初等序列系统 - 版本历史

2025年8月20日 (三) 08:22 Z

2025-08-20T08:22:05Z

←上一版本		2025年8月20日 (三) 16:22的版本
第93行：		第93行：

	== 参考资料 ==		== 参考资料 ==
	<references />		<references />{{默认排序:序数记号}}

	[[分类:入门]]		[[分类:入门]]
	[[分类:记号]]		[[分类:记号]]

2025年8月4日 (一) 05:02 Zhy137036

2025-08-04T05:02:10Z

←上一版本		2025年8月4日 (一) 13:02的版本
第73行：		第73行：

	我们就成功地展开了一个 PrSS 表达式。		我们就成功地展开了一个 PrSS 表达式。

			=== PrSS 良序性的证明 ===
			参见 [[PrSS的良序性]]。

	=== 与康托范式的对应 ===		=== 与康托范式的对应 ===

Tabelog：修正参考资料

2025-07-30T05:18:47Z

修正参考资料

←上一版本		2025年7月30日 (三) 13:18的版本
第1行：		第1行：
	<div style="word-wrap: break-word;text-wrap: pretty;color: var(--color-subtle);font-style: italic;width:Fit-content;padding:1rem 1rem 2rem 1rem;border-left:solid #00000030 5px;background-color:var(--color-surface-2)">PrSS 虽然结构简单，但是却是目前已知的最强大的递归核心的基础．<ref>曹知秋. 大数理论~~: Vol~~.1[EB/OL]. ~~(2025-05-16) [2025-07-02]:~~ 53-54. https://github.com/ZhiqiuCao/Googology</ref><br /><span style='float:right'><del>------</del> 曹知秋</span></div>		<div style="word-wrap: break-word;text-wrap: pretty;color: var(--color-subtle);font-style: italic;width:Fit-content;padding:1rem 1rem 2rem 1rem;border-left:solid #00000030 5px;background-color:var(--color-surface-2)">PrSS 虽然结构简单，但是却是目前已知的最强大的递归核心的基础．<ref>曹知秋. 大数理论. ''(EB/OL)'', Vol.1, pp.53-54. https://github.com/ZhiqiuCao/Googology</ref><br /><span style='float:right'><del>------</del> 曹知秋</span></div>

	'''初等序列系统（Primative Sequence System, PrSS）'''是一种 [[Beklemishev's Worm\|Worm]] 型[[序数记号]]。		'''初等序列系统（Primative Sequence System, PrSS）'''是一种 [[Beklemishev's Worm\|Worm]] 型[[序数记号]]。
第87行：		第87行：

	=== 历史 ===		=== 历史 ===
	在 2014.8.14，Bashicu 首次提出并使用 Basic 语言定义了 PrSS。<ref>Bashicu. basic言語で巨大数を作ってみたので上げてみる[EB/OL~~]. 2014, 08/14:109~~. https://gyafun.jp/ln/archive/ln10.html</ref>		在 2014.8.14，Bashicu 首次提出并使用 Basic 语言定义了 PrSS。<ref>Bashicu, H. (2014). basic言語で巨大数を作ってみたので上げてみる [I tried creating a huge number in basic language, so I thought I'd share it.]. ''(EB/OL)''. https://gyafun.jp/ln/archive/ln10.html</ref>

	== 参考资料 ==		== 参考资料 ==

2025年7月29日 (二) 11:26 Tabelog

2025-07-29T11:26:44Z

←上一版本		2025年7月29日 (二) 19:26的版本
第3行：		第3行：
	'''初等序列系统（Primative Sequence System, PrSS）'''是一种 [[Beklemishev's Worm\|Worm]] 型[[序数记号]]。		'''初等序列系统（Primative Sequence System, PrSS）'''是一种 [[Beklemishev's Worm\|Worm]] 型[[序数记号]]。

