增长层级 - 版本历史

2026年2月24日 (二) 12:12 Tabelog

2026-02-24T12:12:34Z

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第7行：		第7行：
	=== 定义 ===		=== 定义 ===
	在这里，<math>f^n(\cdot)</math> 代表对函数 <math>f(\cdot)</math> 的 <math>n</math> 次迭代；其中 <math>\alpha[n]</math> 表示[[序数#极限序数\|极限序数]] <math>\alpha</math> 的[[基本列]]第 <math>n</math> 项。所有的典型增长层级都是由超限递归定义的。		在这里，<math>f^n(\cdot)</math> 代表对函数 <math>f(\cdot)</math> 的 <math>n</math> 次迭代；其中 <math>\alpha[n]</math> 表示[[序数#极限序数\|极限序数]] <math>\alpha</math> 的[[基本列]]第 <math>n</math> 项。所有的典型增长层级都是由超限递归定义的。

	~~这里由于增长层级都针对递归序数，令 <math>\bold{Rec}</math> 为递归序数集合，<math>\bold{Rec}_\text{lim}</math> 为极限（递归）序数集合。~~

	==== 快速增长层级 ====		==== 快速增长层级 ====
	快速增长层级（Fast Growing ~~Hierarchy，FGH）~~		快速增长层级（Fast Growing Hierarchy，FGH）定义为：

	* <math>\~~forall~~ n\~~in\mathbb~~{N}~~,f_0(n)=~~n+1~~</math>~~		<math>f_\alpha(n)=\begin{cases}n+1,&\alpha=0\\f_\beta^n(n),&\alpha=\beta+1\\f_{\alpha[n]}(n),&\alpha\text{ 是极限序数}\end{cases}</math>
	* <math>\forall\alpha\in\~~bold{Rec},n\in\mathbb{N},~~f_{\~~alpha+1}(~~n~~)=f^n_\alpha~~(n)~~</math>~~
	* <math>\forall\alpha\~~in\bold{Rec}_\text{lim},n\in~~\~~mathbb{N},f_~~\~~alpha(n)=~~f_{\alpha[n]}(n)</math>

	==== 中速增长层级 ====		==== 中速增长层级 ====
	中速增长层级（Middle Growing ~~Hierarchy，MGH）~~		中速增长层级（Middle Growing Hierarchy，MGH）定义为：

	* <math>\~~forall~~ n\~~in\mathbb~~{N}~~,m_0(n)=~~n+1~~</math>~~		<math>m_\alpha(n)=\begin{cases}n+1,&\alpha=0\\m_\beta(m_\beta((n)),&\alpha=\beta+1\\m_{\alpha[n]}(n),&\alpha\text{ 是极限序数}\end{cases}</math>
	* <math>\forall\alpha\in\~~bold{Rec},n\in\mathbb{N},~~m_{\~~alpha+1}~~(~~n)=~~m_\~~alpha~~(~~m_\alpha~~(n))~~</math>~~
	* <math>\forall\alpha\~~in\bold{Rec}_\text{lim},n\in~~\~~mathbb{N},m_~~\~~alpha(n)=~~m_{\alpha[n]}(n)</math>

	==== 哈代层级 ====		==== 哈代层级 ====
	哈代层级（Hardy ~~Hierarchy，HH）~~		哈代层级（Hardy Hierarchy，HH）定义为：

	* <math>\~~forall n\in\mathbb{N},H_0~~(n)=~~n</math>~~		<math>H_\alpha(n)=\begin{cases}n,&\alpha=0\\H_\beta(n+1),&\alpha=\beta+1\\H_{\alpha[n]}(n),&\alpha\text{ 是极限序数}\end{cases}</math>
	* <math>\forall\alpha\in\~~bold~~{~~Rec~~},n~~\in\mathbb{N}~~,~~H_{~~\alpha~~+1}(n)~~=H_\~~alpha~~(n+1)~~</math>~~
	* <math>\forall\alpha\in\~~bold{Rec}_~~\~~text{lim},n\in\mathbb{N},H_\alpha(n)=~~H_{\alpha[n]}(n)</math>

	==== 慢速增长层级 ====		==== 慢速增长层级 ====
	慢速增长层级（Slow Growing ~~Hierarchy，SGH）~~		慢速增长层级（Slow Growing Hierarchy，SGH）定义为：

	* <math>\~~forall n\in\mathbb{N},g_0~~(n)=~~0</math>~~		<math>g_\alpha(n)=\begin{cases}0,&\alpha=0\\g_\beta(n)+1,&\alpha=\beta+1\\g_{\alpha[n]}(n),&\alpha\text{ 是极限序数}\end{cases}</math>
	* <math>\forall\~~alpha\in\bold~~{~~Rec~~},n\in\~~mathbb{N},g_{~~\~~alpha+1}(n)=~~g_\~~alpha~~(n)+1~~</math>~~
	* <math>\forall\alpha\~~in\bold{Rec}_\text{lim},n~~\in\~~mathbb{N},g_\alpha(n)=~~g_{\alpha[n]}(n)</math>

