可构造宇宙 - 版本历史

2025年7月29日 (二) 12:18 Tabelog

2025-07-29T12:18:40Z

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	'''~~可构造宇宙（又称“哥德尔的可构造宇宙L”、“可构造性全域”）~~'''，是哥德尔为了证明命题的一致性问题而提出的一个[[内模型]]。		'''可构造宇宙（又称“哥德尔的可构造宇宙 L”、“可构造性全域”）'''，是哥德尔为了证明命题的一致性问题而提出的一个[[内模型]]。

	==== 定义 ====		==== 定义 ====

	设 <math>U</math> 为[[传递集]]，我们称一个 <math>U</math> ~~的[[子集]]集合~~ <math>A</math> 是在结构 <math>\langle U,\in\rangle</math> 上可定义的，当且仅当存在一个公式 <math>\phi(x,a_{1},a_{2},a_{3},...)</math> 使得 <math>X=\{x:\langle U,\in\rangle \|\phi(x,a_{1},a_{2},a_{3},...)\}</math>。我们将 <math>def(U)</math> 表示 <math>\langle U,\in\rangle</math> 上全体可定义的子集组成的集合，也称可定义幂集。可构造宇宙的定义如下：		设 <math>U</math> 为[[传递集]]，我们称一个 <math>U</math> 的子集 <math>A</math> 是在结构 <math>\langle U,\in\rangle</math> 上可定义的，当且仅当存在一个公式 <math>\phi(x,a_{1},a_{2},a_{3},...)</math> 使得 <math>X=\{x:\langle U,\in\rangle \|\phi(x,a_{1},a_{2},a_{3},...)\}</math>。我们将 <math>def(U)</math> 表示 <math>\langle U,\in\rangle</math> 上全体可定义的子集组成的集合，也称可定义幂集。可构造宇宙的定义如下：

	~~<math>L_{0}=\emptyset</math>~~

	~~<math>L_{\alpha+1}=def(L_{\alpha})</math>~~

	~~<math>L_{\alpha}(\alpha</math>为[[序数#极限序数\|极限序数]]<math>)=\cup_{\beta<\alpha}\ L_{\beta}</math>~~

	~~<math>L=\cup_{\alpha\in Ord}\ L_{\alpha}</math>~~

			* <math>L_{0}=\emptyset</math>
			* <math>L_{\alpha+1}=def(L_{\alpha})</math>
			* <math>L_{\alpha}(\alpha\text{ 是极限序数})=\bigcup_{\beta<\alpha}\ L_{\beta}</math>
			* <math>L=\bigcup_{\alpha\in Ord}\ L_{\alpha}</math>

	对于任意集合 <math>a</math>，若存在 <math>L_{b}</math>使得 <math>a\in L_{b}</math>，则称 <math>a</math> 是'''可构造的'''。		对于任意集合 <math>a</math>，若存在 <math>L_{b}</math>使得 <math>a\in L_{b}</math>，则称 <math>a</math> 是'''可构造的'''。

2025年7月29日 (二) 08:04 Tabelog

2025-07-29T08:04:39Z

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	'''~~可构造宇宙(又称“哥德尔的可构造宇宙L”、“可构造性全域”)~~'''，是哥德尔为了证明命题的一致性问题而提出的一个[[内模型]]。		'''可构造宇宙（又称“哥德尔的可构造宇宙L”、“可构造性全域”）'''，是哥德尔为了证明命题的一致性问题而提出的一个[[内模型]]。

	==== 定义 ====		==== 定义 ====

	设<math>U</math>为[[传递集]]，我们称一个<math>U</math>的[[子集]]集合<math>A</math>是在结构 <math>\langle U,\in\rangle</math>上可定义的，当且仅当存在一个公式<math>\phi(x,a_{1},a_{2},a_{3},...)</math>使得<math>X=\{x:\langle U,\in\rangle \|\phi(x,a_{1},a_{2},a_{3},...)\}</math>。我们将<math>def(U)</math>表示<math>\langle U,\in\rangle</math>上全体可定义的子集组成的集合，也称可定义幂集。可构造宇宙的定义如下：		设 <math>U</math> 为[[传递集]]，我们称一个 <math>U</math> 的[[子集]]集合 <math>A</math> 是在结构 <math>\langle U,\in\rangle</math> 上可定义的，当且仅当存在一个公式 <math>\phi(x,a_{1},a_{2},a_{3},...)</math> 使得 <math>X=\{x:\langle U,\in\rangle \|\phi(x,a_{1},a_{2},a_{3},...)\}</math>。我们将 <math>def(U)</math> 表示 <math>\langle U,\in\rangle</math> 上全体可定义的子集组成的集合，也称可定义幂集。可构造宇宙的定义如下：

	<math>L_{0}=\emptyset</math>		<math>L_{0}=\emptyset</math>
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	对于任意集合<math>a</math>，若存在<math>L_{b}</math>使得<math>a\in L_{b}</math>，则称<math>a</math>是'''可构造的'''。		对于任意集合 <math>a</math>，若存在 <math>L_{b}</math>使得 <math>a\in L_{b}</math>，则称 <math>a</math> 是'''可构造的'''。