	== 定义 ==		=== 定义 ===

	=== 合法式 ===		==== 合法式 ====
	一个'''合法'''的 PrSS 表达式是形如 <math>S=(s_{1},s_{2},\cdots,s_{n})\|n,s_{1},s_{2},\cdots,s_{n}\in\mathbb{N}</math>		一个'''合法'''的 PrSS 表达式是形如 <math>S=(s_{1},s_{2},\cdots,s_{n})\|n,s_{1},s_{2},\cdots,s_{n}\in\mathbb{N}</math>

	且满足 <math>s_1=0,s_{k+1}-s_k\leqslant1(k=1,2,\cdots n-1)</math> 的自然数列<ref group="注">实际上，以 1 序列开头的 PrSS 也是被广为接受的，其更多被用于表示阶差型序列．但无论 0 或 1 为开头，均不影响 PrSS 的展开方式与极限．</ref>（特别地，空序列 <math>()</math> 是合法的 PrSS 表达式）		且满足 <math>s_1=0,s_{k+1}-s_k\leqslant1(k=1,2,\cdots n-1)</math> 的自然数列（特别地，空序列 <math>()</math> 是合法的 PrSS 表达式）

			实际上，以 1 序列开头的 PrSS 也是被广为接受的，其更多被用于表示阶差型序列。但无论 0 或 1 为开头，均不影响 PrSS 的展开方式与极限。

	'''例：'''		'''例：'''
第16行：		第18行：
	* <math>(0,2,4,6,8)</math> 不是一个合法的 PrSS 表达式，因为不满足条件 <math>s_{k+1}-s_k\leqslant1</math>		* <math>(0,2,4,6,8)</math> 不是一个合法的 PrSS 表达式，因为不满足条件 <math>s_{k+1}-s_k\leqslant1</math>

	=== 结构 ===		==== 结构 ====
	合法的 PrSS 表达式可以分为零表达式、后继表达式、极限表达式，其定义如下：		合法的 PrSS 表达式可以分为零表达式、后继表达式、极限表达式，其定义如下：

第29行：		第31行：
	# 坏根（Bad Root）		# 坏根（Bad Root）
	# 好部（Good Part）		# 好部（Good Part）
			'''末项：'''对于最大下标为 <math>n</math> 的 PrSS 表达式 <math>S=(s_{1},s_{2},\cdots,s_{n})</math>，其末项 <math>L=s_{n}</math>，即 <math>S=(s_{1},s_{2},\cdots,L)</math>

	~~==== 末项 ====~~		'''坏根：'''对于 <math>S=(s_{1},s_{2},\cdots,s_{n})\|L=s_{n}</math>，令 <math>k=\max\{1 \leq k < n\|s_{k}<s_{n}\}</math>，那么坏根定义为 <math>r=s_{k}</math>，即 <math>S=(s_{1},s_{2},\cdots,r,\cdots,L)</math>
	~~对于最大下标为 <math>n</math> 的 PrSS 表达式 <math>S=(s_{1},s_{2},\cdots,s_{n})</math>，其末项 <math>L=s_{n}</math>，即 <math>S=(s_{1},s_{2},\cdots,L)</math>~~

	~~==== 坏根 ====~~
	对于 <math>S=(s_{1},s_{2},\cdots,s_{n})\|L=s_{n}</math>，令 <math>k=\max\{1 \leq k < n\|s_{k}<s_{n}\}</math>，那么坏根定义为 <math>r=s_{k}</math>，即 <math>S=(s_{1},s_{2},\cdots,r,\cdots,L)</math>

	通俗的说，是最靠右的小于末项的项。		通俗的说，是最靠右的小于末项的项。
第40行：		第39行：
	因为极限表达式满足 <math>L=s_n>0</math> 且 <math>s_1=0</math>，所以坏根总是存在的。		因为极限表达式满足 <math>L=s_n>0</math> 且 <math>s_1=0</math>，所以坏根总是存在的。

