反射序数 - 版本历史

星汐镜Littlekk：补充无界量词

2026-03-03T09:53:41Z

补充无界量词

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第8行：		第8行：
	满足如下条件之一的集合论公式称为 <math>\Delta_0</math> 公式：		满足如下条件之一的集合论公式称为 <math>\Delta_0</math> 公式：

	# ~~它不包含无界量词~~		# 它不包含无界量词（不带 “∈某集合” 限制、直接量化全体对象的 ∀ 或 ∃）
	# 它形如 <math>\varphi\land\psi,\varphi\lor\psi,\neg\varphi,\varphi\rightarrow\psi,\varphi\leftrightarrow\psi</math>，其中 <math>\varphi,\psi</math> 为 <math>\Delta_0</math> 公式		# 它形如 <math>\varphi\land\psi,\varphi\lor\psi,\neg\varphi,\varphi\rightarrow\psi,\varphi\leftrightarrow\psi</math>，其中 <math>\varphi,\psi</math> 为 <math>\Delta_0</math> 公式
	# 它形如 <math>(\exists x\in y)\varphi</math> 或 <math>(\forall x\in y)\varphi</math>，其中 <math>\varphi</math> 为 <math>\Delta_0</math> 公式		# 它形如 <math>(\exists x\in y)\varphi</math> 或 <math>(\forall x\in y)\varphi</math>，其中 <math>\varphi</math> 为 <math>\Delta_0</math> 公式

Tabelog：文字替换 -“weak Veblen 函数”替换为“weak Veblen 函数”

2025-08-26T08:25:35Z

文字替换 -“weak Veblen 函数”替换为“weak Veblen 函数”

←上一版本		2025年8月26日 (二) 16:25的版本
第95行：		第95行：
	可以继续对 <math>(1-)^{1,0}</math> 进行 1- 的操作，得到的集合记为 <math>(1-)^{1,1}</math>。<math>(1-)^{1,1}</math> 应当是全体“下标为极限序数的 <math>\varepsilon</math> 序数”的集合，即<math>(1-)^{1,1}=\{\varepsilon_\omega,\varepsilon_{\omega\times2},\dots,\varepsilon_{\omega^2},\dots,\zeta_0,\dots,\Omega,\dots\}</math>。		可以继续对 <math>(1-)^{1,0}</math> 进行 1- 的操作，得到的集合记为 <math>(1-)^{1,1}</math>。<math>(1-)^{1,1}</math> 应当是全体“下标为极限序数的 <math>\varepsilon</math> 序数”的集合，即<math>(1-)^{1,1}=\{\varepsilon_\omega,\varepsilon_{\omega\times2},\dots,\varepsilon_{\omega^2},\dots,\zeta_0,\dots,\Omega,\dots\}</math>。

	更一般地，我们在上标上使用 [[~~weak Veblen 函数\|~~weak Veblen 函数]]，记 <math>1-(1-)^{\#,\alpha}</math> 为 <math>(1-)^{\#,\alpha+1}</math>。于是，我们还可以有 <math>(1-)^{1,2},(1-)^{1,\omega},(1-)^{1,\varepsilon_0},\dots</math>。在上标遇到极限序数时，我们也仍取交集。		更一般地，我们在上标上使用 [[weak Veblen 函数]]，记 <math>1-(1-)^{\#,\alpha}</math> 为 <math>(1-)^{\#,\alpha+1}</math>。于是，我们还可以有 <math>(1-)^{1,2},(1-)^{1,\omega},(1-)^{1,\varepsilon_0},\dots</math>。在上标遇到极限序数时，我们也仍取交集。

	直到我们遇见了新的不动点。我们定义 <math>(1-)^{2,0}=\{\alpha\|\alpha=\min\ (1-)^{1,\alpha}\}</math>。借用 Veblen 函数的模式，我们还能把定义推广到 <math>(1-)^{1,0,0}</math> 等等并且还能在此基础上进行扩展。理论上，只要扩展足够强力，所有的递归序数都能像这样被表示出来。		直到我们遇见了新的不动点。我们定义 <math>(1-)^{2,0}=\{\alpha\|\alpha=\min\ (1-)^{1,\alpha}\}</math>。借用 Veblen 函数的模式，我们还能把定义推广到 <math>(1-)^{1,0,0}</math> 等等并且还能在此基础上进行扩展。理论上，只要扩展足够强力，所有的递归序数都能像这样被表示出来。

