序数坍缩函数 - 版本历史

环三氧杂四氢：修复笔误

2026-02-26T00:30:33Z

修复笔误

←上一版本		2026年2月26日 (四) 08:30的版本
第286行：		第286行：

	# 如果 <math>\alpha_1\geqslant\alpha_2\geqslant\cdots\geqslant\alpha_n</math>，且各 <math>\alpha_i</math> 均为标准形式，则 <math>\alpha=\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n</math> 也是标准形式。		# 如果 <math>\alpha_1\geqslant\alpha_2\geqslant\cdots\geqslant\alpha_n</math>，且各 <math>\alpha_i</math> 均为标准形式，则 <math>\alpha=\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n</math> 也是标准形式。
	# 如果 <math>\mu</math>，则 <math>\Omega_\mu</math> 为标准形式。		# 如果 <math>\mu</math>为标准形式，则 <math>\Omega_\mu</math> 为标准形式。
	# 如果 <math>\alpha\in C_\mu(\alpha)</math>，则 <math>\psi_\mu(\alpha)</math> 为标准形式。		# 如果 <math>\alpha\in C_\mu(\alpha)</math>，则 <math>\psi_\mu(\alpha)</math> 为标准形式。

星汐镜Littlekk：字母修改

2026-02-23T06:26:11Z

字母修改

←上一版本		2026年2月23日 (一) 14:26的版本
第52行：		第52行：

	# <math>\psi(m+1)=\psi(m)\times\omega</math>，m 是任意序数		# <math>\psi(m+1)=\psi(m)\times\omega</math>，m 是任意序数
	# <math>\psi(\~~lambda~~)=\sup\{\psi(\kappa)\|\kappa<\~~lambda~~\}</math>，α 是任意非 0 极限序数		# <math>\psi(\alpha)=\sup\{\psi(\kappa)\|\kappa<\alpha\}</math>，α 是任意非 0 极限序数

	根据这个性质，我们可以轻松的得到：		根据这个性质，我们可以轻松的得到：

Tabelog：文字替换 -“BMS”替换为“BMS”

2025-08-30T13:54:18Z

文字替换 -“BMS”替换为“BMS”

←上一版本		2025年8月30日 (六) 21:54的版本
第93行：		第93行：
	BOCF 的 <math>\psi(\Omega_{\omega})=\sup\{\psi(\Omega),\psi(\Omega_2),\psi(\Omega_3),\cdots\}</math>，这一序数有一个名字是 [[BO]]（Buchholz's Ordinal ），在 [[googology]] 中是一个非常重要的序数。		BOCF 的 <math>\psi(\Omega_{\omega})=\sup\{\psi(\Omega),\psi(\Omega_2),\psi(\Omega_3),\cdots\}</math>，这一序数有一个名字是 [[BO]]（Buchholz's Ordinal ），在 [[googology]] 中是一个非常重要的序数。

	''tips：OCF中的 <math>\Omega</math> 不一定非得是[[序数#非递归序数\|非递归序数]]，它只需要大于'''所有你研究的序数'''就可以了，比方说你想要研究 [[~~Bashicu矩阵\|~~BMS]]，那么理论上你只需要保证它大于 BMS 极限就可以了。但是我们的研究是永无止境的，因此普遍使用非递归序数这一大于所有递归序数的东西来充当 <math>\Omega</math>。''		''tips：OCF中的 <math>\Omega</math> 不一定非得是[[序数#非递归序数\|非递归序数]]，它只需要大于'''所有你研究的序数'''就可以了，比方说你想要研究 [[BMS]]，那么理论上你只需要保证它大于 BMS 极限就可以了。但是我们的研究是永无止境的，因此普遍使用非递归序数这一大于所有递归序数的东西来充当 <math>\Omega</math>。''

	==== 直观理解与操作规则 ====		==== 直观理解与操作规则 ====

2025年8月25日 (一) 05:37 Tabelog

2025-08-25T05:37:45Z

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第64行：		第64行：
	* ……		* ……

	到这里和[[康托范式]]，[[~~Veblen函数\|~~Veblen 函数]]的 <math>\varphi(x)</math> 都是一致的。然而，在 <math>\varepsilon_0</math> 开始，OCF 将与它们分道扬镳。		到这里和[[康托范式]]，[[Veblen 函数]]的 <math>\varphi(x)</math> 都是一致的。然而，在 <math>\varepsilon_0</math> 开始，OCF 将与它们分道扬镳。