	~~==== 坏部 ====~~		'''坏部：'''对于 <math>S=(s_{1},s_{2},\cdots,s_{k},\cdots,s_{n})\|L=s_{n},r=s_{k}</math>，坏部定义为 <math>B=(s_{k},s_{k+1},\cdots,s_{n-1})</math>，即 <math>S=(s_{1},s_{2},\cdots,s_{k-1},B,L)</math>
	对于 <math>S=(s_{1},s_{2},\cdots,s_{k},\cdots,s_{n})\|L=s_{n},r=s_{k}</math>，坏部定义为 <math>B=(s_{k},s_{k+1},\cdots,s_{n-1})</math>，即 <math>S=(s_{1},s_{2},\cdots,s_{k-1},B,L)</math>

	通俗地说，是坏根（含）到末项（不含）的部分。坏部最短为 1 项。		通俗地说，是坏根（含）到末项（不含）的部分。坏部最短为 1 项。

	~~==== 好部 ====~~		'''好部：'''对于 <math>S=(s_{1},s_{2},\cdots,s_{k},\cdots,s_{n})\|L=s_{n},r=s_{k}</math>，好部定义为 <math>G=(s_{1},s_{2},\cdots,s_{k-1})</math>，即 <math>S=(G,B,L)</math>
	对于 <math>S=(s_{1},s_{2},\cdots,s_{k},\cdots,s_{n})\|L=s_{n},r=s_{k}</math>，好部定义为 <math>G=(s_{1},s_{2},\cdots,s_{k-1})</math>，即 <math>S=(G,B,L)</math>

	通俗地说，好部是坏部之前的部分。好部可以为空。		通俗地说，好部是坏部之前的部分。好部可以为空。

	== 展开 ==		=== 展开 ===
	PrSS 的良序性已经得到证明，且其标准式的序等价于字典序，因此所有标准的 PrSS 表达式都一一对应着一个序数．		PrSS 的良序性已经得到证明，且其标准式的序等价于字典序，因此所有标准的 PrSS 表达式都一一对应着一个序数．

第77行：		第74行：
	我们就成功地展开了一个 PrSS 表达式。		我们就成功地展开了一个 PrSS 表达式。

	== 与康托范式的对应 ==		=== 与康托范式的对应 ===
	参见词条 [[PrSS VS 康托范式]]。		参见词条 [[PrSS VS 康托范式]]。

	== 拓展 ==		=== 拓展 ===
	PrSS 记号有两种拓展：		PrSS 记号有两种拓展：
	* 高维 PrSS，如 PrSS 原作者所创的 [[BMS]]		* 高维 PrSS，如 PrSS 原作者所创的 [[BMS]]
	* 阶差 PrSS ，有两种形式：		* 阶差 PrSS ，有两种形式：
	** [[长初等序列\|LPrSS]] 及各种 [[Hydra]] 记号		** [[长初等序列\|LPrSS]] 及各种 [[Kirby-Paris Hydra\|Hydra]] 记号
	** [[HPrSS]]，[[0-Y]]，[[Y序列]] 等复杂阶差型记号		** [[HPrSS]]，[[0-Y]]，[[Y序列]] 等复杂阶差型记号

	它们以 PrSS 序列为基础，刻画了非常巨大的序数。		它们以 PrSS 序列为基础，刻画了非常巨大的序数。

	== 历史 ==		=== 历史 ===
	在 2014.8.14，Bashicu 首次提出并使用 Basic 语言定义了 PrSS。<ref>Bashicu. basic言語で巨大数を作ってみたので上げてみる[EB/OL]. 2014, 08/14:109. https://gyafun.jp/ln/archive/ln10.html</ref>		在 2014.8.14，Bashicu 首次提出并使用 Basic 语言定义了 PrSS。<ref>Bashicu. basic言語で巨大数を作ってみたので上げてみる[EB/OL]. 2014, 08/14:109. https://gyafun.jp/ln/archive/ln10.html</ref>