	==== 定理 ====		==== 定理 ====

	我们可以验证，假设[[ZF]]~~是一致的，那么L是ZF的模型，且是一个真类，且Ord是L的子类。~~		我们可以验证，假设 [[ZFC公理体系\|ZF]] 是一致的，那么 L 是 ZF 的模型，且是一个真类，且 Ord 是 L 的子类。

	~~L还蕴含V~~=~~L即可构造公理，以及~~[[ZFC公理体系#选择公理\|选择公理]]~~AC和[[连续统假设\|广义连续统假设]]GCH。并且，L是ZF最小的内模型。~~		L 还蕴含 V=L 即可构造公理，以及[[ZFC公理体系#选择公理\|选择公理]] AC 和广义连续统假设 GCH。并且，L 是 ZF 最小的内模型。

	[[分类:集合论相关]]		[[分类:集合论相关]]

QWQ-bili：美化公式

2025-07-05T12:59:07Z

美化公式

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	~~可构造宇宙，又称哥德尔的可构造宇宙L，可构造性全域，是哥德尔为了证明命题的一致性问题而提出的一个内模型，其定义如下~~		'''可构造宇宙(又称“哥德尔的可构造宇宙L”、“可构造性全域”)'''，是哥德尔为了证明命题的一致性问题而提出的一个[[内模型]]。

	~~设U为传递集，我们称一个U的子集集合A是在结构<U,∈>上可定义的，当且仅当存在一个公式φ（x,a1,a2,a3,...）使得~~		==== 定义 ====

	X={~~x：<~~U,~~∈>满足φ（x~~,a1,a2,a3,...）}~~，我们将def（U）表示~~<U,∈>~~上全体可定义的子集组成的集合，也称可定义幂集~~		设<math>U</math>为[[传递集]]，我们称一个<math>U</math>的[[子集]]集合<math>A</math>是在结构 <math>\langle U,\in\rangle</math>上可定义的，当且仅当存在一个公式<math>\phi(x,a_{1},a_{2},a_{3},...)</math>使得<math>X=\{x:\langle U,\in\rangle \|\phi(x,a_{1},a_{2},a_{3},...)\}</math>。我们将<math>def(U)</math>表示<math>\langle U,\in\rangle</math>上全体可定义的子集组成的集合，也称可定义幂集。可构造宇宙的定义如下：

	~~L_0~~=空集		<math>L_{0}=\emptyset</math>

	~~L_a~~+1=~~def（L_a）~~		<math>L_{\alpha+1}=def(L_{\alpha})</math>

	~~L_a~~(a为[[极限序数]])=~~U _b~~<~~a Lb~~		<math>L_{\alpha}(\alpha</math>为[[序数#极限序数\|极限序数]]<math>)=\cup_{\beta<\alpha}\ L_{\beta}</math>

	L=~~U _a∈ord L_a~~		<math>L=\cup_{\alpha\in Ord}\ L_{\alpha}</math>

	~~对于任意集合a,若存在L_b使得a∈L_b，则称a是可构造的~~

	~~我们可以验证，假设ZF是一致的，那么L是ZF的模型，且是一个真类，且ord是L的子类~~		对于任意集合<math>a</math>，若存在<math>L_{b}</math>使得<math>a\in L_{b}</math>，则称<math>a</math>是'''可构造的'''。

	L还蕴含V=~~L即可构造公理，以及选择公理AC和广义连续统假设GCH，并且，L是ZF最小的内模型~~		==== 定理 ====

			我们可以验证，假设[[ZF]]是一致的，那么L是ZF的模型，且是一个真类，且Ord是L的子类。

			L还蕴含V=L即可构造公理，以及[[ZFC公理体系#选择公理\|选择公理]]AC和[[连续统假设\|广义连续统假设]]GCH。并且，L是ZF最小的内模型。

	[[分类:集合论相关]]		[[分类:集合论相关]]

2025年7月5日 (六) 12:34 虚妄之幻

2025-07-05T12:34:33Z

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第9行：		第9行：
	L_a+1=def（L_a）		L_a+1=def（L_a）

	L_a(~~a为极限序数~~)=U _b<a Lb		L_a(a为[[极限序数]])=U _b<a Lb

	L=U _a∈ord L_a		L=U _a∈ord L_a

虚妄之幻：可构造宇宙

2025-07-05T12:32:43Z

可构造宇宙

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可构造宇宙，又称哥德尔的可构造宇宙L，可构造性全域，是哥德尔为了证明命题的一致性问题而提出的一个内模型，其定义如下

设U为传递集，我们称一个U的子集集合A是在结构<U,∈>上可定义的，当且仅当存在一个公式φ（x,a1,a2,a3,...）使得

X={x：<U,∈>满足φ（x,a1,a2,a3,...）}，我们将def（U）表示<U,∈>上全体可定义的子集组成的集合，也称可定义幂集

L_0=空集

L_a+1=def（L_a）

L_a(a为极限序数)=U _b<a Lb

L=U _a∈ord L_a

对于任意集合a,若存在L_b使得a∈L_b，则称a是可构造的

我们可以验证，假设ZF是一致的，那么L是ZF的模型，且是一个真类，且ord是L的子类

L还蕴含V=L即可构造公理，以及选择公理AC和广义连续统假设GCH，并且，L是ZF最小的内模型

[[分类:集合论相关]]