Tabelog：文字替换 -“Weak Veblen 函数”替换为“weak Veblen 函数”

2025-08-26T08:22:52Z

文字替换 -“Weak Veblen 函数”替换为“weak Veblen 函数”

←上一版本		2025年8月26日 (二) 16:22的版本
第95行：		第95行：
	可以继续对 <math>(1-)^{1,0}</math> 进行 1- 的操作，得到的集合记为 <math>(1-)^{1,1}</math>。<math>(1-)^{1,1}</math> 应当是全体“下标为极限序数的 <math>\varepsilon</math> 序数”的集合，即<math>(1-)^{1,1}=\{\varepsilon_\omega,\varepsilon_{\omega\times2},\dots,\varepsilon_{\omega^2},\dots,\zeta_0,\dots,\Omega,\dots\}</math>。		可以继续对 <math>(1-)^{1,0}</math> 进行 1- 的操作，得到的集合记为 <math>(1-)^{1,1}</math>。<math>(1-)^{1,1}</math> 应当是全体“下标为极限序数的 <math>\varepsilon</math> 序数”的集合，即<math>(1-)^{1,1}=\{\varepsilon_\omega,\varepsilon_{\omega\times2},\dots,\varepsilon_{\omega^2},\dots,\zeta_0,\dots,\Omega,\dots\}</math>。

	更一般地，我们在上标上使用 [[~~Weak~~ Veblen 函数\|~~Weak~~ Veblen 函数]]，记 <math>1-(1-)^{\#,\alpha}</math> 为 <math>(1-)^{\#,\alpha+1}</math>。于是，我们还可以有 <math>(1-)^{1,2},(1-)^{1,\omega},(1-)^{1,\varepsilon_0},\dots</math>。在上标遇到极限序数时，我们也仍取交集。		更一般地，我们在上标上使用 [[weak Veblen 函数\|weak Veblen 函数]]，记 <math>1-(1-)^{\#,\alpha}</math> 为 <math>(1-)^{\#,\alpha+1}</math>。于是，我们还可以有 <math>(1-)^{1,2},(1-)^{1,\omega},(1-)^{1,\varepsilon_0},\dots</math>。在上标遇到极限序数时，我们也仍取交集。

	直到我们遇见了新的不动点。我们定义 <math>(1-)^{2,0}=\{\alpha\|\alpha=\min\ (1-)^{1,\alpha}\}</math>。借用 Veblen 函数的模式，我们还能把定义推广到 <math>(1-)^{1,0,0}</math> 等等并且还能在此基础上进行扩展。理论上，只要扩展足够强力，所有的递归序数都能像这样被表示出来。		直到我们遇见了新的不动点。我们定义 <math>(1-)^{2,0}=\{\alpha\|\alpha=\min\ (1-)^{1,\alpha}\}</math>。借用 Veblen 函数的模式，我们还能把定义推广到 <math>(1-)^{1,0,0}</math> 等等并且还能在此基础上进行扩展。理论上，只要扩展足够强力，所有的递归序数都能像这样被表示出来。

Tabelog：文字替换 -“Veblen 函数”替换为“Veblen 函数”

2025-08-25T05:30:12Z

文字替换 -“Veblen 函数”替换为“Veblen 函数”

←上一版本		2025年8月25日 (一) 13:30的版本
第89行：		第89行：

	==== <math>(1-)^{1,0}</math> 等 ====		==== <math>(1-)^{1,0}</math> 等 ====
	上标只能放序数的情形是简单的，一个“<math>\omega^\alpha</math> 的倍数”就直接解决了。如何让情形变得更有趣呢？我们可以借用 [[~~Veblen函数\|~~Veblen 函数]]的不动点进位模式，在上标上引入多个数字，来表示不同层级的不动点。		上标只能放序数的情形是简单的，一个“<math>\omega^\alpha</math> 的倍数”就直接解决了。如何让情形变得更有趣呢？我们可以借用 [[Veblen 函数]]的不动点进位模式，在上标上引入多个数字，来表示不同层级的不动点。

