命数定理 - 版本历史

星汐镜Littlekk：修复中英文弄反的bug

2026-02-24T18:49:41Z

修复中英文弄反的bug

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第15行：		第15行：
	# <math>W_{1}</math> 同构于 <math>W_{2}</math> .		# <math>W_{1}</math> 同构于 <math>W_{2}</math> .

	该定理也常被称为'''~~Trichotomy~~ Law for Well-Ordered ~~Sets~~'''~~（良序集三分律）。~~		该定理也常被称为'''良序集三分律（Trichotomy Law for Well-Ordered Sets）'''。

	证明：定义 <math>f=\{(x,y):x\in W_{1}\and y\in W_{2}\and W_{1}(x)\text{同构于}W_{2}(y)\}</math>.		证明：定义 <math>f=\{(x,y):x\in W_{1}\and y\in W_{2}\and W_{1}(x)\text{同构于}W_{2}(y)\}</math>.

星汐镜Littlekk：添加了对应的查询中英文

2026-02-24T18:48:43Z

添加了对应的查询中英文

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第1行：		第1行：
	'''~~定理1~~'''：每个[[良序#良序集\|良序集]]都[[良序#概念\|同构]]于唯一一个[[序数]]。		集合论中关于序数和良序集的核心结果，也叫'''序数表示定理（Ordinal Representation Theorem）'''或'''良序集的序型定理（Comparability Theorem for Well-Ordered Sets）。'''

			'''定理1（序数表示定理）'''：每个[[良序#良序集\|良序集]]都[[良序#概念\|同构]]于唯一一个[[序数]]。

	'''引理1'''：如果对于两个良序集 <math>W_{1},W_{2}</math>， <math>W_{1}</math> 同构到 <math>W_{2}</math>，则这个同构是唯一的。		'''引理1'''：如果对于两个良序集 <math>W_{1},W_{2}</math>， <math>W_{1}</math> 同构到 <math>W_{2}</math>，则这个同构是唯一的。
第7行：		第9行：
	'''引理2'''：不存在一个良序集同构于它的始段。		'''引理2'''：不存在一个良序集同构于它的始段。

	'''~~定理2~~'''：对于任何两个良序集 <math>W_{1},W_{2}</math>，只会有以下其中一种情况发生:		'''定理2（良序集的序型定理）'''：对于任何两个良序集 <math>W_{1},W_{2}</math>，只会有以下其中一种情况发生:

	# <math>W_{1}</math> 同构于 <math>W_{2}</math> 的一个始段；		# <math>W_{1}</math> 同构于 <math>W_{2}</math> 的一个始段；
	# <math>W_{2}</math> 同构于 <math>W_{1}</math> 的一个始段；		# <math>W_{2}</math> 同构于 <math>W_{1}</math> 的一个始段；
	# <math>W_{1}</math> 同构于 <math>W_{2}</math> .		# <math>W_{1}</math> 同构于 <math>W_{2}</math> .

			该定理也常被称为'''Trichotomy Law for Well-Ordered Sets'''（良序集三分律）。

	证明：定义 <math>f=\{(x,y):x\in W_{1}\and y\in W_{2}\and W_{1}(x)\text{同构于}W_{2}(y)\}</math>.		证明：定义 <math>f=\{(x,y):x\in W_{1}\and y\in W_{2}\and W_{1}(x)\text{同构于}W_{2}(y)\}</math>.

2025年8月31日 (日) 03:05 Tabelog

2025-08-31T03:05:20Z

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第32行：		第32行：

	[[分类:集合论相关]]		[[分类:集合论相关]]

	~~[[分类:证明]]~~

2025年7月29日 (二) 14:52 Zhy137036

2025-07-29T14:52:12Z

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第32行：		第32行：

	[[分类:集合论相关]]		[[分类:集合论相关]]

			[[分类:证明]]

2025年7月27日 (日) 04:53 Zhy137036

2025-07-27T04:53:48Z

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第30行：		第30行：

	所以，任意良序集同构于唯一一个序数。		所以，任意良序集同构于唯一一个序数。

			[[分类:集合论相关]]

QWQ-bili：美化公式

2025-07-26T06:47:25Z

美化公式

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第1行：		第1行：
	~~定理1：每个良序集同构于唯一一个序数~~		'''定理1'''：每个[[良序#良序集\|良序集]]都[[良序#概念\|同构]]于唯一一个[[序数]]。

	~~引理1：如果对于两个良序集W1，W2，W1同构到W2，则这个同构是唯一的~~		'''引理1'''：如果对于两个良序集 <math>W_{1},W_{2}</math>， <math>W_{1}</math> 同构到 <math>W_{2}</math>，则这个同构是唯一的。

	~~定义：一个良序集（W~~,<~~）根据任意一个W的元素x得到的始段为W~~(x)={~~u∈W：u＜x~~}		'''定义'''：一个良序集 <math>(W,<)</math> 根据任意一个 <math>W</math> 的元素 <math>x</math> 得到的'''始段'''为 <math>W(x)=\{u\in W:u<x\}</math>.