	==== <math>\varepsilon_0</math> 与平台期 ====		==== <math>\varepsilon_0</math> 与平台期 ====
第75行：		第75行：
	直到 <math>\psi(\Omega+1)</math> 才迎来了转机。因为 <math>\Omega</math> 也在 <math>C_0(x)</math> 里面，因此 <math>\psi(\Omega)</math> 终于可以被放进 <math>C_1(\Omega+1)</math> 里面了。结果是 <math>\psi(\Omega+1)=\psi(\Omega)\times\omega</math>。后面再一次向上增长，直到 <math>\alpha\rightarrow\psi(\Omega+\alpha)</math> 的不动点。从这里到 <math>\psi(\Omega+\Omega)</math> 又是一段平台期。直到 <math>\psi(\Omega+\Omega+1)</math> 再次恢复增长。		直到 <math>\psi(\Omega+1)</math> 才迎来了转机。因为 <math>\Omega</math> 也在 <math>C_0(x)</math> 里面，因此 <math>\psi(\Omega)</math> 终于可以被放进 <math>C_1(\Omega+1)</math> 里面了。结果是 <math>\psi(\Omega+1)=\psi(\Omega)\times\omega</math>。后面再一次向上增长，直到 <math>\alpha\rightarrow\psi(\Omega+\alpha)</math> 的不动点。从这里到 <math>\psi(\Omega+\Omega)</math> 又是一段平台期。直到 <math>\psi(\Omega+\Omega+1)</math> 再次恢复增长。

	这样的定义可以一直运行到 <math>\psi(\Omega\times\omega)</math>，再往后走不下去了。可是它相比其他[[序数记号]]，如 [[~~Veblen函数\|~~Veblen 函数]]依然是孱弱的。为了继续前进，我们需要引入更多的非递归序数。		这样的定义可以一直运行到 <math>\psi(\Omega\times\omega)</math>，再往后走不下去了。可是它相比其他[[序数记号]]，如 [[Veblen 函数]]依然是孱弱的。为了继续前进，我们需要引入更多的非递归序数。

	==== 更多的非递归序数 ====		==== 更多的非递归序数 ====

2025年8月17日 (日) 02:30 Tabelog

2025-08-17T02:30:16Z

←上一版本		2025年8月17日 (日) 10:30的版本
第160行：		第160行：

	==== 枚举 ====		==== 枚举 ====
	''主条目：[[BOCF VS ~~Veblen函数~~\|BOCF VS Veblen 函数]]''		''主条目：[[BOCF VS veblen函数\|BOCF VS Veblen 函数]]''

	=== MOCF 简介 ===		=== MOCF 简介 ===

Tabelog：文字替换 -“veblen函数”替换为“Veblen函数”

2025-08-17T02:26:05Z

文字替换 -“veblen函数”替换为“Veblen函数”

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第64行：		第64行：
	* ……		* ……

	到这里和[[康托范式]]，[[~~veblen函数~~\|Veblen 函数]]的 <math>\varphi(x)</math> 都是一致的。然而，在 <math>\varepsilon_0</math> 开始，OCF 将与它们分道扬镳。		到这里和[[康托范式]]，[[Veblen函数\|Veblen 函数]]的 <math>\varphi(x)</math> 都是一致的。然而，在 <math>\varepsilon_0</math> 开始，OCF 将与它们分道扬镳。

	==== <math>\varepsilon_0</math> 与平台期 ====		==== <math>\varepsilon_0</math> 与平台期 ====
第160行：		第160行：

	==== 枚举 ====		==== 枚举 ====
	''主条目：[[BOCF VS ~~veblen函数~~\|BOCF VS Veblen 函数]]''		''主条目：[[BOCF VS Veblen函数\|BOCF VS Veblen 函数]]''