	我们定义 <math>(1-)^{1,0}=\{\alpha\|\alpha=\min\ (1-)^\alpha\}</math>。根据上一节的结论，我们可以知道 <math>\min\ (1-)^\alpha=\omega^\alpha</math>。因此，<math>(1-)^{1,0}</math>是全体 <math>\varepsilon</math> 序数的集合，即 <math>\{\varepsilon_0,\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_\omega,\dots,\zeta_0,\dots,\Omega,\dots\}</math>。		我们定义 <math>(1-)^{1,0}=\{\alpha\|\alpha=\min\ (1-)^\alpha\}</math>。根据上一节的结论，我们可以知道 <math>\min\ (1-)^\alpha=\omega^\alpha</math>。因此，<math>(1-)^{1,0}</math>是全体 <math>\varepsilon</math> 序数的集合，即 <math>\{\varepsilon_0,\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_\omega,\dots,\zeta_0,\dots,\Omega,\dots\}</math>。

Tabelog：/* 递归不可达序数 */

2025-08-24T10:18:23Z

递归不可达序数

←上一版本		2025年8月24日 (日) 18:18的版本
第106行：		第106行：
	所谓容许序数，可以大致地理解为无法通过比它小的序数进行递归运算得到的序数。所谓的“无法通过比它小的序数进行递归运算得到的序数”，换用另一个更直观的概念，就是“不存在长度小于它的、递归表达的基本列的序数”。也就是说，如果我们找到了某个序数的一条长度小于它本身的基本列，就能立刻断言它不是容许序数。这为我们排除很多容许序数的备选提供了一条可行的方案。		所谓容许序数，可以大致地理解为无法通过比它小的序数进行递归运算得到的序数。所谓的“无法通过比它小的序数进行递归运算得到的序数”，换用另一个更直观的概念，就是“不存在长度小于它的、递归表达的基本列的序数”。也就是说，如果我们找到了某个序数的一条长度小于它本身的基本列，就能立刻断言它不是容许序数。这为我们排除很多容许序数的备选提供了一条可行的方案。

	最小的容许序数是 [[CKO\|Church-Kleene 序数]]，记为<math>\omega_1^{CK}</math>，在这里我们把它写作 <math>\Omega</math>——没错，就是在 [[序数坍缩函数\|OCF]] 中出现的那个。		最小的容许序数是 [[CKO\|Church-Kleene 序数]]，记为 <math>\omega_1^{CK}</math>，在这里我们把它写作 <math>\Omega</math>——没错，就是在 [[序数坍缩函数\|OCF]] 中出现的那个。

	紧接着，第二个容许序数是 <math>\omega_2^{CK}</math>，在这里写作 <math>\Omega_2</math>。它无法通过包括 <math>\Omega</math> 在内的比它小的序数通过递归运算得到，这意味着 <math>\Omega_2</math> 不是 <math>\Omega\times2,\Omega^2,\varepsilon_{\Omega+1},\varphi(\Omega,1)</math> 之类的东西，而是远远在它们之上的存在。		紧接着，第二个容许序数是 <math>\omega_2^{CK}</math>，在这里写作 <math>\Omega_2</math>。它无法通过包括 <math>\Omega</math> 在内的比它小的序数通过递归运算得到，这意味着 <math>\Omega_2</math> 不是 <math>\Omega\times2,\Omega^2,\varepsilon_{\Omega+1},\varphi(\Omega,1)</math> 之类的东西，而是远远在它们之上的存在。
第136行：		第136行：

	=== 递归不可达序数 ===		=== 递归不可达序数 ===
	''前排提示：关于 I 及多元 I 函数在 OCF 中的折叠规则，参见词条[[~~多元I函数\|多元 I 函数~~]]''		''前排提示：关于 I 及多元 I 函数在 OCF 中的折叠规则，参见词条[[递归不可达序数]]''

	我们不妨思考一下，若一个极限序数 α 足以使得 <math>\Omega_\alpha</math> 为容许序数的话，它需要满足什么条件呢？		我们不妨思考一下，若一个极限序数 α 足以使得 <math>\Omega_\alpha</math> 为容许序数的话，它需要满足什么条件呢？