	~~引理2：不存在一个良序集同构于它的始段~~		'''引理2'''：不存在一个良序集同构于它的始段。

	~~定理2：对于任何两个良序集W1，W2，只会有以下其中一种情况发生：~~		'''定理2'''：对于任何两个良序集 <math>W_{1},W_{2}</math>，只会有以下其中一种情况发生:

	1.~~W1同构于W2的一个始段~~		# <math>W_{1}</math> 同构于 <math>W_{2}</math> 的一个始段；
			# <math>W_{2}</math> 同构于 <math>W_{1}</math> 的一个始段；
			# <math>W_{1}</math> 同构于 <math>W_{2}</math> .

	2.~~W2同构于W1的一个始段~~		证明：定义 <math>f=\{(x,y):x\in W_{1}\and y\in W_{2}\and W_{1}(x)\text{同构于}W_{2}(y)\}</math>.

	~~3.W1同构于W2~~		由引理2，这是一个一对一函数（如果不是，则存在 <math>u,y\in W_{2}</math> 使得 <math>W_{2}(u)</math> 同构于 <math>W_{2}(y)</math>，且 <math>u<y</math>，则 <math>W_{2}(u)</math> 也是 <math>W_{2}(y)</math> 的始段，由引理2得知矛盾，所以这是一个一对一函数）。

	~~证明:定义f=~~{(~~x，y~~)~~：x∈W1且y∈W2且W1（x）同构于W2（y）~~}		对于任意 <math>W_{1}</math> 元素 <math>u<x</math>， <math>W_{2}</math> 元素 <math>y</math>，且 <math>W_{1}(x)</math> 同构于 <math>W_{2}(y)</math>，则 <math>W_{1}(u)</math> 同构于 <math>W_{2}(f(u))</math>，则 <math>W_{2}(f(u))</math> 是 <math>W_{2}(y)</math> 的始段，所以 <math>f(u)<y</math>，这个映射是同构。

	~~由引理2，这是一个一对一函数（如果不是，则存在u，y∈W2使得W2（u）同构于W2（y），且u~~<~~y，则W2（u）也是W2（y）的始段，由引理2得知矛盾，所以这是一个一对一函数）~~		如果[[ZFC公理体系#值域\|值域]]为 <math>W_{2}</math> 且[[ZFC公理体系#定义域\|定义域]]为 <math>W_{1}</math>，则这个 <math>W_{1}</math> 同构于<math>W_{2}</math>.

	~~对于任意W1元素u~~<~~x,W2元素y，且W1(x)同构于W2（y），则W1（u）同构于W2（f（u）），则W2(f(u))是W2（y）的始段，所以f（u）＜y，这个映射是同构~~		如果定义域是 <math>W_{1}</math> 且值域为 <math>W_{2}</math> 的始段，则 <math>W_{1}</math> 同构于 <math>W_{2}</math> 的始段。

	~~如果range为W2且domain为W1,则这个W1同构于W2~~		如果值域是 <math>W_{2}</math> 且定义域是 <math>W_{1}</math> 的始段，则 <math>W_{2}</math> 同构于 <math>W_{1}</math> 的始段。

	~~如果domain是W1且range为W2的始段，则W1同构于W2的始段~~		（假设最大只存在 <math>W_{1}</math> 始段 <math>A</math> 和 <math>W_{2}</math> 始段 <math>B</math> 同构，考虑最小的 <math>u\in W_{1}</math> 使得 <math>u</math> 不属于 <math>A</math> 和最小的 <math>k\in W_{2}</math> 使得 <math>k</math> 不属于 <math>B</math>，显然，由 <math>u</math> 和 <math>k</math> 分别生成的始段同构，所以 <math>u</math> 和 <math>k</math> 所成的有序对应该是 <math>f</math> 的元素。然而这与我们的假设相背，所以矛盾）。