	=== MOCF 简介 ===		=== MOCF 简介 ===

2025年7月29日 (二) 11:30 Tabelog

2025-07-29T11:30:22Z

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第108行：		第108行：
	于是，<math>\Omega</math> 再次登场，它让 <math>\psi(\Omega+\psi(\Omega+\psi(\Omega+\cdots)))=\psi(\Omega+\Omega)=\psi(\Omega\times2)</math>。我们又可以按先前的思路，首先得到 <math>\psi(\Omega\times2+1)=\psi(\Omega\times2)\times\omega</math>，然后重走一遍 1 到 <math>\psi(\Omega\times2)</math> 的路，就得到 <math>\psi(\Omega\times2+\psi(\Omega\times2))</math>；再重走一遍 <math>\psi(\Omega\times2)</math> 到 <math>\psi(\Omega\times2+\psi(\Omega\times2))</math> 的路，就得到 <math>\psi(\Omega\times2+\psi(\Omega\times2+\psi(\Omega\times2)))</math>，再以此类推，得到 <math>\psi(\Omega\times2+\psi(\Omega\times2+\psi(\Omega\times2+\cdots)))</math> 后再把它变成 <math>\psi(\Omega\times3)</math>，然后再……		于是，<math>\Omega</math> 再次登场，它让 <math>\psi(\Omega+\psi(\Omega+\psi(\Omega+\cdots)))=\psi(\Omega+\Omega)=\psi(\Omega\times2)</math>。我们又可以按先前的思路，首先得到 <math>\psi(\Omega\times2+1)=\psi(\Omega\times2)\times\omega</math>，然后重走一遍 1 到 <math>\psi(\Omega\times2)</math> 的路，就得到 <math>\psi(\Omega\times2+\psi(\Omega\times2))</math>；再重走一遍 <math>\psi(\Omega\times2)</math> 到 <math>\psi(\Omega\times2+\psi(\Omega\times2))</math> 的路，就得到 <math>\psi(\Omega\times2+\psi(\Omega\times2+\psi(\Omega\times2)))</math>，再以此类推，得到 <math>\psi(\Omega\times2+\psi(\Omega\times2+\psi(\Omega\times2+\cdots)))</math> 后再把它变成 <math>\psi(\Omega\times3)</math>，然后再……

	说到这里，读者应该对 <math>\Omega</math> 有一定的认识了。它的“能力”是让'''包着它的一层'''<math>\psi</math> 函数连同内部的其他内容一起嵌套 n 层。如 <math>\psi(\Omega\times3)=\psi(\Omega\times2+\Omega)=\psi(\Omega\times2+\psi(\Omega\times2+\psi(\Omega\times2+\cdots)))</math>。细心的读者可能注意到，这其实是[[不动点]]的体现。没错，OCF 中的 <math>\Omega</math> 可以说是不动点的“化身”，只要它出现，就一定是代表了一个不动点。事实上，前文只展示了加法。<math>\Omega</math> 对于乘法和乘方所做的事情和加法是如出一辙的，以下是例子：		说到这里，读者应该对 <math>\Omega</math> 有一定的认识了。它的“能力”是让'''包着它的一层''' <math>\psi</math> 函数连同内部的其他内容一起嵌套 n 层。如 <math>\psi(\Omega\times3)=\psi(\Omega\times2+\Omega)=\psi(\Omega\times2+\psi(\Omega\times2+\psi(\Omega\times2+\cdots)))</math>。细心的读者可能注意到，这其实是[[不动点]]的体现。没错，OCF 中的 <math>\Omega</math> 可以说是不动点的“化身”，只要它出现，就一定是代表了一个不动点。事实上，前文只展示了加法。<math>\Omega</math> 对于乘法和乘方所做的事情和加法是如出一辙的，以下是例子：