2025年8月20日 (三) 08:22 Z

2025-08-20T08:22:51Z

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第410行：		第410行：

	于是我们得到：<math>2-4~2-3-4</math> 折叠任意深度的 <math>(4~2-3-4~1-)^{a,b,c,\dots}4~2-3-4</math>。		于是我们得到：<math>2-4~2-3-4</math> 折叠任意深度的 <math>(4~2-3-4~1-)^{a,b,c,\dots}4~2-3-4</math>。

			{{默认排序:非递归记号}}
	[[分类:记号]]		[[分类:记号]]

2025年8月17日 (日) 02:29 Tabelog

2025-08-17T02:29:32Z

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第89行：		第89行：

	==== <math>(1-)^{1,0}</math> 等 ====		==== <math>(1-)^{1,0}</math> 等 ====
	上标只能放序数的情形是简单的，一个“<math>\omega^\alpha</math> 的倍数”就直接解决了。如何让情形变得更有趣呢？我们可以借用 [[~~veblen函数~~\|Veblen 函数]]的不动点进位模式，在上标上引入多个数字，来表示不同层级的不动点。		上标只能放序数的情形是简单的，一个“<math>\omega^\alpha</math> 的倍数”就直接解决了。如何让情形变得更有趣呢？我们可以借用 [[Veblen函数\|Veblen 函数]]的不动点进位模式，在上标上引入多个数字，来表示不同层级的不动点。

	我们定义 <math>(1-)^{1,0}=\{\alpha\|\alpha=\min\ (1-)^\alpha\}</math>。根据上一节的结论，我们可以知道 <math>\min\ (1-)^\alpha=\omega^\alpha</math>。因此，<math>(1-)^{1,0}</math>是全体 <math>\varepsilon</math> 序数的集合，即 <math>\{\varepsilon_0,\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_\omega,\dots,\zeta_0,\dots,\Omega,\dots\}</math>。		我们定义 <math>(1-)^{1,0}=\{\alpha\|\alpha=\min\ (1-)^\alpha\}</math>。根据上一节的结论，我们可以知道 <math>\min\ (1-)^\alpha=\omega^\alpha</math>。因此，<math>(1-)^{1,0}</math>是全体 <math>\varepsilon</math> 序数的集合，即 <math>\{\varepsilon_0,\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_\omega,\dots,\zeta_0,\dots,\Omega,\dots\}</math>。

Tabelog：文字替换 -“weak veblen函数”替换为“Weak Veblen 函数”

2025-08-17T02:06:56Z

文字替换 -“weak veblen函数”替换为“Weak Veblen 函数”

←上一版本		2025年8月17日 (日) 10:06的版本
第95行：		第95行：
	可以继续对 <math>(1-)^{1,0}</math> 进行 1- 的操作，得到的集合记为 <math>(1-)^{1,1}</math>。<math>(1-)^{1,1}</math> 应当是全体“下标为极限序数的 <math>\varepsilon</math> 序数”的集合，即<math>(1-)^{1,1}=\{\varepsilon_\omega,\varepsilon_{\omega\times2},\dots,\varepsilon_{\omega^2},\dots,\zeta_0,\dots,\Omega,\dots\}</math>。		可以继续对 <math>(1-)^{1,0}</math> 进行 1- 的操作，得到的集合记为 <math>(1-)^{1,1}</math>。<math>(1-)^{1,1}</math> 应当是全体“下标为极限序数的 <math>\varepsilon</math> 序数”的集合，即<math>(1-)^{1,1}=\{\varepsilon_\omega,\varepsilon_{\omega\times2},\dots,\varepsilon_{\omega^2},\dots,\zeta_0,\dots,\Omega,\dots\}</math>。

	更一般地，我们在上标上使用 [[~~weak veblen函数~~\|Weak Veblen 函数]]，记 <math>1-(1-)^{\#,\alpha}</math> 为 <math>(1-)^{\#,\alpha+1}</math>。于是，我们还可以有 <math>(1-)^{1,2},(1-)^{1,\omega},(1-)^{1,\varepsilon_0},\dots</math>。在上标遇到极限序数时，我们也仍取交集。		更一般地，我们在上标上使用 [[Weak Veblen 函数\|Weak Veblen 函数]]，记 <math>1-(1-)^{\#,\alpha}</math> 为 <math>(1-)^{\#,\alpha+1}</math>。于是，我们还可以有 <math>(1-)^{1,2},(1-)^{1,\omega},(1-)^{1,\varepsilon_0},\dots</math>。在上标遇到极限序数时，我们也仍取交集。

