序数 - 版本历史

Phyrion：/* 可数序数与不可数序数 */

2026-03-02T12:47:51Z

可数序数与不可数序数

←上一版本		2026年3月2日 (一) 20:47的版本
第91行：		第91行：

	不是可数序数的序数是不可数序数，如 <math>\omega_1</math>。		不是可数序数的序数是不可数序数，如 <math>\omega_1</math>。

			除0以外，所有可数极限序数都有ω长的基本列。

			不可数极限序数也可以有ω长的基本列，例如<math>\omega_1+\omega^2</math>，<math>\omega_1+\varepsilon_0</math>。它们的'''共尾度'''是ω。

	=== 序数的运算 ===		=== 序数的运算 ===

2026年2月24日 (二) 12:06 Tabelog

2026-02-24T12:06:26Z

@@ 第154行： / 第154行： @@
 <math>\varepsilon_0\times\omega=\omega^{\varepsilon_0}\times\omega=\omega^{\varepsilon_0+1}</math>
 [[分类:入门]]
 [[分类:集合论相关]]
 [[分类:重要概念]]

2026年2月22日 (日) 14:30 Tabelog

2026-02-22T14:30:23Z

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第172行：		第172行：
	* 三歧性：<math>\forall\alpha,\beta\in\bold{On},(\alpha\in\beta)\lor(\alpha=\beta)\lor(\alpha\ni\beta)</math>		* 三歧性：<math>\forall\alpha,\beta\in\bold{On},(\alpha\in\beta)\lor(\alpha=\beta)\lor(\alpha\ni\beta)</math>
	* 传递性：<math>((\alpha\in\bold{On})\land(\beta\in\alpha))\rightarrow(\beta\in\bold{On})</math>		* 传递性：<math>((\alpha\in\bold{On})\land(\beta\in\alpha))\rightarrow(\beta\in\bold{On})</math>
	* ~~良序性：On~~ 上的关系 ∈ 是良序的，即每个非空子类有最小元		* 良序性：<math>\bold{On}</math> 上的关系 <math>\in</math> 是良序的，即每个非空子类有最小元

	'''后继序数和极限序数'''		'''后继序数和极限序数'''
第178行：		第178行：
	一个序数 <math>\alpha</math> 称为后继序数，当且仅当存在序数 <math>\beta</math> 使得 <math>\alpha=\beta+1</math>（<math>\alpha\text{ 是后继序数}\Longleftrightarrow\exists\beta\in\bold{On}(\alpha=\beta+1)</math>）		一个序数 <math>\alpha</math> 称为后继序数，当且仅当存在序数 <math>\beta</math> 使得 <math>\alpha=\beta+1</math>（<math>\alpha\text{ 是后继序数}\Longleftrightarrow\exists\beta\in\bold{On}(\alpha=\beta+1)</math>）

	一个序数 <math>\alpha</math> ~~称为后继序数，当且仅当不存在序数~~ <math>\beta</math> 使得 <math>\alpha=\beta+1</math>（<math>\alpha\text{ 是极限序数}\Longleftrightarrow\neg\exists\beta\in\bold{On}(\alpha=\beta+1)</math>）		一个序数 <math>\alpha</math> 称为极限序数，当且仅当不存在序数 <math>\beta</math> 使得 <math>\alpha=\beta+1</math>（<math>\alpha\text{ 是极限序数}\Longleftrightarrow\neg\exists\beta\in\bold{On}(\alpha=\beta+1)</math>）

	'''递归函数'''		'''递归函数'''
第249行：		第249行：

	[[分类:入门]]		[[分类:入门]]

	[[分类:集合论相关]]		[[分类:集合论相关]]
	[[分类:重要概念]]		[[分类:重要概念]]

2025年8月20日 (三) 08:45 Z

2025-08-20T08:45:20Z

←上一版本		2025年8月20日 (三) 16:45的版本
第251行：		第251行：

	[[分类:集合论相关]]		[[分类:集合论相关]]
			[[分类:重要概念]]

Apocalypse：/* 形式化定义 */

2025-08-18T16:30:19Z

形式化定义

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第188行：		第188行：

	定义所有递归函数的类为 <math>\bold{Rec}_\text{f}</math>。		定义所有递归函数的类为 <math>\bold{Rec}_\text{f}</math>。

			'''超限归纳'''

			设 <math>\varphi(x)</math> 是一个性质。如果对所有序数 <math>\alpha</math> ，以下都成立：

			* 如果对所有的 <math>\beta<\alpha</math> 都有 <math>\varphi(\beta)</math> 成立，那么 <math>\varphi(\alpha)</math> 成立

			那么 <math>\varphi(\alpha)</math> 对所有序数 <math>\alpha</math> 成立。

			等价地，设 <math>\varphi(x)</math> 是一个性质。如果以下都成立：

			* <math>\varphi(0)</math> 成立
			* 对于后继序数 <math>\alpha+1</math> ，若 <math>\varphi(\alpha)</math> 成立，则 <math>\varphi(\alpha+1)</math> 成立
			* 对于极限序数 <math>\alpha</math> ，若对于所有 <math>\beta<\alpha</math> 有 <math>\varphi(\beta)</math> 成立，则 <math>\varphi(\alpha)</math> 成立

			那么 <math>\varphi(\alpha)</math> 对所有序数 <math>\alpha</math> 成立。

	'''超限递归'''		'''超限递归'''

Phyrion：撤销Phyrion（讨论）的修订版本2003

2025-08-18T04:10:36Z

撤销Phyrion（讨论）的修订版本2003

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第1行：		第1行：
	'''序数'''~~是[[自然数]]的推广。~~		'''序数'''是自然数的推广。

	=== 直观理解 ===		=== 直观理解 ===

2025年8月18日 (一) 04:10 Phyrion

2025-08-18T04:10:09Z

←上一版本		2025年8月18日 (一) 12:10的版本
第1行：		第1行：
	'''序数'''~~是自然数的推广。~~		'''序数'''是[[自然数]]的推广。

	=== 直观理解 ===		=== 直观理解 ===

QWQ-bili：/* 有限序数与超限序数 */

2025-08-08T09:34:41Z

有限序数与超限序数

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第49行：		第49行：

	==== 有限序数与超限序数 ====		==== 有限序数与超限序数 ====
	~~所有自然数都是有限序数。~~		所有自然数都是'''<span id="有限序数">有限序数</span>'''。

	大于任意有限序数的序数称作'''超限序数'''（或无限序数）。		大于任意有限序数的序数称作'''<span id="超限序数">超限序数</span>'''（或无限序数）。

	==== 极限序数 ====		==== 极限序数 ====

2025年8月5日 (二) 15:10 YourCpper

2025-08-05T15:10:41Z

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第2行：		第2行：

	=== 直观理解 ===		=== 直观理解 ===
			[[文件:Omega4.jpg\|缩略图\|仅供参考]]
	顾名思义，序数是用来排序的号码。最小的序数是 0，因而我们从 0 开始排序。这只是一个很简单的排序，还没有超过自然数的范畴。		顾名思义，序数是用来排序的号码。最小的序数是 0，因而我们从 0 开始排序。这只是一个很简单的排序，还没有超过自然数的范畴。

2025年7月27日 (日) 04:54 Zhy137036

2025-07-27T04:54:16Z

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第232行：		第232行：

	[[分类:入门]]		[[分类:入门]]

			[[分类:集合论相关]]