	=== 在大数数学中的应用 ===		=== 在大数数学中的应用 ===

2025年8月21日 (四) 01:10 Z

2025-08-21T01:10:46Z

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第111行：		第111行：
	HH 与 FGH 最终在 <math>\varepsilon_0</math> 处 Catching 了。此后的每个<math>\varepsilon</math>点二者都会再次 Catching。		HH 与 FGH 最终在 <math>\varepsilon_0</math> 处 Catching 了。此后的每个<math>\varepsilon</math>点二者都会再次 Catching。

	~~关于这之后 SGH~~ 与 FGH ~~的对照分析，请移步~~ [[Catching 函数]]。		关于SGH 与 FGH 的更详细的对照分析以及它们的[[Catching\|catching]]点，请移步[[SGH与FGH对照]]

	=== 警告 ===		=== 警告 ===

2025年8月20日 (三) 08:36 Z

2025-08-20T08:36:58Z

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第126行：		第126行：
	[[分类:入门]]		[[分类:入门]]
	[[分类:分析]]		[[分类:分析]]
			[[分类:重要概念]]

2025年8月17日 (日) 15:05 Phyrion

2025-08-17T15:05:15Z

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第109行：		第109行：
	<nowiki>\( \begin{array} { c \| c \| c } \rm FGH & \rm HH & \rm SGH \\ \hline f_{\omega^\omega} & H_{\omega ^{\omega^\omega }} & {\color{green} {g_{\varphi(1@\omega)}}}={\color{red} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^\omega})}}}\\ f_{\omega^\omega}(f_0) & H_{\omega ^{\omega^\omega }+1} & {\color{green} {g_{\varphi(1@(\omega+1))}}}\\ f_{\omega^\omega}(f_1) & H_{\omega ^{\omega^\omega }+\omega } & {\color{green} {g_{\varphi(1@(\omega\times 2))}}}\\ f_{\omega^\omega}(f_{\omega^\omega}) & H_{\omega ^{\omega^\omega }\times 2 } & {\color{green} {g_{\varphi(1@\varphi(1@\omega))}}}\\ f_{\omega^\omega+1} & H_{\omega ^{\omega^\omega +1}} & {\color{green} {g_{\varphi(1@(1,0))}= {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^\Omega})}}}}\\ f_{\omega^\omega+\omega } & H_{\omega ^{\omega^\omega +\omega }} & {\color{red} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^\Omega+\omega })}}}\\ f_{\omega^\omega+\omega +1 } & H_{\omega ^{\omega^\omega +\omega +1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^\Omega+\Omega })}}}\\ f_{\omega^\omega+\omega\times 2 +1 } & H_{\omega ^{\omega^\omega +\omega\times 2 +1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^\Omega+\Omega\times 2 })}}}\\ f_{\omega^\omega+\omega^2 } & H_{\omega ^{\omega^\omega +\omega^ 2 }} & {\color{red} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^\Omega+\Omega\times \omega })}}}\\ f_{\omega^\omega+\omega^2 +1 } & H_{\omega ^{\omega^\omega +\omega^ 2 +1 }} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^\Omega+\Omega^2 })}}}\\ f_{\omega^\omega+\omega^3 +1 } & H_{\omega ^{\omega^\omega +\omega^ 3 +1 }} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^\Omega+\Omega^3 })}}}\\ f_{\omega^\omega\times 2 } & H_{\omega ^{\omega^\omega \times 2 }} & {\color{red} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^\Omega+\Omega^\omega })}}}\\ f_{\omega^\omega\times 2 +1} & H_{\omega ^{\omega^\omega \times 2 +1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^\Omega\times 2 })}}}\\ f_{\omega^\omega\times 3 +1} & H_{\omega ^{\omega^\omega \times 3 +1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^\Omega\times 3})}}}\\ f_{\omega^{\omega+1}} & H_{\omega ^{\omega^{\omega +1}}} & {\color{red} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^\Omega\times \omega })}}}\\ f_{\omega^{\omega+1}+1} & H_{\omega ^{\omega^{\omega +1}+1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega+1} })}}}\\ f_{\omega^{\omega+1}+\omega +1} & H_{\omega ^{\omega^{\omega +1}+\omega +1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega+1}+\Omega })}}}\\ f_{\omega^{\omega+1}\times 2+1} & H_{\omega ^{\omega^{\omega +1} \times 2} } & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega+1}\times 2 })}}}\\ f_{\omega^{\omega+2}} & H_{\omega ^{\omega^{\omega +2}}} & {\color{red} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega+1}\times \omega })}}}\\ f_{\omega^{\omega+2}+1} & H_{\omega ^{\omega^{\omega +2}+1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega+2} })}}}\\ f_{\omega^{\omega+3}+1} & H_{\omega ^{\omega^{\omega +3}+1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega+3} })}}}\\ f_{\omega^{\omega\times 2}} & H_{\omega ^{\omega^{\omega \times 2}}} & {\color{red} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega+\omega } })}}}\\ f_{\omega^{\omega\times 2}+1} & H_{\omega ^{\omega^{\omega \times 2}+1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega\times 2 } })}}}\\ f_{\omega^{\omega\times 3}+1} & H_{\omega ^{\omega^{\omega \times 3}+1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega\times 3 } })}}}\\ f_{\omega^{\omega^ 2}} & H_{\omega ^{\omega^{\omega ^ 2}}} & {\color{red} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega\times \omega } })}}}\\ f_{\omega^{\omega^ 2}+1} & H_{\omega ^{\omega^{\omega ^ 2}+1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega^2 } })}}}\\ f_{\omega^{\omega^ 3}+1} & H_{\omega ^{\omega^{\omega ^ 3}+1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega^3 } })}}}\\ f_{\omega^{\omega^ \omega }} & H_{\omega ^{\omega^{\omega ^ \omega }}} & {\color{red} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega^\omega } })}}}\\ f_{\omega^{\omega^ \omega }+1} & H_{\omega ^{\omega^{\omega ^ \omega }+1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega^\Omega } })}}}\\ f_{\omega^{\omega^{\omega^ \omega } }+1} & H_{\omega ^{\omega^{\omega ^{\omega^ \omega } }+1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega^{\Omega^ \Omega } } })}}}\\ f_{\psi (0)=\varepsilon_0} & {\color{green}{H_{\varepsilon _0}}}/H_{\varepsilon _0+1} & {\color{green} {g_{\psi (\psi_1(0))}}}\\ \end{array} \)</nowiki>		<nowiki>\( \begin{array} { c \| c \| c } \rm FGH & \rm HH & \rm SGH \\ \hline f_{\omega^\omega} & H_{\omega ^{\omega^\omega }} & {\color{green} {g_{\varphi(1@\omega)}}}={\color{red} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^\omega})}}}\\ f_{\omega^\omega}(f_0) & H_{\omega ^{\omega^\omega }+1} & {\color{green} {g_{\varphi(1@(\omega+1))}}}\\ f_{\omega^\omega}(f_1) & H_{\omega ^{\omega^\omega }+\omega } & {\color{green} {g_{\varphi(1@(\omega\times 2))}}}\\ f_{\omega^\omega}(f_{\omega^\omega}) & H_{\omega ^{\omega^\omega }\times 2 } & {\color{green} {g_{\varphi(1@\varphi(1@\omega))}}}\\ f_{\omega^\omega+1} & H_{\omega ^{\omega^\omega +1}} & {\color{green} {g_{\varphi(1@(1,0))}= {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^\Omega})}}}}\\ f_{\omega^\omega+\omega } & H_{\omega ^{\omega^\omega +\omega }} & {\color{red} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^\Omega+\omega })}}}\\ f_{\omega^\omega+\omega +1 } & H_{\omega ^{\omega^\omega +\omega +1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^\Omega+\Omega })}}}\\ f_{\omega^\omega+\omega\times 2 +1 } & H_{\omega ^{\omega^\omega +\omega\times 2 +1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^\Omega+\Omega\times 2 })}}}\\ f_{\omega^\omega+\omega^2 } & H_{\omega ^{\omega^\omega +\omega^ 2 }} & {\color{red} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^\Omega+\Omega\times \omega })}}}\\ f_{\omega^\omega+\omega^2 +1 } & H_{\omega ^{\omega^\omega +\omega^ 2 +1 }} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^\Omega+\Omega^2 })}}}\\ f_{\omega^\omega+\omega^3 +1 } & H_{\omega ^{\omega^\omega +\omega^ 3 +1 }} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^\Omega+\Omega^3 })}}}\\ f_{\omega^\omega\times 2 } & H_{\omega ^{\omega^\omega \times 2 }} & {\color{red} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^\Omega+\Omega^\omega })}}}\\ f_{\omega^\omega\times 2 +1} & H_{\omega ^{\omega^\omega \times 2 +1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^\Omega\times 2 })}}}\\ f_{\omega^\omega\times 3 +1} & H_{\omega ^{\omega^\omega \times 3 +1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^\Omega\times 3})}}}\\ f_{\omega^{\omega+1}} & H_{\omega ^{\omega^{\omega +1}}} & {\color{red} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^\Omega\times \omega })}}}\\ f_{\omega^{\omega+1}+1} & H_{\omega ^{\omega^{\omega +1}+1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega+1} })}}}\\ f_{\omega^{\omega+1}+\omega +1} & H_{\omega ^{\omega^{\omega +1}+\omega +1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega+1}+\Omega })}}}\\ f_{\omega^{\omega+1}\times 2+1} & H_{\omega ^{\omega^{\omega +1} \times 2} } & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega+1}\times 2 })}}}\\ f_{\omega^{\omega+2}} & H_{\omega ^{\omega^{\omega +2}}} & {\color{red} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega+1}\times \omega })}}}\\ f_{\omega^{\omega+2}+1} & H_{\omega ^{\omega^{\omega +2}+1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega+2} })}}}\\ f_{\omega^{\omega+3}+1} & H_{\omega ^{\omega^{\omega +3}+1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega+3} })}}}\\ f_{\omega^{\omega\times 2}} & H_{\omega ^{\omega^{\omega \times 2}}} & {\color{red} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega+\omega } })}}}\\ f_{\omega^{\omega\times 2}+1} & H_{\omega ^{\omega^{\omega \times 2}+1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega\times 2 } })}}}\\ f_{\omega^{\omega\times 3}+1} & H_{\omega ^{\omega^{\omega \times 3}+1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega\times 3 } })}}}\\ f_{\omega^{\omega^ 2}} & H_{\omega ^{\omega^{\omega ^ 2}}} & {\color{red} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega\times \omega } })}}}\\ f_{\omega^{\omega^ 2}+1} & H_{\omega ^{\omega^{\omega ^ 2}+1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega^2 } })}}}\\ f_{\omega^{\omega^ 3}+1} & H_{\omega ^{\omega^{\omega ^ 3}+1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega^3 } })}}}\\ f_{\omega^{\omega^ \omega }} & H_{\omega ^{\omega^{\omega ^ \omega }}} & {\color{red} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega^\omega } })}}}\\ f_{\omega^{\omega^ \omega }+1} & H_{\omega ^{\omega^{\omega ^ \omega }+1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega^\Omega } })}}}\\ f_{\omega^{\omega^{\omega^ \omega } }+1} & H_{\omega ^{\omega^{\omega ^{\omega^ \omega } }+1}} & {\color{green} {g_{\psi (\Omega ^{\Omega^{\Omega^{\Omega^ \Omega } } })}}}\\ f_{\psi (0)=\varepsilon_0} & {\color{green}{H_{\varepsilon _0}}}/H_{\varepsilon _0+1} & {\color{green} {g_{\psi (\psi_1(0))}}}\\ \end{array} \)</nowiki>