	直到我们遇见了新的不动点。我们定义 <math>(1-)^{2,0}=\{\alpha\|\alpha=\min\ (1-)^{1,\alpha}\}</math>。借用 Veblen 函数的模式，我们还能把定义推广到 <math>(1-)^{1,0,0}</math> 等等并且还能在此基础上进行扩展。理论上，只要扩展足够强力，所有的递归序数都能像这样被表示出来。		直到我们遇见了新的不动点。我们定义 <math>(1-)^{2,0}=\{\alpha\|\alpha=\min\ (1-)^{1,\alpha}\}</math>。借用 Veblen 函数的模式，我们还能把定义推广到 <math>(1-)^{1,0,0}</math> 等等并且还能在此基础上进行扩展。理论上，只要扩展足够强力，所有的递归序数都能像这样被表示出来。

2025年7月29日 (二) 04:14 Tabelog

2025-07-29T04:14:23Z

←上一版本		2025年7月29日 (二) 12:14的版本
第4行：		第4行：
	''前排提醒：对数学定义不感冒或者看不懂的读者可以跳到后面''		''前排提醒：对数学定义不感冒或者看不懂的读者可以跳到后面''

	~~为了说明反射序数的性质，我们先要对[[一阶逻辑]]的结构进行更加细致的讨论。下面我们根据命题中无界量词的性质，给出公式的层次：~~		根据命题中无界量词的性质，给出公式的层次：

	满足如下条件之一的集合论公式称为 <math>\Delta_0</math> 公式		满足如下条件之一的集合论公式称为 <math>\Delta_0</math> 公式：

	# 它不包含无界量词		# 它不包含无界量词
第12行：		第12行：
	# 它形如 <math>(\exists x\in y)\varphi</math> 或 <math>(\forall x\in y)\varphi</math>，其中 <math>\varphi</math> 为 <math>\Delta_0</math> 公式		# 它形如 <math>(\exists x\in y)\varphi</math> 或 <math>(\forall x\in y)\varphi</math>，其中 <math>\varphi</math> 为 <math>\Delta_0</math> 公式

	<math>\Delta_0</math> ~~公式中的所有量词都是有界的。对于那些包含无界量词的公式，我们给出如下的递归定义：~~		<math>\Delta_0</math> 公式中的所有量词都是有界的。

	<math>\Sigma_n</math> 公式及 <math>\Pi_n</math> 公式定义如下：		<math>\Sigma_n</math> 公式及 <math>\Pi_n</math> 公式定义如下：
第20行：		第20行：
	# 如果 <math>\varphi</math> 为 <math>\Sigma_n</math> 公式，则 <math>\forall x_1\cdots\forall x_m\varphi</math> 为 <math>\Pi_{n+1}</math> 公式。		# 如果 <math>\varphi</math> 为 <math>\Sigma_n</math> 公式，则 <math>\forall x_1\cdots\forall x_m\varphi</math> 为 <math>\Pi_{n+1}</math> 公式。

	~~反射序数是具有某种特殊反射性质的序数。下面我们给出反射的定义：~~		反射的定义：

	L 为[[可构造宇宙]]，<math>L_\alpha</math> 在 X 上反射了公式 <math>\varphi</math>，是说 <math>L_\alpha\models\varphi\Rightarrow\exists\beta\in(X\cap\alpha)L_\beta\models\varphi</math>。		L 为[[可构造宇宙]]，<math>L_\alpha</math> 在 X 上反射了公式 <math>\varphi</math>，是说 <math>L_\alpha\models\varphi\Rightarrow\exists\beta\in(X\cap\alpha)L_\beta\models\varphi</math>。若 <math>L_\alpha</math> 在 X 上反射了所有的 <math>\Pi_n(\Sigma_n)</math> 公式，则称 α 是 X 上的 <math>\Pi_n(\Sigma_n)</math> 序数。特别的，若 <math>L_\alpha</math> 在所有序数上反射了所有的 <math>\Pi_n(\Sigma_n)</math> 公式，则称 α 是 <math>\Pi_n(\Sigma_n)</math> 序数。

