζ_0后，+1法的展开方式将会比较复杂，并产生一些奇特的基础序列。继续分析：

			<math>\omega\uparrow^3(\omega+1)=\omega\uparrow\uparrow(\omega\uparrow^3\omega+1)
			=\omega\uparrow(\omega\uparrow\uparrow(\omega\uparrow^3\omega)+1)
			=\omega\uparrow(\omega\uparrow^3\omega+1)
			=\omega^{\zeta_0+1}</math>

			<math>\omega\uparrow\uparrow(\omega\uparrow^3\omega+\omega)=\varepsilon_{\zeta_0+1}</math>

	<math>\omega\uparrow^3(\omega~~\times2~~)=\~~zeta_1~~</math>		<math>\omega\uparrow\uparrow(\omega\uparrow^3\omega*2)=\varepsilon_{\zeta_02}</math>

	<math>\omega\uparrow^3\omega\uparrow^3\omega=\zeta_{\zeta_0}</math>		<math>\omega\uparrow^3(\omega+2)=\omega\uparrow\uparrow(\omega\uparrow^3(\omega+1))=\varepsilon_{\omega^{\zeta_0+1}}</math>

			<math>\omega\uparrow^3(\omega+3)=\varepsilon_{\varepsilon_{\omega^{\zeta_0+1}}}</math>

			<math>\omega\uparrow^3(\omega2)=\zeta_1</math>

			<math>\omega\uparrow^43=\zeta_{\zeta_0}</math>

	<math>\omega\uparrow^4\omega=\eta_0</math>		<math>\omega\uparrow^4\omega=\eta_0</math>

			<math>\omega\uparrow^4(\omega+1)=\omega\uparrow^3(\omega\uparrow^4\omega+1)
			=\omega\uparrow\omega\uparrow\uparrow\omega\uparrow^3(\omega\uparrow^4\omega+1)
			=\omega\uparrow(\omega\uparrow^4\omega+1)
			=\omega^{\eta_0+1}</math>

			<math>\omega\uparrow^4(\omega+2)=\omega\uparrow^3(\omega\uparrow^4(\omega+1))=\zeta_{\omega^{\eta_0+1}}</math>

			<math>\omega\uparrow^4(\omega2)=\eta_1</math>

	<math>\omega\uparrow^5\omega=\varphi(4,0)</math>		<math>\omega\uparrow^5\omega=\varphi(4,0)</math>
第148行：		第174行：
	<math>\omega\uparrow^{\omega}\omega=\varphi(\omega,0)</math>		<math>\omega\uparrow^{\omega}\omega=\varphi(\omega,0)</math>

	于是我们得到其极限为<math>\varphi(\omega,0)</math>。它的优点是它和<math>\varphi</math>函数行为完全一致。但缺点也是这个。这导致了<math>\omega\uparrow\uparrow(\omega+1)=(\omega\uparrow\uparrow\omega)\times\omega</math>这种奇异的结果，某种意义上丢失了超运算自己的特性。因此可以说，+1法序数超运算被<math>\varphi</math>函数上位替代了。		于是我们得到其极限为<math>\varphi(\omega,0)</math>。它的优点是它和<math>\varphi</math>函数行为完全一致。但缺点也是这个。这导致了<math>\omega\uparrow\uparrow(\omega+1)=(\omega\uparrow\uparrow\omega)\times\omega</math>这种奇异的结果，某种意义上丢失了超运算自己的特性。因此可以说，+1法序数超运算被<math>\varphi</math>函数上位替代了。+1法序数超运算还可以继续拓展，在某些版本中，其增长率与类似的Veblen 函数及Feferman序数折叠函数类似，例如：

			<math>\omega\{\omega\}(\omega2)=\varphi(\omega,1)</math>

			<math>\omega\{\omega+1\}\omega=\varphi(\omega+1,0)</math>

			<math>\omega\{\omega\uparrow\uparrow\omega\}\omega=\varphi(\varepsilon_0,0)</math>

			<math>\omega\{\Omega\}3=\omega\{\omega\{\omega\}\omega\}\omega=\varphi(\varphi(\omega,0),0)</math>