	得到 <math>\psi(\Omega\times\omega)</math>，理解加一个 <math>\Omega</math> 起到什么作用之后，只需要重走一遍 <math>\omega</math> 到 <math>\psi(\Omega)</math> 的路，就能得到 <math>\psi(\Omega\times\psi(\Omega))</math>，然后再重走一遍 <math>\psi(\Omega)</math> 到 <math>\psi(\Omega\times\psi(\Omega))</math> 的路，就能得到 <math>\psi(\Omega\times\psi(\Omega\times\psi(\Omega)))</math>……最后得到 <math>\psi(\Omega^2)=\psi(\Omega\times\Omega)=\psi(\Omega\times\psi(\Omega\times\psi(\Omega\times\cdots)))</math>。		得到 <math>\psi(\Omega\times\omega)</math>，理解加一个 <math>\Omega</math> 起到什么作用之后，只需要重走一遍 <math>\omega</math> 到 <math>\psi(\Omega)</math> 的路，就能得到 <math>\psi(\Omega\times\psi(\Omega))</math>，然后再重走一遍 <math>\psi(\Omega)</math> 到 <math>\psi(\Omega\times\psi(\Omega))</math> 的路，就能得到 <math>\psi(\Omega\times\psi(\Omega\times\psi(\Omega)))</math>……最后得到 <math>\psi(\Omega^2)=\psi(\Omega\times\Omega)=\psi(\Omega\times\psi(\Omega\times\psi(\Omega\times\cdots)))</math>。
第160行：		第160行：

	==== 枚举 ====		==== 枚举 ====
	~~参见词条~~ [[BOCF VS veblen函数\|BOCF VS Veblen 函数]]。		''主条目：[[BOCF VS veblen函数\|BOCF VS Veblen 函数]]''

	=== MOCF 简介 ===		=== MOCF 简介 ===
第184行：		第184行：

	==== 枚举 ====		==== 枚举 ====
	~~参见词条~~ [[BOCF VS MOCF]]。		''主条目：[[BOCF VS MOCF]]''

	=== BO 之后 ===		=== BO 之后 ===
第203行：		第203行：
	那么在这里，我们实际上可以说，OCF 本身是一个和[[增长层级]]类似的“壳子”，它们接受对应的非递归序数，然后输出大的递归序数。那么，为什么 OCF 没有像增长层级（如 FGH）一样占据 googology 的所有空间呢？有两方面原因。		那么在这里，我们实际上可以说，OCF 本身是一个和[[增长层级]]类似的“壳子”，它们接受对应的非递归序数，然后输出大的递归序数。那么，为什么 OCF 没有像增长层级（如 FGH）一样占据 googology 的所有空间呢？有两方面原因。

	第一方面，OCF 没有像增长层级一样具有非常明确的转化规则。googology 社区有一个“俗话”——1000 个人有 1001 种 [[~~递归马洛序数~~\|Mahlo]] ~~OCF。这种共识的缺乏是致命的。~~		第一方面，OCF 没有像增长层级一样具有非常明确的转化规则。googology 社区有一个“俗话”——1000 个人有 1001 种 [[递归 Mahlo 序数#Mahlo OCF\|Mahlo OCF]]。这种共识的缺乏是致命的。

	第二方面，对于目前的 googology 爱好者来说，构造非递归序数的难度和构造其他类型序数记号，如 [[Beklemishev's Worm\|Worm]] 型记号，相比，在难度上拉不开差距。不像 FGH 加序数记号对传统数阵记号的“降维打击”。而且，googology 爱好者普遍没有很强的数理逻辑或序数分析基础，难以理解和运用学界所构造的大可数序数。		第二方面，对于目前的 googology 爱好者来说，构造非递归序数的难度和构造其他类型序数记号，如 [[Beklemishev's Worm\|Worm]] 型记号，相比，在难度上拉不开差距。不像 FGH 加序数记号对传统数阵记号的“降维打击”。而且，googology 爱好者普遍没有很强的数理逻辑或序数分析基础，难以理解和运用学界所构造的大可数序数。
第307行：		第307行：

	=== NOCF ===		=== NOCF ===
	''~~主页面：~~[[NOCF]]''		''主条目：[[NOCF]]''

	由于 NOCF 没有完整的定义，这里给出它的理念：		由于 NOCF 没有完整的定义，这里给出它的理念：

2025年7月29日 (二) 11:14 Tabelog

2025-07-29T11:14:47Z

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第14行：		第14行：
	# <math>\psi(x)=\min\{\alpha<\Omega\|\alpha\not\in C(x)\}</math>		# <math>\psi(x)=\min\{\alpha<\Omega\|\alpha\not\in C(x)\}</math>