	~~我们进一步给出如下定义：~~		或者说，一个序数 <math>\beta</math> 被称为 <math>X</math> 上的 <math>\Gamma-\text{反射序数}</math>，当且仅当 <math>\forall\psi\in\Gamma(L_\beta\models\psi\Rightarrow\exists\gamma\in(X\cap\beta)(L_\gamma\models\psi))</math>。

	若 <math>L_\~~alpha~~</math> ~~在 X 上反射了所有的~~ <math>~~\Pi_n(\Sigma_n)~~</math> ~~公式，则称 α 是 X~~ 上的 <math>\~~Pi_n(~~\~~Sigma_n)~~</math> ~~序数。~~

	~~特别的，若~~ <math>L_\~~alpha</math> 在所有序数上反射了所有的 <math>~~\~~Pi_n~~(\~~Sigma_n~~)~~</math> 公式，则称 α 是 <math>~~\~~Pi_n(~~\~~Sigma_n~~)</math> ~~序数。~~

	关于反射序数有如下的重要结论：		关于反射序数有如下的重要结论：

	α 是 X 上的 <math>\Pi_n</math> 反射序数，等价于 α 是 X 上的 <math>\Sigma_{n+1}</math> ~~反射序数~~		* α 是 X 上的 <math>\Pi_n</math> 反射序数，等价于 α 是 X 上的 <math>\Sigma_{n+1}</math> 反射序数（也就是说，我们只需要研究集合上的 <math>\Pi_n</math> 反射序数即可）
			* α 是 X 上的 <math>\Pi_0</math> 反射序数，等价于 α 是 X 上的 <math>\Pi_1</math> 反射序数，等价于 α 是 X 上的极限点
	~~也就是说，我们只需要研究集合上的~~ <math>\Pi_n</math> ~~反射序数即可。进一步的有~~		* α 是 X 上的 <math>\Pi_2</math> 反射序数，等价于 α 是 X 上的容许序数

	α 是 X 上的 <math>\Pi_0</math> 反射序数，等价于 α 是 X 上的 <math>\Pi_1</math> 反射序数，等价于 α 是 X ~~上的极限点。~~

	~~在一些资料中，会出现~~ <math>\Pi_0</math> 反射等价于全体序数的说法。这是错误的。事实上，如果我们想要写出全体序数，应该写出 <math>\bold{Ord}</math>（或 <math>\bold{On}</math>）。		注：在一些资料中，会出现 <math>\Pi_0</math> 反射等价于全体序数的说法。这是错误的。事实上，如果我们想要写出全体序数，应该写出 <math>\bold{Ord}</math>（或 <math>\bold{On}</math>）

	~~我们还有结论：α 是 X 上的 <math>\Pi_2</math> 反射序数，等价于 α 是 X 上的容许序数。~~

	== 结构讲解 ==		== 结构讲解 ==
第50行：		第42行：

	方便起见，我们把 <math>\Pi_n\ \mathrm{onto}\ X</math> 简写为 n-X 。这里的 n 是自然数， X 是被操作的集合。特殊地，当 X 为全体序数，我们直接将它省略不写，此时的结果直接记为 n 。也就是说，在反射模式中， 1 可以用来表示 <math>\Pi_1\ \mathrm{onto}\ \bold{Ord}</math> 的结果，以此类推。		方便起见，我们把 <math>\Pi_n\ \mathrm{onto}\ X</math> 简写为 n-X 。这里的 n 是自然数， X 是被操作的集合。特殊地，当 X 为全体序数，我们直接将它省略不写，此时的结果直接记为 n 。也就是说，在反射模式中， 1 可以用来表示 <math>\Pi_1\ \mathrm{onto}\ \bold{Ord}</math> 的结果，以此类推。

			即：<math>\Gamma-\text{ref. onto }X</math> 定义为所有 X 上的 Γ-反射序数的集合。

	==== ∩ ====		==== ∩ ====

2025年7月29日 (二) 04:01 Tabelog

2025-07-29T04:01:23Z

显示更改

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星汐镜Littlekk：​补充 无界量词

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