	~~== 脚注 ==~~
	~~<references group="注" />~~

	== 参考资料 ==		== 参考资料 ==

2025年7月27日 (日) 08:05 Tabelog

2025-07-27T08:05:40Z

显示更改

2025年7月6日 (日) 06:33 Z

2025-07-06T06:33:55Z

←上一版本		2025年7月6日 (日) 14:33的版本
第1行：		第1行：
	<div style="word-wrap: break-word;text-wrap: pretty;color: var(--color-subtle);font-style: italic;width:Fit-content;padding:1rem 1rem 2rem 1rem;border-left:solid #00000030 5px;background-color:var(--color-surface-2)">PrSS 虽然结构简单，但是却是目前已知的最强大的递归核心的基础．<ref>曹知秋. 大数理论: Vol.1[EB/OL]. (2025-05-16) [2025-07-02]: 53-54. https://github.com/ZhiqiuCao/Googology</ref><br /><span style='float:right'><del>------</del> 曹知秋</span></div>		<div style="word-wrap: break-word;text-wrap: pretty;color: var(--color-subtle);font-style: italic;width:Fit-content;padding:1rem 1rem 2rem 1rem;border-left:solid #00000030 5px;background-color:var(--color-surface-2)">PrSS 虽然结构简单，但是却是目前已知的最强大的递归核心的基础．<ref>曹知秋. 大数理论: Vol.1[EB/OL]. (2025-05-16) [2025-07-02]: 53-54. https://github.com/ZhiqiuCao/Googology</ref><br /><span style='float:right'><del>------</del> 曹知秋</span></div>

	'''初等序列系统（Primative Sequence System, PrSS）'''是一种 [[Worm]] 型[[序数记号]]．		'''初等序列系统（Primative Sequence System, PrSS）'''是一种 [[Beklemishev's Worm\|Worm]] 型[[序数记号]]．

	== 定义 ==		== 定义 ==

Zhy137036：/* 合法式 */

2025-07-05T09:59:11Z

合法式

←上一版本		2025年7月5日 (六) 17:59的版本
第12行：		第12行：
	且满足以下条件的自然数列：		且满足以下条件的自然数列：

	<math>\langle \text{1} \rangle\ \quad s_{1}=0.</math><ref group="注">实际上，以 1 序列开头的 PrSS 也是被广为接受的，其更多被用于表示阶差型序列．但无论 0 或 1 为开头，均不影响 PrSS 的展开方式与极限．</ref>		<math>\langle \text{1} \rangle\ \quad s_{1}=0\quad\text{if }n>0.</math><ref group="注">实际上，以 1 序列开头的 PrSS 也是被广为接受的，其更多被用于表示阶差型序列．但无论 0 或 1 为开头，均不影响 PrSS 的展开方式与极限．</ref>

	<math>\langle \text{2} \rangle\ \quad s_{k+1}-s_{k}\leq 1\quad\forall k\in\{1,2\cdots,n-1\}.</math>		<math>\langle \text{2} \rangle\ \quad s_{k+1}-s_{k}\leq 1\quad\forall k\in\{1,2\cdots,n-1\}.</math>

Zhy137036：把PrSS vs Cantor范式的互译方法搬到隔壁

2025-07-05T05:39:07Z

把PrSS vs Cantor范式的互译方法搬到隔壁

←上一版本		2025年7月5日 (六) 13:39的版本
第1行：		第1行：
	<div style="word-wrap: break-word;text-wrap: pretty;color: var(--color-subtle);font-style: italic;width:Fit-content;padding:1rem 1rem 2rem 1rem;border-left:solid #00000030 5px;background-color:var(--color-surface-2)">PrSS ~~虽然结构简单，但是却是目前已知的最强大的递归核心的基础。~~<ref>曹知秋. 大数理论: Vol.1[EB/OL]. (2025-05-16) [2025-07-02]: 53-54. https://github.com/ZhiqiuCao/Googology</ref><br /><span style='float:right'><del>------</del> 曹知秋</span></div>		<div style="word-wrap: break-word;text-wrap: pretty;color: var(--color-subtle);font-style: italic;width:Fit-content;padding:1rem 1rem 2rem 1rem;border-left:solid #00000030 5px;background-color:var(--color-surface-2)">PrSS 虽然结构简单，但是却是目前已知的最强大的递归核心的基础．<ref>曹知秋. 大数理论: Vol.1[EB/OL]. (2025-05-16) [2025-07-02]: 53-54. https://github.com/ZhiqiuCao/Googology</ref><br /><span style='float:right'><del>------</del> 曹知秋</span></div>