	HH 与 FGH 最终在 <math>\varepsilon_0</math> 处 Catching ~~了。此后每遇到~~ <math>\~~varepsilon_0~~</math> ~~的倍数二者都会再次~~ Catching。		HH 与 FGH 最终在 <math>\varepsilon_0</math> 处 Catching 了。此后的每个<math>\varepsilon</math>点二者都会再次 Catching。

	关于这之后 SGH 与 FGH 的对照分析，请移步 [[Catching 函数]]。		关于这之后 SGH 与 FGH 的对照分析，请移步 [[Catching 函数]]。

Ankdnjj：/* 定义 */

2025-08-15T10:27:04Z

定义

←上一版本		2025年8月15日 (五) 18:27的版本
第9行：		第9行：

	这里由于增长层级都针对递归序数，令 <math>\bold{Rec}</math> 为递归序数集合，<math>\bold{Rec}_\text{lim}</math> 为极限（递归）序数集合。		这里由于增长层级都针对递归序数，令 <math>\bold{Rec}</math> 为递归序数集合，<math>\bold{Rec}_\text{lim}</math> 为极限（递归）序数集合。

	~~这里定义的前置知识可参考[[序数]]。~~

	==== 快速增长层级 ====		==== 快速增长层级 ====

Ankdnjj：/* 定义 */

2025-08-15T10:26:42Z

定义

←上一版本		2025年8月15日 (五) 18:26的版本
第9行：		第9行：

	这里由于增长层级都针对递归序数，令 <math>\bold{Rec}</math> 为递归序数集合，<math>\bold{Rec}_\text{lim}</math> 为极限（递归）序数集合。		这里由于增长层级都针对递归序数，令 <math>\bold{Rec}</math> 为递归序数集合，<math>\bold{Rec}_\text{lim}</math> 为极限（递归）序数集合。

			这里定义的前置知识可参考[[序数]]。

	==== 快速增长层级 ====		==== 快速增长层级 ====

2025年8月6日 (三) 10:39 Tabelog

2025-08-06T10:39:02Z

←上一版本		2025年8月6日 (三) 18:39的版本
第3行：		第3行：
	不同[[增长率]]的函数能和它们建立起大致的对应关系。因此，增长层级常被用于分析函数的增长率。		不同[[增长率]]的函数能和它们建立起大致的对应关系。因此，增长层级常被用于分析函数的增长率。

	常用的增长层级有 4 种，分别为 ~~FGH、MGH、HH~~ 和 ~~SGH。其中最常用的是~~ FGH。		常用的增长层级有 4 种，分别为 [[增长层级#快速增长层级\|FGH]]、[[增长层级#中速增长层级\|MGH]]、[[增长层级#哈代层级\|HH]] 和 [[增长层级#慢速增长层级\|SGH]]。其中最常用的是 FGH。