			<math>\omega\{\Omega\}\omega=\Gamma_0</math>

			<math>\omega\{\Omega+1\}\omega=\varphi(1,1,0)</math>

			<math>\omega\{\Omega2\}\omega=\varphi(2,0,0)</math>

			<math>\omega\{\Omega^2\}\omega=\varphi(1,0,0,0)</math>

			<math>\omega\{\Omega^\omega\}\omega=\psi(\Omega^{\Omega^\omega})</math>

			<math>\omega\{\Omega^\Omega\}\omega=\psi(\Omega^{\Omega^\Omega})</math>

			<math>\omega\{\Omega\uparrow\uparrow\omega\}\omega=\psi(\Omega_2)</math>

			但如此的拓展达到同样序数的难度要明显大于一般的[[序数坍缩函数]]。有些版本引入了更为强大的结构，但已经失去了超运算的特性，其强度主要为引入的更高级序数结构，建议使用以更高级核心的序数记号替代之。

	== 总结 ==		== 总结 ==

2025年8月30日 (六) 14:51 Tabelog

2025-08-30T14:51:52Z

←上一版本		2025年8月30日 (六) 22:51的版本
第1行：		第1行：
	序数超运算是对序数使用[[超运算序列\|超运算]]的尝试。它虽然是最直观、新人最容易想到的模式，但已经被长期的[[~~Googology\|~~googology]]实践所证明是低效、难以扩展的。		序数超运算是对序数使用[[超运算序列\|超运算]]的尝试。它虽然是最直观、新人最容易想到的模式，但已经被长期的[[googology]]实践所证明是低效、难以扩展的。

	== 原定义 ==		== 原定义 ==

Tabelog：文字替换 -“Veblen函数”替换为“Veblen 函数”

2025-08-25T05:33:09Z

文字替换 -“Veblen函数”替换为“Veblen 函数”

←上一版本		2025年8月25日 (一) 13:33的版本
第151行：		第151行：

	== 总结 ==		== 总结 ==
	到目前为止，序数超运算不是不良定义，就是不理想的。我们不建议在任何地方使用高于<math>\varepsilon_0</math>的序数超运算和更高级别的运算。如果要使用，必须仅仅将它作为形式上的符号，并且明确地说明其具体含义。事实上，我们完全可以使用[[~~Veblen函数~~]]这样的更加强大且清晰的[[序数记号]]来替代它。		到目前为止，序数超运算不是不良定义，就是不理想的。我们不建议在任何地方使用高于<math>\varepsilon_0</math>的序数超运算和更高级别的运算。如果要使用，必须仅仅将它作为形式上的符号，并且明确地说明其具体含义。事实上，我们完全可以使用[[Veblen 函数]]这样的更加强大且清晰的[[序数记号]]来替代它。
	[[分类:记号]]		[[分类:记号]]
	[[分类:入门]]		[[分类:入门]]

Tabelog：文字替换 -“veblen函数”替换为“Veblen函数”

2025-08-17T02:25:46Z

文字替换 -“veblen函数”替换为“Veblen函数”

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第151行：		第151行：

	== 总结 ==		== 总结 ==
	到目前为止，序数超运算不是不良定义，就是不理想的。我们不建议在任何地方使用高于<math>\varepsilon_0</math>的序数超运算和更高级别的运算。如果要使用，必须仅仅将它作为形式上的符号，并且明确地说明其具体含义。事实上，我们完全可以使用[[~~veblen函数~~]]这样的更加强大且清晰的[[序数记号]]来替代它。		到目前为止，序数超运算不是不良定义，就是不理想的。我们不建议在任何地方使用高于<math>\varepsilon_0</math>的序数超运算和更高级别的运算。如果要使用，必须仅仅将它作为形式上的符号，并且明确地说明其具体含义。事实上，我们完全可以使用[[Veblen函数]]这样的更加强大且清晰的[[序数记号]]来替代它。
	[[分类:记号]]		[[分类:记号]]
	[[分类:入门]]		[[分类:入门]]

序数超运算 - 版本历史

量子杰克：​分类

量子杰克：​+ω法序数超运算分析

2026年2月21日 (六) 09:43 0100000000a7

2026年2月21日 (六) 09:42 0100000000a7

Phyrion：​/* 攀爬法 */

0100000000a7：​修复部分公式排版

QuantumJack1：​+1法超运算分析