	'''初等序列系统（Primative Sequence System, PrSS）'''是一种 [[Worm]] 型[[序数记号]]。		'''初等序列系统（Primative Sequence System, PrSS）'''是一种 [[Worm]] 型[[序数记号]]．

	== 定义 ==		== 定义 ==
第12行：		第12行：
	且满足以下条件的自然数列：		且满足以下条件的自然数列：

	<math>\langle \text{1} \rangle\ \quad s_{1}=0.</math><ref group="注">实际上，以 1 序列开头的 PrSS ~~也是被广为接受的，其更多被用于表示阶差型序列。但无论~~ 0 或 1 为开头，均不影响 PrSS ~~的展开方式与极限。~~</ref>		<math>\langle \text{1} \rangle\ \quad s_{1}=0.</math><ref group="注">实际上，以 1 序列开头的 PrSS 也是被广为接受的，其更多被用于表示阶差型序列．但无论 0 或 1 为开头，均不影响 PrSS 的展开方式与极限．</ref>

	<math>\langle \text{2} \rangle\ \quad s_{k+1}-s_{k}\leq 1\quad\forall k\in\{1,2\cdots,n-1\}.</math>		<math>\langle \text{2} \rangle\ \quad s_{k+1}-s_{k}\leq 1\quad\forall k\in\{1,2\cdots,n-1\}.</math>
第46行：		第46行：

	<math>S=(s_{1},s_{2},\cdots,r,\cdots,L).</math>		<math>S=(s_{1},s_{2},\cdots,r,\cdots,L).</math>
	~~通俗的说，是最靠右的小于末项的项。~~		通俗的说，是最靠右的小于末项的项．

	因为极限表达式满足 <math>L=s_n>0</math> 且 <math>s_1=0</math>~~，所以坏根总是存在的。~~		因为极限表达式满足 <math>L=s_n>0</math> 且 <math>s_1=0</math>，所以坏根总是存在的．

	==== 坏部 ====		==== 坏部 ====
第55行：		第55行：
	<math>S=(s_{1},s_{2},\cdots,s_{k-1},B,L)</math>		<math>S=(s_{1},s_{2},\cdots,s_{k-1},B,L)</math>

	通俗地说，是坏根(含)到末项(不含)~~的部分。坏部最短为~~ 1 项。		通俗地说，是坏根(含)到末项(不含)的部分．坏部最短为 1 项．

	==== 好部 ====		==== 好部 ====
第62行：		第62行：
	<math>S=(G,B,L).</math>		<math>S=(G,B,L).</math>

	~~通俗地说，好部是坏部之前的部分。好部可以为空。~~		通俗地说，好部是坏部之前的部分．好部可以为空．

	== 展开 ==		== 展开 ==
	PrSS 的良序性已经得到证明，且其标准式的序等价于字典序，因此所有标准的 PrSS ~~表达式都一一对应着一个序数。~~		PrSS 的良序性已经得到证明，且其标准式的序等价于字典序，因此所有标准的 PrSS 表达式都一一对应着一个序数．
	对于一个合法的 PrSS 表达式 <math>S=(s_1,s_2,\ldots,s_{n-1},s_n)</math>，其展开规则如下：		对于一个合法的 PrSS 表达式 <math>S=(s_1,s_2,\ldots,s_{n-1},s_n)</math>，其展开规则如下：

第78行：		第78行：
	末项是标绿的 <math>{\color{green}3}</math>，坏根是从右往左数第一个比 <math>{\color{green}3}</math> 小的数，也就是标红色的 <math>{\color{red}2}</math>.		末项是标绿的 <math>{\color{green}3}</math>，坏根是从右往左数第一个比 <math>{\color{green}3}</math> 小的数，也就是标红色的 <math>{\color{red}2}</math>.