	=== 定义 ===		=== 定义 ===
第64行：		第64行：

	=== 不同增长层级的对比 ===		=== 不同增长层级的对比 ===
	''本节内容来自<ref>Chase Light (2025). [googology] 大数增长率分析(序篇)：不同的增长层级及其对比 [[googology] Analysis of Large Number Growth Rate (Prologue): Different Growth Levels and Their Comparison]. ''(EB/OL), Zhihu''. https://zhuanlan.zhihu.com/p/720580794</ref>''。		''本节内容来自<ref>Chase Light (2025). [googology] 大数增长率分析(序篇)：不同的增长层级及其对比 [[googology] Analysis of Large Number Growth Rate (Prologue): Different Growth Levels and Their Comparison]. ''(EB/OL), Zhihu''. Available at: https://zhuanlan.zhihu.com/p/720580794</ref>''。

	MGH 相比 FGH，下标 +1 的方式仅由“嵌套 n（自变量）层”变为“嵌套 2 层”。因此，MGH 的下标每加一次 <math>\omega</math>，就能将函数嵌套 <math>2^n</math> 层，实现略大于 FGH 中下标 +1 的作用。		MGH 相比 FGH，下标 +1 的方式仅由“嵌套 n（自变量）层”变为“嵌套 2 层”。因此，MGH 的下标每加一次 <math>\omega</math>，就能将函数嵌套 <math>2^n</math> 层，实现略大于 FGH 中下标 +1 的作用。
第114行：		第114行：

	=== 警告 ===		=== 警告 ===
	''本节内容来自<ref>Googology Wiki. Fast-growing hierarchy. ''(EB/OL), Googology Wiki''. https://googology.fandom.com/wiki/Fast-growing_hierarchy</ref>''。		''本节内容来自 Googology Wiki''。''<ref>Googology Wiki (n.d.). Fast-growing hierarchy. ''(EB/OL), Googology Wiki''. Available at: https://googology.fandom.com/wiki/Fast-growing_hierarchy</ref>''<ref>Googology Wiki (n.d.). Slow-growing hierarchy. ''(EB/OL), Googology Wiki''. Available at: https://googology.fandom.com/wiki/Slow-growing_hierarchy</ref><ref>Googology Wiki (n.d.). Hardy hierarchy. ''(EB/OL), Googology Wiki''. Available at: https://googology.fandom.com/wiki/Hardy_hierarchy</ref>

	读者需要非常谨慎，因为个人网站、视频和用户博客上存在许多错误的“入门介绍”，尽管这些内容不幸受到初学者的青睐。由于序数、基本列等数学概念非常抽象且难以精确处理，人们往往倾向于给出直观描述——这些描述对初学者来说比精确解释更简单、更“酷”。然而，这类“入门介绍”经常包含严重错误，因为作者本身也是通过其他直观描述学习的，而非精确的定义——重点在于，要理解快速增长层级，精确的定义是不可或缺的。精确描述看起来复杂的原因并非仅仅是表述不佳或冗余，而是因为这些概念本身确实非常困难，尽管这些错误的“入门介绍”有时会将它们解释为简单的概念。		读者需要非常谨慎，因为个人网站、视频和用户博客上存在许多错误的“入门介绍”，尽管这些内容不幸受到初学者的青睐。由于序数、基本列等数学概念非常抽象且难以精确处理，人们往往倾向于给出直观描述——这些描述对初学者来说比精确解释更简单、更“酷”。然而，这类“入门介绍”经常包含严重错误，因为作者本身也是通过其他直观描述学习的，而非精确的定义——重点在于，要理解快速增长层级，精确的定义是不可或缺的。精确描述看起来复杂的原因并非仅仅是表述不佳或冗余，而是因为这些概念本身确实非常困难，尽管这些错误的“入门介绍”有时会将它们解释为简单的概念。

	~~另外要注意，关于快速增长层级中函数的可计算性，存在许多错误描述。虽然~~ gggists 有时会声称某个函数是可计算的，因为它是通过快速增长层级定义的，但这是典型的错误。通过包含无限序数的方法(如快速增长层级)定义的函数并不一定是可计算的。为了确保通过快速增长层级定义的函数的可计算性，我们需要构造一个明确的算法来计算它，常见例子是由序数记号给出一个基本列的算法。即使快速增长层级中像 <math>f_\omega</math> ~~这样的较小函数，若没有通过明确算法定义，也可能是不可计算的(比如设想~~<math>f_\omega(n)=f_{BB(n)}(n)</math>，其中<math>BB(n)</math>是[[忙碌海狸函数]])。因为算法只能处理可数集合中具有固定枚举的元素，而无法直接处理没有固定枚举的集合中的无限序数。为了解决可计算性问题，我们通常使用序数记号。		另外要注意，关于快速增长层级中函数的[[CKO#可计算函数\|可计算性]]，存在许多错误描述。虽然 gggists 有时会声称某个函数是可计算的，因为它是通过快速增长层级定义的，但这是典型的错误。通过包含无限序数的方法(如快速增长层级)定义的函数并不一定是可计算的。为了确保通过快速增长层级定义的函数的可计算性，我们需要构造一个明确的算法来计算它，常见例子是由序数记号给出一个基本列的算法。即使快速增长层级中像 <math>f_\omega</math> 这样的较小函数，若没有通过明确算法定义，也可能是不可计算的（比如设想<math>f_\omega(n)=f_{BB(n)}(n)</math>，其中<math>BB(n)</math>是[[忙碌海狸函数]]）。因为算法只能处理可数集合中具有固定枚举的元素，而无法直接处理没有固定枚举的集合中的无限序数。为了解决可计算性问题，我们通常使用序数记号。