	~~如果range是W2且domain是W1的始段，则W2同构于W1的始段~~		定理1的证明：由于任意良序集和序数都是良序集，所以对于任意一个良序集 <math>W</math> 和序数 <math>a</math>，如果 <math>W</math> 同构于 <math>a</math>，则 <math>W</math> 和 <math>a</math> 的同构也是唯一的（否则，存在 <math>a<b</math> 或 <math>c<a</math> 使得 <math>a</math> 同构于 <math>c</math> 或者 <math>b</math>，由于 <math>a<b</math> 则 <math>a</math> 为 <math>b</math> 始段， <math>c<a</math> 则 <math>c</math> 为 <math>a</math> 始段，由引理2得到矛盾，所以这个同构唯一），如果 <math>W</math> 同构于 <math>a</math> 的始段，显然 <math>W</math> 也同构于这个始段对应的序数；如果 <math>W</math> 的始端同构于 <math>a</math>，那么必然存在 <math>b>a</math> 使得 <math>W</math> 同构于 <math>b</math>，由前面可得同构唯一性。

	（假设最大只存在W1始段A和W2始段B同构，考虑最小的u∈W1使得u不属于A和最小的k∈W2使得k不属于B，显然，由u和k分别生成的始段同构，所以u和k所成的有序对应该是f的元素。然而这与我们的假设相背，所以矛盾）

	~~定理1的证明：由于任意良序集和序数都是良序集，所以对于任意一个良序集W和序数a，如果W同构于a，则W和a的同构也是唯一的（否则，存在a~~<~~b或c~~<~~a使得a同构于c或者b，由于a~~<~~b则a为b始段，c~~<~~a则c为a始段，由引理2得到矛盾，所以这个同构唯一)，如果W同构于a的始段，显然W也同构于这个始段对应的序数；如果W的始端同构于a，那么必然存在b~~>~~a使得W同构于b，由前面可得同构唯一性~~

	所以，任意良序集同构于唯一一个序数。		所以，任意良序集同构于唯一一个序数。

虚妄之幻：修正错误

2025-07-26T05:55:36Z

修正错误

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第32行：		第32行：

	所以，任意良序集同构于唯一一个序数。		所以，任意良序集同构于唯一一个序数。

	~~由良序定理，任何集合都是良序集~~

	~~所以，任何集合都同构于唯一一个序数，得证。~~

虚妄之幻：命数定理完整证明

2025-07-26T03:45:38Z

命数定理完整证明

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定理1：每个良序集同构于唯一一个序数

引理1：如果对于两个良序集W1，W2，W1同构到W2，则这个同构是唯一的

定义：一个良序集（W,<）根据任意一个W的元素x得到的始段为W(x)={u∈W：u＜x}

引理2：不存在一个良序集同构于它的始段

定理2：对于任何两个良序集W1，W2，只会有以下其中一种情况发生：

1.W1同构于W2的一个始段

2.W2同构于W1的一个始段

3.W1同构于W2

证明:定义f={(x，y)：x∈W1且y∈W2且W1（x）同构于W2（y）}

由引理2，这是一个一对一函数（如果不是，则存在u，y∈W2使得W2（u）同构于W2（y），且u<y，则W2（u）也是W2（y）的始段，由引理2得知矛盾，所以这是一个一对一函数）

对于任意W1元素u<x,W2元素y，且W1(x)同构于W2（y），则W1（u）同构于W2（f（u）），则W2(f(u))是W2（y）的始段，所以f（u）＜y，这个映射是同构

如果range为W2且domain为W1,则这个W1同构于W2

如果domain是W1且range为W2的始段，则W1同构于W2的始段

如果range是W2且domain是W1的始段，则W2同构于W1的始段

（假设最大只存在W1始段A和W2始段B同构，考虑最小的u∈W1使得u不属于A和最小的k∈W2使得k不属于B，显然，由u和k分别生成的始段同构，所以u和k所成的有序对应该是f的元素。然而这与我们的假设相背，所以矛盾）

定理1的证明：由于任意良序集和序数都是良序集，所以对于任意一个良序集W和序数a，如果W同构于a，则W和a的同构也是唯一的（否则，存在a<b或c<a使得a同构于c或者b，由于a<b则a为b始段，c<a则c为a始段，由引理2得到矛盾，所以这个同构唯一)，如果W同构于a的始段，显然W也同构于这个始段对应的序数；如果W的始端同构于a，那么必然存在b>a使得W同构于b，由前面可得同构唯一性

所以，任意良序集同构于唯一一个序数。

由良序定理，任何集合都是良序集

所以，任何集合都同构于唯一一个序数，得证。

命数定理 - 版本历史

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