	接下来，根据坏部的定义可以知道坏部是 <math>(2,3,3)</math>。		接下来，根据坏部的定义可以知道坏部是 <math>(2,3,3)</math>．

	坏根之前的好部不用管，将末项抛弃		坏根之前的好部不用管，将末项抛弃
第88行：		第88行：
	<math>S=(0,1,{\color{red}2},3,3,{\color{red}2},3,3,{\color{red}2},3,3,\cdots)</math>		<math>S=(0,1,{\color{red}2},3,3,{\color{red}2},3,3,{\color{red}2},3,3,\cdots)</math>

	我们就成功地展开了一个 PrSS ~~表达式。~~		我们就成功地展开了一个 PrSS 表达式．

	~~== 枚举 ==~~
	~~参见词条[[PrSS VS 康托范式]]~~

	== 与康托范式的对应 ==		== 与康托范式的对应 ==
	~~PrSS 和~~[[康托范式]]~~之间存在直接的转换关系．下面介绍 PrSS 到康托范式的转换：~~		参见词条 [[PrSS VS 康托范式]]．

	对于待转换的 PrSS 表达式 <math>S</math>，首先找到 <math>S</math> 中所有的项 <math>0</math>，以这些 <math>0</math> 为起点把 <math>S</math> 分为若干个以 <math>0</math> 开头的子表达式，并在中间用加号连接．如果一个子表达式只有一项，即 <math>(0)</math>，则将其变为 <math>1</math>．否则，将 <math>(0,X)</math> 变换为 <math>\omega^{X'}</math>，其中 <math>X'</math> 是将 <math>X</math> 中所有的项都减一后得到的表达式．

	~~然后继续对 <math>X'</math> 递归地进行操作，直到无法操作为止，就得到了对应的康托范式．~~

	例如 PrSS 表达式 <math>(0,1,2,2,0,1,2,1,1,0,1,2,1,1,0,1,1,1)</math>，首先把它分为若干个 <math>0</math> 开头的子表达式并用加号连接，得到 <math>(0,1,2,2)+(0,1,2,1,1)+(0,1,2,1,1)+(0,1,1,1)</math>，随后将每个子表达式按照 <math>(0,X)\mapsto\omega^{X'}</math> 的形式变换，得到 <math>\omega^{(0,1,1)} +\omega ^{(0,1,0,0)}+\omega^{(0,1,0,0)}+\omega^{(0,0,0)}</math>．随后，把指数上的 PrSS 继续递归变换．<math>(0,1,1)</math> 变换为 <math>\omega^{(0,0)}=\omega^{1+1}=\omega^2</math>．<math>(0,1,0,0)</math> 变换为 <math>\omega^1+1+1=\omega+2</math>．而 <math>(0,0,0)</math> 就是 <math>1+1+1=3</math>．因此我们便得到了 <math>(0,1,2,2,0,1,2,1,1,0,1,2,1,1,0,1,1,1)</math> 对应的康托范式 <math>\omega^{\omega^2}+\omega^{\omega+2}\times 2+\omega^3</math>．


	~~<math></math>~~

	== 拓展 ==		== 拓展 ==
第112行：		第100行：
	** [[HPrSS]]，[[0-Y]]，[[Y序列]] 等复杂阶差型记号.		** [[HPrSS]]，[[0-Y]]，[[Y序列]] 等复杂阶差型记号.

	它们以 PrSS ~~序列为基础，刻画了非常巨大的序数。~~		它们以 PrSS 序列为基础，刻画了非常巨大的序数．

	== 历史 ==		== 历史 ==

2025年7月4日 (五) 23:28 Z

2025-07-04T23:28:28Z

@@ 第91行： / 第91行： @@
 == 枚举 ==
-在按照字典序对所有的 PrSS 标准式进行排序之后，我们可以用序数对这些序列逐个进行标号，每个序列都与一个序数一一对应。事实上，这种对应关系要远比相应的大数函数增长率的对应关系要更本质。
+参见词条[[PrSS VS 康托范式]]
 == 与康托范式的对应 ==