	关于快速增长层级（及其同类，如哈代层级和慢速增长层级）最重要的事实之一是：给定上界以下的极限序数的基本列系统并非唯一，经典增长层级严重依赖于这种系统的选择；除非在上下文中明确固定了基本列系统的具体选择，否则它是定义不明确的。初学者必须非常注意这个问题，因为当 gggist 谈论“Catching 的序数”“视为增长率的序数”“快速增长层级中的证明论序数”等内容时，若不理解基本列系统选择的依赖性，这种定义不明确的情况会频繁出现。		关于快速增长层级（及其同类，如哈代层级和慢速增长层级）最重要的事实之一是：给定上界以下的极限序数的基本列系统并非唯一，经典增长层级严重依赖于这种系统的选择；除非在上下文中明确固定了基本列系统的具体选择，否则它是定义不明确的。初学者必须非常注意这个问题，因为当 gggist 谈论“[[Catching 函数\|Catching 的序数]]”“视为增长率的序数”“快速增长层级中的[[证明论序数]]”等内容时，若不理解基本列系统选择的依赖性，这种定义不明确的情况会频繁出现。

	== 参考资料 ==		== 参考资料 ==

Tabelog：修正参考资料

2025-07-30T04:55:21Z

修正参考资料

←上一版本		2025年7月30日 (三) 12:55的版本
第64行：		第64行：

	=== 不同增长层级的对比 ===		=== 不同增长层级的对比 ===
	''本节内容来自<ref>Chase Light (2025). [googology] 大数增长率分析(序篇)：不同的增长层级及其对比 [[googology] Analysis of Large Number Growth Rate (Prologue): Different Growth Levels and Their Comparison]. ''Zhihu''. https://zhuanlan.zhihu.com/p/720580794</ref>''。		''本节内容来自<ref>Chase Light (2025). [googology] 大数增长率分析(序篇)：不同的增长层级及其对比 [[googology] Analysis of Large Number Growth Rate (Prologue): Different Growth Levels and Their Comparison]. ''(EB/OL), Zhihu''. https://zhuanlan.zhihu.com/p/720580794</ref>''。

	MGH 相比 FGH，下标 +1 的方式仅由“嵌套 n（自变量）层”变为“嵌套 2 层”。因此，MGH 的下标每加一次 <math>\omega</math>，就能将函数嵌套 <math>2^n</math> 层，实现略大于 FGH 中下标 +1 的作用。		MGH 相比 FGH，下标 +1 的方式仅由“嵌套 n（自变量）层”变为“嵌套 2 层”。因此，MGH 的下标每加一次 <math>\omega</math>，就能将函数嵌套 <math>2^n</math> 层，实现略大于 FGH 中下标 +1 的作用。
第114行：		第114行：

	=== 警告 ===		=== 警告 ===
			''本节内容来自<ref>Googology Wiki. Fast-growing hierarchy. ''(EB/OL), Googology Wiki''. https://googology.fandom.com/wiki/Fast-growing_hierarchy</ref>''。

	读者需要非常谨慎，因为个人网站、视频和用户博客上存在许多错误的“入门介绍”，尽管这些内容不幸受到初学者的青睐。由于序数、基本列等数学概念非常抽象且难以精确处理，人们往往倾向于给出直观描述——这些描述对初学者来说比精确解释更简单、更“酷”。然而，这类“入门介绍”经常包含严重错误，因为作者本身也是通过其他直观描述学习的，而非精确的定义——重点在于，要理解快速增长层级，精确的定义是不可或缺的。精确描述看起来复杂的原因并非仅仅是表述不佳或冗余，而是因为这些概念本身确实非常困难，尽管这些错误的“入门介绍”有时会将它们解释为简单的概念。		读者需要非常谨慎，因为个人网站、视频和用户博客上存在许多错误的“入门介绍”，尽管这些内容不幸受到初学者的青睐。由于序数、基本列等数学概念非常抽象且难以精确处理，人们往往倾向于给出直观描述——这些描述对初学者来说比精确解释更简单、更“酷”。然而，这类“入门介绍”经常包含严重错误，因为作者本身也是通过其他直观描述学习的，而非精确的定义——重点在于，要理解快速增长层级，精确的定义是不可或缺的。精确描述看起来复杂的原因并非仅仅是表述不佳或冗余，而是因为这些概念本身确实非常困难，尽管这些错误的“入门介绍”有时会将它们解释为简单的概念。

