初等嵌入 - 版本历史

2025年8月17日 (日) 01:59 Tabelog

2025-08-17T01:59:26Z

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	=== ~~非平凡初等嵌入~~ ===		'''初等嵌入'''（Elementary Embedding）是模型论中的一个核心概念，用于描述两个结构之间的映射，该映射不仅保持结构的基本组成（如函数和关系），还严格保持所有一阶逻辑公式的真值。
	设 <math>M,N</math> ~~为[[传递集~~#~~传递类（Transitive Class）\|传递类]]，且满足 [[ZFC公理体系\|ZF~~<~~sup~~>−</~~sup~~>~~]]。映射~~ <math>j:M\~~rightarrow N~~</math> ~~称为初等嵌入，当且仅当对任意一阶公式~~ <math>\varphi(x_1,x_2,\cdots,x_n)</math> 及所有 <math>a_1,a_2,\cdots,a_n\in M</math>，有：<math>M\models\varphi[a_1,a_2,\cdots,a_n]\Rightarrow N\models\varphi[j(a_1),j(a_2),\cdots,j(a_n)]</math>
			=== 定义 ===
			设 L 为一阶语言，M 和 N 是两个 L-结构（即[[模型]]）。一个映射 <math>j:M\rightarrow N</math> 称为从 M 到 N 的初等嵌入，当且仅当以下条件成立：

			# 单射性：j 是单射（对不同的 <math>a,b\in M</math>，有 <math>j(a)\neq j(b)</math>）。
			# 初等性：对任意一阶公式 <math>\varphi(x_1,x_2,\cdots,x_n)</math> 及所有 <math>a_1,a_2,\cdots,a_n\in M</math>，有：<math>M\models\varphi[a_1,a_2,\cdots,a_n]\Rightarrow N\models\varphi[j(a_1),j(a_2),\cdots,j(a_n)]</math>

	进一步，<math>j</math> 称为'''非平凡初等嵌入'''，当且仅当存在 <math>x\in M</math> 使得 <math>j(x)\neq x</math>。		进一步，<math>j</math> 称为'''非平凡初等嵌入'''，当且仅当存在 <math>x\in M</math> 使得 <math>j(x)\neq x</math>。

			也可以要求 M 和 N 为[[传递集#传递类（Transitive Class）\|传递类]]，且满足 [[ZFC公理体系\|ZF<sup>−</sup>]]。

	=== 临界点 ===		=== 临界点 ===
第16行：		第23行：

	更具体地，Kunen 证明：对任意序数 <math>\lambda</math>，不存在非平凡初等嵌入 <math>j:V_{\lambda+2}\rightarrow V_{\lambda+2}</math> 使得 V 满足 ZFC。		更具体地，Kunen 证明：对任意序数 <math>\lambda</math>，不存在非平凡初等嵌入 <math>j:V_{\lambda+2}\rightarrow V_{\lambda+2}</math> 使得 V 满足 ZFC。
			[[分类:集合论相关]]

2025年8月17日 (日) 01:53 Tabelog

2025-08-17T01:53:07Z

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	非平凡初等嵌入		=== 非平凡初等嵌入 ===
			设 <math>M,N</math> 为[[传递集#传递类（Transitive Class）\|传递类]]，且满足 [[ZFC公理体系\|ZF<sup>−</sup>]]。映射 <math>j:M\rightarrow N</math> 称为初等嵌入，当且仅当对任意一阶公式 <math>\varphi(x_1,x_2,\cdots,x_n)</math> 及所有 <math>a_1,a_2,\cdots,a_n\in M</math>，有：<math>M\models\varphi[a_1,a_2,\cdots,a_n]\Rightarrow N\models\varphi[j(a_1),j(a_2),\cdots,j(a_n)]</math>

	~~设M、N为传递类且满足ZF⁻不含幂集公理的ZF~~		进一步，<math>j</math> 称为'''非平凡初等嵌入'''，当且仅当存在 <math>x\in M</math> 使得 <math>j(x)\neq x</math>。

	~~映射j~~:~~M→N为初等嵌入当且仅当对所有一阶公式φ~~(~~x₁,…,xₙ~~)~~及所有a₁,…,aₙ∈M都有~~		=== 临界点 ===
			对非平凡初等嵌入 <math>j:M\rightarrow N</math> 必存在唯一的最小序数 <math>\kappa</math> 使 <math>j(\kappa)\neq\kappa</math>。此序数 <math>\kappa</math> 称为 <math>j</math> 的'''临界点'''（Critical Point），记为 <math>\mathrm{crit}(j)=\kappa</math>。