Zhy137036：/* 与康托范式的对应 */ 和上文统一为0开头的PrSS

2025-07-04T15:20:12Z

与康托范式的对应：和上文统一为0开头的PrSS

←上一版本		2025年7月4日 (五) 23:20的版本
第188行：		第188行：

	== 与康托范式的对应 ==		== 与康托范式的对应 ==
	~~PrSS和~~[[康托范式]]~~之间存在直接的转换关系。下面介绍PrSS到康托范式的转换：~~		PrSS 和[[康托范式]]之间存在直接的转换关系．下面介绍 PrSS 到康托范式的转换：

	对于待转换的PrSS表达式S，首先找到S中所有的项1，把S分为若干个1开头的PrSS式子，并在中间用加号连接。如果一个式子只有一个1，则不再变换。否则，将<math>1,X</math>变换为<math>\omega^{X'}</math>~~，其中X~~'~~是将X中所有的项都减一后得到的东西。~~		对于待转换的 PrSS 表达式 <math>S</math>，首先找到 <math>S</math> 中所有的项 <math>0</math>，以这些 <math>0</math> 为起点把 <math>S</math> 分为若干个以 <math>0</math> 开头的子表达式，并在中间用加号连接．如果一个子表达式只有一项，即 <math>(0)</math>，则将其变为 <math>1</math>．否则，将 <math>(0,X)</math> 变换为 <math>\omega^{X'}</math>，其中 <math>X'</math> 是将 <math>X</math> 中所有的项都减一后得到的表达式．

	~~然后继续对X~~'~~递归的进行操作，直到无法操作为止，就得到了对应的康托范式~~		然后继续对 <math>X'</math> 递归地进行操作，直到无法操作为止，就得到了对应的康托范式．

	~~比如PrSS表达式1~~,2,3,3,1,2,3,2,2,1,2,3,2,2,1,2,~~2,2,首先把它分为若干个1开头的式子并用+连接，得到~~<math>1,2,3,3+1,2,3,2,2+1,2,3,2,2+1,2,2,2</math>~~,随后将每个1开头的部分1,X变换,得到~~<math>\omega^{1,~~2,2~~} +\omega ^{1,2,~~1,1~~} +\omega ^{1,~~2,1~~,1}+\omega^{1,1,1}</math>~~.随后，把指数上的PrSS继续递归变换。1~~,2,~~2变换为~~<math>\omega ^{1,1}=\omega ^{1+1}</math>。1,2,1,~~1变换为~~<math>\omega^1+1+1</math>。1,1~~,1就是1~~+1+~~1。因此我们便得到了1~~,2,3,3,1,2,3,2,2,1,2,3,2,2,1,2,~~2,2对应的康托范式~~<math>\omega^{\omega^2}+\omega^{\omega +2}\~~times2~~+\omega^3</math>.		例如 PrSS 表达式 <math>(0,1,2,2,0,1,2,1,1,0,1,2,1,1,0,1,1,1)</math>，首先把它分为若干个 <math>0</math> 开头的子表达式并用加号连接，得到 <math>(0,1,2,2)+(0,1,2,1,1)+(0,1,2,1,1)+(0,1,1,1)</math>，随后将每个子表达式按照 <math>(0,X)\mapsto\omega^{X'}</math> 的形式变换，得到 <math>\omega^{(0,1,1)} +\omega ^{(0,1,0,0)}+\omega^{(0,1,0,0)}+\omega^{(0,0,0)}</math>．随后，把指数上的 PrSS 继续递归变换．<math>(0,1,1)</math> 变换为 <math>\omega^{(0,0)}=\omega^{1+1}=\omega^2</math>．<math>(0,1,0,0)</math> 变换为 <math>\omega^1+1+1=\omega+2</math>．而 <math>(0,0,0)</math> 就是 <math>1+1+1=3</math>．因此我们便得到了 <math>(0,1,2,2,0,1,2,1,1,0,1,2,1,1,0,1,1,1)</math> 对应的康托范式 <math>\omega^{\omega^2}+\omega^{\omega+2}\times 2+\omega^3</math>．


			<math></math>

	== 拓展 ==		== 拓展 ==