	其中的 <math>\Omega</math> 要求是一个足够大的序数。以往的资料一般使用第一个[[序数#可数序数与不可数序数\|不可数序数]] <math>\omega_1</math> ~~来作为它。但我们发现，第一个非递归序数~~ <math>\omega_1^{CK}</math> ~~已经可以满足我们的需求。因此，目前提到~~ <math>\Omega</math>，默认指的是 <math>\omega_1^{CK}</math>。		其中的 <math>\Omega</math> 要求是一个足够大的序数。以往的资料一般使用第一个[[序数#可数序数与不可数序数\|不可数序数]] <math>\omega_1</math>（[[FUO]]）来作为它。但我们发现，第一个非递归序数 <math>\omega_1^{CK}</math>（[[CKO]]）已经可以满足我们的需求。因此，目前提到 <math>\Omega</math>，默认指的是 <math>\omega_1^{CK}</math>。

	这四条规则很是抽象，让我们一条一条来看。		这四条规则很是抽象，让我们一条一条来看。
第75行：		第75行：
	直到 <math>\psi(\Omega+1)</math> 才迎来了转机。因为 <math>\Omega</math> 也在 <math>C_0(x)</math> 里面，因此 <math>\psi(\Omega)</math> 终于可以被放进 <math>C_1(\Omega+1)</math> 里面了。结果是 <math>\psi(\Omega+1)=\psi(\Omega)\times\omega</math>。后面再一次向上增长，直到 <math>\alpha\rightarrow\psi(\Omega+\alpha)</math> 的不动点。从这里到 <math>\psi(\Omega+\Omega)</math> 又是一段平台期。直到 <math>\psi(\Omega+\Omega+1)</math> 再次恢复增长。		直到 <math>\psi(\Omega+1)</math> 才迎来了转机。因为 <math>\Omega</math> 也在 <math>C_0(x)</math> 里面，因此 <math>\psi(\Omega)</math> 终于可以被放进 <math>C_1(\Omega+1)</math> 里面了。结果是 <math>\psi(\Omega+1)=\psi(\Omega)\times\omega</math>。后面再一次向上增长，直到 <math>\alpha\rightarrow\psi(\Omega+\alpha)</math> 的不动点。从这里到 <math>\psi(\Omega+\Omega)</math> 又是一段平台期。直到 <math>\psi(\Omega+\Omega+1)</math> 再次恢复增长。

	这样的定义可以一直运行到 <math>\psi(\Omega\times\omega)</math>，再往后走不下去了。可是它相比其他[[序数记号]]，如 [[Veblen函数]]依然是孱弱的。为了继续前进，我们需要引入更多的非递归序数。		这样的定义可以一直运行到 <math>\psi(\Omega\times\omega)</math>，再往后走不下去了。可是它相比其他[[序数记号]]，如 [[Veblen函数\|Veblen 函数]]依然是孱弱的。为了继续前进，我们需要引入更多的非递归序数。

	==== 更多的非递归序数 ====		==== 更多的非递归序数 ====
第91行：		第91行：
	但有一点需要注意，对于 <math>\psi</math> 函数来说，<math>\psi(\psi_1(\Omega_2))</math> 并没有打破从 <math>\psi(\psi_1(1,0))</math> 开始的平台期，这个平台期继续向前，直到 <math>\psi(\Omega_2)</math> 才结束。这一现象称为'''藏层'''。		但有一点需要注意，对于 <math>\psi</math> 函数来说，<math>\psi(\psi_1(\Omega_2))</math> 并没有打破从 <math>\psi(\psi_1(1,0))</math> 开始的平台期，这个平台期继续向前，直到 <math>\psi(\Omega_2)</math> 才结束。这一现象称为'''藏层'''。

	BOCF 的 <math>\psi(\Omega_{\omega})=\sup\{\psi(\Omega),\psi(\Omega_2),\psi(\Omega_3),\cdots\}</math>，这一序数有一个名字是[[BO]]（Buchholz's Ordinal ~~）,在~~[[googology]]中是一个非常重要的序数。		BOCF 的 <math>\psi(\Omega_{\omega})=\sup\{\psi(\Omega),\psi(\Omega_2),\psi(\Omega_3),\cdots\}</math>，这一序数有一个名字是 [[BO]]（Buchholz's Ordinal ），在 [[googology]] 中是一个非常重要的序数。