Tabelog：修正参考资料

2025-07-30T04:21:59Z

修正参考资料

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	'''~~增长层级(Growing Hierarchy,GH)~~'''是一种函数族<math>f:\rm Ord\rightarrow\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}</math>，对于每个[[序数]]<math>\alpha</math>，<math>f_{\alpha}</math>是一个从自然数到自然数的函数。		'''增长层级（Growing Hierarchy，GH）'''是一种函数族<math>f:\rm Ord\rightarrow\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}</math>，对于每个[[序数]] <math>\alpha</math>，<math>f_{\alpha}</math> 是一个从自然数到自然数的函数。

	不同[[增长率]]的函数能和它们建立起大致的对应关系。因此，增长层级常被用于分析函数的增长率。		不同[[增长率]]的函数能和它们建立起大致的对应关系。因此，增长层级常被用于分析函数的增长率。
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	* 对任意序数 α，α 的后继依然是一个序数且大于 α。		* 对任意序数 α，α 的后继依然是一个序数且大于 α。
	* 对 ω 个递增序数构成的序列 S 来说，存在一个 β 是序数且满足 β 是 S ~~的上确界（上界要求大于等于内部所有元素，上确界是最小上界）。或者说，这里的S是β的一条~~[[基本列]]。		* 对 ω 个递增序数构成的序列 S 来说，存在一个 β 是序数且满足 β 是 S 的上确界（上界要求大于等于内部所有元素，上确界是最小上界）。或者说，这里的 S 是 β 的一条[[基本列]]。

	因此，我们可以从 0 出发，通过不断地取后继和取上确界，我们可以得到越来越大的序数.		因此，我们可以从 0 出发，通过不断地取后继和取上确界，我们可以得到越来越大的序数.
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	但注意到这里还有一个问题：一个极限序数的基本列不止一种，那么，我们如何确定应该选取哪一条基本列呢？这个时候就需要[[序数记号]]出马了。序数记号为其极限之下的每个序数指定了唯一的标准基本列。		但注意到这里还有一个问题：一个极限序数的基本列不止一种，那么，我们如何确定应该选取哪一条基本列呢？这个时候就需要[[序数记号]]出马了。序数记号为其极限之下的每个序数指定了唯一的标准基本列。

	有了序数记号之后，我们就可以放心的运用对应关系，直接把序数转换成大数函数了。把序数转换成大数函数的工具就是增长层级。根据迭代的方法不同，增长层级也有很多种，包含 FGH,HH,MGH,SGH 等等。		有了序数记号之后，我们就可以放心的运用对应关系，直接把序数转换成大数函数了。把序数转换成大数函数的工具就是增长层级。根据迭代的方法不同，增长层级也有很多种。

			=== 不同增长层级的对比 ===
			''本节内容来自<ref>Chase Light (2025). [googology] 大数增长率分析(序篇)：不同的增长层级及其对比 [[googology] Analysis of Large Number Growth Rate (Prologue): Different Growth Levels and Their Comparison]. ''Zhihu''. https://zhuanlan.zhihu.com/p/720580794</ref>''。

	~~=== 不同增长层级的对比<ref><nowiki>https://zhuanlan.zhihu.com/p/720580794</nowiki></ref> ===~~
	MGH 相比 FGH，下标 +1 的方式仅由“嵌套 n（自变量）层”变为“嵌套 2 层”。因此，MGH 的下标每加一次 <math>\omega</math>，就能将函数嵌套 <math>2^n</math> 层，实现略大于 FGH 中下标 +1 的作用。		MGH 相比 FGH，下标 +1 的方式仅由“嵌套 n（自变量）层”变为“嵌套 2 层”。因此，MGH 的下标每加一次 <math>\omega</math>，就能将函数嵌套 <math>2^n</math> 层，实现略大于 FGH 中下标 +1 的作用。

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	关于快速增长层级（及其同类，如哈代层级和慢速增长层级）最重要的事实之一是：给定上界以下的极限序数的基本列系统并非唯一，经典增长层级严重依赖于这种系统的选择；除非在上下文中明确固定了基本列系统的具体选择，否则它是定义不明确的。初学者必须非常注意这个问题，因为当 gggist 谈论“Catching 的序数”“视为增长率的序数”“快速增长层级中的证明论序数”等内容时，若不理解基本列系统选择的依赖性，这种定义不明确的情况会频繁出现。		关于快速增长层级（及其同类，如哈代层级和慢速增长层级）最重要的事实之一是：给定上界以下的极限序数的基本列系统并非唯一，经典增长层级严重依赖于这种系统的选择；除非在上下文中明确固定了基本列系统的具体选择，否则它是定义不明确的。初学者必须非常注意这个问题，因为当 gggist 谈论“Catching 的序数”“视为增长率的序数”“快速增长层级中的证明论序数”等内容时，若不理解基本列系统选择的依赖性，这种定义不明确的情况会频繁出现。