	''tips：OCF中的 <math>\Omega</math> 不一定非得是[[序数#非递归序数\|非递归序数]]，它只需要大于'''所有你研究的序数'''就可以了，比方说你想要研究 [[Bashicu矩阵\|BMS]]，那么理论上你只需要保证它大于 BMS 极限就可以了。但是我们的研究是永无止境的，因此普遍使用非递归序数这一大于所有递归序数的东西来充当 <math>\Omega</math>。''		''tips：OCF中的 <math>\Omega</math> 不一定非得是[[序数#非递归序数\|非递归序数]]，它只需要大于'''所有你研究的序数'''就可以了，比方说你想要研究 [[Bashicu矩阵\|BMS]]，那么理论上你只需要保证它大于 BMS 极限就可以了。但是我们的研究是永无止境的，因此普遍使用非递归序数这一大于所有递归序数的东西来充当 <math>\Omega</math>。''

2025年7月28日 (一) 10:34 Tabelog

2025-07-28T10:34:42Z

←上一版本		2025年7月28日 (一) 18:34的版本
第162行：		第162行：
	参见词条 [[BOCF VS veblen函数\|BOCF VS Veblen 函数]]。		参见词条 [[BOCF VS veblen函数\|BOCF VS Veblen 函数]]。

	=== MOCF ===		=== MOCF 简介 ===
	下面是 MOCF 的数学定义：		下面是 MOCF 的数学定义：

第186行：		第186行：
	参见词条 [[BOCF VS MOCF]]。		参见词条 [[BOCF VS MOCF]]。

	=== ~~BO之后~~ ===		=== BO 之后 ===
	<math>\psi(\Omega_{\omega})</math> 之后，googologist 们实际上已经不再关注其数学定义，因此这里只介绍操作规则。		<math>\psi(\Omega_{\omega})</math> 之后，googologist 们实际上已经不再关注其数学定义，因此这里只介绍操作规则。

第305行：		第305行：
	# <math>C_\nu(\alpha)=\bigcup_{m\in\mathbb{N}}C_\nu^m(\alpha)</math>		# <math>C_\nu(\alpha)=\bigcup_{m\in\mathbb{N}}C_\nu^m(\alpha)</math>
	# <math>\psi_\nu(\alpha)=\min\{\beta\|\beta\notin C_\nu(\alpha)\}</math>		# <math>\psi_\nu(\alpha)=\min\{\beta\|\beta\notin C_\nu(\alpha)\}</math>

			=== NOCF ===
			''主页面：[[NOCF]]''

			由于 NOCF 没有完整的定义，这里给出它的理念：

			<math>\psi_\alpha(0)=\Omega_\alpha\quad(\Omega_0=1)</math>，<math>\psi_\alpha(\sharp+1)=\psi_\alpha(\sharp)+1</math>；在 OCF 内遇到 <math>\Omega_\alpha</math> 的处理方式与 MOCF 一致。

	[[分类:记号]]		[[分类:记号]]
	[[分类:入门]]		[[分类:入门]]

2025年7月28日 (一) 10:13 Zhy137036

2025-07-28T10:13:13Z

←上一版本		2025年7月28日 (一) 18:13的版本
第12行：		第12行：
	# <math>C_{n+1}(x)=C_n(x)\cup\{\alpha+\beta,\psi(\gamma)\|\alpha,\beta,\gamma\in C_n(x),\gamma <x\}</math>		# <math>C_{n+1}(x)=C_n(x)\cup\{\alpha+\beta,\psi(\gamma)\|\alpha,\beta,\gamma\in C_n(x),\gamma <x\}</math>
	# <math>C(x)=\bigcup_{n<\omega}C_n(x)</math>		# <math>C(x)=\bigcup_{n<\omega}C_n(x)</math>
	# <math>\psi(x)=min\{\alpha<\Omega\|\alpha\not\in C(x)\}</math>		# <math>\psi(x)=\min\{\alpha<\Omega\|\alpha\not\in C(x)\}</math>

	其中的 <math>\Omega</math> 要求是一个足够大的序数。以往的资料一般使用第一个[[序数#可数序数与不可数序数\|不可数序数]] <math>\omega_1</math> 来作为它。但我们发现，第一个非递归序数 <math>\omega_1^{CK}</math> 已经可以满足我们的需求。因此，目前提到 <math>\Omega</math>，默认指的是 <math>\omega_1^{CK}</math>。		其中的 <math>\Omega</math> 要求是一个足够大的序数。以往的资料一般使用第一个[[序数#可数序数与不可数序数\|不可数序数]] <math>\omega_1</math> 来作为它。但我们发现，第一个非递归序数 <math>\omega_1^{CK}</math> 已经可以满足我们的需求。因此，目前提到 <math>\Omega</math>，默认指的是 <math>\omega_1^{CK}</math>。
第52行：		第52行：

	# <math>\psi(m+1)=\psi(m)\times\omega</math>，m 是任意序数		# <math>\psi(m+1)=\psi(m)\times\omega</math>，m 是任意序数
	# <math>\psi(\lambda)=sup\{\psi(\kappa)\|\kappa<\lambda\}</math>，α 是任意非 0 极限序数		# <math>\psi(\lambda)=\sup\{\psi(\kappa)\|\kappa<\lambda\}</math>，α 是任意非 0 极限序数

	根据这个性质，我们可以轻松的得到：		根据这个性质，我们可以轻松的得到：
第83行：		第83行：
	# <math>C_{n+1}^v(x)=\{\alpha+\beta,\psi_{\delta}(\gamma)\|\alpha,\beta,\gamma\in C_n^v(x),\gamma<x,\delta<\omega\}</math>		# <math>C_{n+1}^v(x)=\{\alpha+\beta,\psi_{\delta}(\gamma)\|\alpha,\beta,\gamma\in C_n^v(x),\gamma<x,\delta<\omega\}</math>
	# <math>C^v(x)=\bigcup_{n<\omega}C_n^v(x)</math>		# <math>C^v(x)=\bigcup_{n<\omega}C_n^v(x)</math>
	# <math>\psi_v(x)=min\{\alpha<\Omega_{v+1}\|\alpha\notin C^v(x)\}</math>		# <math>\psi_v(x)=\min\{\alpha<\Omega_{v+1}\|\alpha\notin C^v(x)\}</math>

	<math>\psi</math> 函数即 <math>\psi_0</math> 函数。		<math>\psi</math> 函数即 <math>\psi_0</math> 函数。
第91行：		第91行：
	但有一点需要注意，对于 <math>\psi</math> 函数来说，<math>\psi(\psi_1(\Omega_2))</math> 并没有打破从 <math>\psi(\psi_1(1,0))</math> 开始的平台期，这个平台期继续向前，直到 <math>\psi(\Omega_2)</math> 才结束。这一现象称为'''藏层'''。		但有一点需要注意，对于 <math>\psi</math> 函数来说，<math>\psi(\psi_1(\Omega_2))</math> 并没有打破从 <math>\psi(\psi_1(1,0))</math> 开始的平台期，这个平台期继续向前，直到 <math>\psi(\Omega_2)</math> 才结束。这一现象称为'''藏层'''。

	BOCF 的 <math>\psi(\Omega_{\omega})=sup\{\psi(\Omega),\psi(\Omega_2),\psi(\Omega_3,\cdots\}</math>，这一序数有一个名字是[[BO]]（Buchholz's Ordinal ）,在[[googology]]中是一个非常重要的序数。		BOCF 的 <math>\psi(\Omega_{\omega})=\sup\{\psi(\Omega),\psi(\Omega_2),\psi(\Omega_3),\cdots\}</math>，这一序数有一个名字是[[BO]]（Buchholz's Ordinal ）,在[[googology]]中是一个非常重要的序数。