	==~~= 参考文献 =~~==		== 参考资料 ==
	<references />		<references />
	[[分类:入门]]		[[分类:入门]]
	[[分类:分析]]		[[分类:分析]]

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2025-07-18T01:15:20Z

警告

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	=== 警告 ===		=== 警告 ===
	读者需要非常谨慎，因为个人网站、视频和用户博客上存在许多错误的“入门介绍”，尽管这些内容不幸受到初学者的青睐。由于序数、基本列等数学概念非常抽象且难以精确处理，人们往往倾向于给出直观描述——这些描述对初学者来说比精确解释更简单、更“酷”。然而，这类“入门介绍”经常包含严重错误，因为作者本身也是通过其他直观描述学习的，而非精确定义。重要的是，要理解快速生长层次，实际上需要精确描述。精确描述看起来复杂的原因并非仅仅是表述不佳或冗余，而是因为这些概念本身确实非常困难，尽管这些错误的“入门介绍”有时会将它们解释为简单的概念。		读者需要非常谨慎，因为个人网站、视频和用户博客上存在许多错误的“入门介绍”，尽管这些内容不幸受到初学者的青睐。由于序数、基本列等数学概念非常抽象且难以精确处理，人们往往倾向于给出直观描述——这些描述对初学者来说比精确解释更简单、更“酷”。然而，这类“入门介绍”经常包含严重错误，因为作者本身也是通过其他直观描述学习的，而非精确的定义——重点在于，要理解快速增长层级，精确的定义是不可或缺的。精确描述看起来复杂的原因并非仅仅是表述不佳或冗余，而是因为这些概念本身确实非常困难，尽管这些错误的“入门介绍”有时会将它们解释为简单的概念。

	~~另外要注意，关于快速生长层次中函数的可计算性，存在许多错误描述。虽然~~ gggists 有时会声称某个函数是可计算的，因为它是通过快速生长层次定义的，但这是典型的错误。通过包含无限序数的方法（如快速生长层次）定义的函数并不一定是可计算的。为了确保通过快速生长层次定义的函数的可计算性，我们需要构造一个明确的算法来计算它，常见例子是针对序数表示法中基本列的算法。即使快速生长层次中像 <math>f_\omega</math> 这样的较小函数，若没有通过明确算法定义，也可能是不可计算的。因为算法只能处理可数集合中具有固定枚举的元素，而未通过固定枚举的无限序数集合是不允许的。为了解决可计算性问题，我们通常使用序数记号。		另外要注意，关于快速增长层级中函数的可计算性，存在许多错误描述。虽然 gggists 有时会声称某个函数是可计算的，因为它是通过快速增长层级定义的，但这是典型的错误。通过包含无限序数的方法(如快速增长层级)定义的函数并不一定是可计算的。为了确保通过快速增长层级定义的函数的可计算性，我们需要构造一个明确的算法来计算它，常见例子是由序数记号给出一个基本列的算法。即使快速增长层级中像 <math>f_\omega</math> 这样的较小函数，若没有通过明确算法定义，也可能是不可计算的(比如设想<math>f_\omega(n)=f_{BB(n)}(n)</math>，其中<math>BB(n)</math>是[[忙碌海狸函数]])。因为算法只能处理可数集合中具有固定枚举的元素，而无法直接处理没有固定枚举的集合中的无限序数。为了解决可计算性问题，我们通常使用序数记号。

	关于快速增长层级（及其同类，如哈代层级和慢速增长层级）最重要的事实之一是：给定上界以下的极限序数的基础序列系统并非唯一，经典增长层级严重依赖于这种系统的选择；除非在上下文中明确固定了基本列系统的具体选择，否则它是定义不明确的。初学者必须非常注意这个问题，因为当 gggist 谈论“Catching 的序数”“视为增长率的序数”“快速增长层级中的证明论序数”等内容时，若不理解基础序列系统选择的依赖性，这种定义不明确的情况会频繁出现。		关于快速增长层级（及其同类，如哈代层级和慢速增长层级）最重要的事实之一是：给定上界以下的极限序数的基本列系统并非唯一，经典增长层级严重依赖于这种系统的选择；除非在上下文中明确固定了基本列系统的具体选择，否则它是定义不明确的。初学者必须非常注意这个问题，因为当 gggist 谈论“Catching 的序数”“视为增长率的序数”“快速增长层级中的证明论序数”等内容时，若不理解基本列系统选择的依赖性，这种定义不明确的情况会频繁出现。

	=== 参考文献 ===		=== 参考文献 ===

增长层级 - 版本历史

2026年2月24日 (二) 12:12 Tabelog

2025年8月21日 (四) 01:10 Z

2025年8月20日 (三) 08:36 Z

2025年8月17日 (日) 15:05 Phyrion

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2025年8月6日 (三) 10:39 Tabelog

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