	''tips：OCF中的 <math>\Omega</math> 不一定非得是[[序数#非递归序数\|非递归序数]]，它只需要大于'''所有你研究的序数'''就可以了，比方说你想要研究 [[Bashicu矩阵\|BMS]]，那么理论上你只需要保证它大于 BMS 极限就可以了。但是我们的研究是永无止境的，因此普遍使用非递归序数这一大于所有递归序数的东西来充当 <math>\Omega</math>。''		''tips：OCF中的 <math>\Omega</math> 不一定非得是[[序数#非递归序数\|非递归序数]]，它只需要大于'''所有你研究的序数'''就可以了，比方说你想要研究 [[Bashicu矩阵\|BMS]]，那么理论上你只需要保证它大于 BMS 极限就可以了。但是我们的研究是永无止境的，因此普遍使用非递归序数这一大于所有递归序数的东西来充当 <math>\Omega</math>。''
第168行：		第168行：
	# <math>C_{n+1}(x)=\{\alpha+\beta,\alpha\times\beta,\alpha^\beta,\psi(\gamma)\|\alpha,\beta,\gamma\in C_n(x)\|\gamma<x\}</math>		# <math>C_{n+1}(x)=\{\alpha+\beta,\alpha\times\beta,\alpha^\beta,\psi(\gamma)\|\alpha,\beta,\gamma\in C_n(x)\|\gamma<x\}</math>
	# <math>C(x)=\bigcup_{n<\omega}C_n(x)</math>		# <math>C(x)=\bigcup_{n<\omega}C_n(x)</math>
	# <math>\psi(x)=min\{\alpha<\Omega\|\alpha\notin C(x)\}</math>		# <math>\psi(x)=\min\{\alpha<\Omega\|\alpha\notin C(x)\}</math>

	可以发现，MOCF 和 BOCF 不同的点在于它把加法、乘法和乘方都放进了 <math>C(x)</math> 中，而 BOCF 只有加法。因此，MOCF 的 <math>\psi(0)=\varepsilon_0</math>，并且有 <math>\psi(X+1)=\psi(X)^{\psi(X)^{\psi(X)^{\cdots}}}</math>。在出现 <math>\Omega</math> 的地方，两种 OCF 是一样的，如平台期等概念，二者也是一样的。		可以发现，MOCF 和 BOCF 不同的点在于它把加法、乘法和乘方都放进了 <math>C(x)</math> 中，而 BOCF 只有加法。因此，MOCF 的 <math>\psi(0)=\varepsilon_0</math>，并且有 <math>\psi(X+1)=\psi(X)^{\psi(X)^{\psi(X)^{\cdots}}}</math>。在出现 <math>\Omega</math> 的地方，两种 OCF 是一样的，如平台期等概念，二者也是一样的。
第177行：		第177行：
	# <math>C_{n+1}^v(x)=\{\alpha+\beta,\alpha\times\beta,\alpha^\beta,\psi_{\delta}(\gamma)\|\alpha,\beta,\gamma\in C_n^v(x),\gamma<x,\delta<\omega\}</math>		# <math>C_{n+1}^v(x)=\{\alpha+\beta,\alpha\times\beta,\alpha^\beta,\psi_{\delta}(\gamma)\|\alpha,\beta,\gamma\in C_n^v(x),\gamma<x,\delta<\omega\}</math>
	# <math>C^v(x)=\bigcup_{n<\omega}C_n^v(x)</math>		# <math>C^v(x)=\bigcup_{n<\omega}C_n^v(x)</math>
	# <math>\psi_v(x)=min\{\alpha<\Omega_{v+1}\|\alpha\notin C^v(x)\}</math>		# <math>\psi_v(x)=\min\{\alpha<\Omega_{v+1}\|\alpha\notin C^v(x)\}</math>

	可以看到和 BOCF 的定义大差不差，唯一的区别是乘法和乘方的引入。因而操作规则无太大差异，除了 <math>\psi_v(X+1)=\psi_v(X)^{\psi_v(X)^{\psi_v(X)^{\cdots}}}</math>。此处不再赘述。		可以看到和 BOCF 的定义大差不差，唯一的区别是乘法和乘方的引入。因而操作规则无太大差异，除了 <math>\psi_v(X+1)=\psi_v(X)^{\psi_v(X)^{\psi_v(X)^{\cdots}}}</math>。此处不再赘述。