	~~M⊨φ[a₁,…,aₙ]⇔N⊨φ[~~j(~~a₁),…,~~j(aₙ)]		=== 共尾性 ===
			嵌入 <math>j:M\rightarrow N</math> 称为'''共尾的'''（Cofinality），当且仅当 <math>\forall y\in N\exists x\in M(y\in j(x))</math>。

	~~该嵌入称为非平凡当且仅当存在x∈M使j(x)≠x~~		若 <math>M</math> 满足 [[ZFC公理体系\|ZF]]，且 <math>N\subseteq M</math>，则任何初等嵌入 <math>j:M\rightarrow N</math> 必为共尾的。

	~~临界点~~		=== Kunen 定理 ===
			在 [[ZFC公理体系\|ZFC]] 框架下，不存在非平凡初等嵌入 <math>j:V\rightarrow V</math>。

	~~对非平凡初等嵌入j:M→N必存在最小序数κ使j(κ)≠κ~~		更具体地，Kunen 证明：对任意序数 <math>\lambda</math>，不存在非平凡初等嵌入 <math>j:V_{\lambda+2}\rightarrow V_{\lambda+2}</math> 使得 V 满足 ZFC。

	~~记crit(~~j~~)=κ~~

	~~共尾性~~

	~~嵌入j~~:~~M→N称为共尾当且仅当对所有y∈N存在x∈M使y∈j(x)~~

	~~若M满足ZF且N⊆M则任何初等嵌入都是共尾的~~

	~~Kunen定理~~

	~~在ZFC框架下不存在非平凡初等嵌入j:V→V其中V为全集~~

	~~更具体地Kunen中证明对任意序数λ不存在非平凡初等嵌入j:V~~{λ+2}→V{λ+2}~~使V满足ZFC~~

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2025年8月16日 (六) 04:03 灵依

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	非平凡初等嵌入		非平凡初等嵌入

			设M、N为传递类且满足ZF⁻不含幂集公理的ZF

			映射j:M→N为初等嵌入当且仅当对所有一阶公式φ(x₁,…,xₙ)及所有a₁,…,aₙ∈M都有

			M⊨φ[a₁,…,aₙ]⇔N⊨φ[j(a₁),…,j(aₙ)]

			该嵌入称为非平凡当且仅当存在x∈M使j(x)≠x

			临界点

			对非平凡初等嵌入j:M→N必存在最小序数κ使j(κ)≠κ

			记crit(j)=κ

			共尾性

			嵌入j:M→N称为共尾当且仅当对所有y∈N存在x∈M使y∈j(x)

			若M满足ZF且N⊆M则任何初等嵌入都是共尾的

			Kunen定理

			在ZFC框架下不存在非平凡初等嵌入j:V→V其中V为全集

			更具体地Kunen中证明对任意序数λ不存在非平凡初等嵌入j:V{λ+2}→V{λ+2}使V满足ZFC

2025年8月16日 (六) 04:03 灵依

2025-08-16T04:03:17Z

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		非平凡初等嵌入

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第1行：		第1行：
	~~非平凡初等嵌入~~

	~~设 M、N 为传递类且满足 ZF⁻（不含幂集公理的 ZF）。~~

	~~称映射 j: M → N 为初等嵌入，当且仅当对任意一阶公式 φ(x₁,…,xₙ) 及任意 a₁,…,aₙ ∈ M，都有~~

	$$

	~~M\models\varphi[a_1,\dots,a_n] \iff N\models\varphi[j(a_1),\dots,j(a_n)].~~

	$$

	~~若存在 x ∈ M 使 j(x) ≠ x，则称该嵌入为非平凡。~~

	~~临界点~~

	~~对于非平凡初等嵌入 j: M → N，必存在最小序数 κ 使 j(κ) ≠ κ。~~

	~~记该最小序数为 j 的临界点：~~

	$$

	~~\operatorname{crit}(j)=\kappa.~~

	$$

	~~共尾性~~

	~~称嵌入 j: M → N 为共尾，当且仅当~~

	$$

	~~\forall y\in N,\ \exists x\in M,\ y\in j(x).~~

	$$

	~~若 M ⊨ ZF 且 N ⊆ M，则任何初等嵌入都是共尾的。~~

	~~一致性（Kunen 定理）~~

	~~在 ZFC（或 AC）框架下，不存在非平凡初等嵌入 j: V → V，其中 V 为全集。~~

	~~更具体地（Kunen，1971）：对任意序数 λ，不存在非平凡初等嵌入~~

	$$

	~~j: V_{\lambda+2}\to V_{\lambda+2}~~

	$$

	~~使 V 满足 ZFC。~~

2025年8月16日 (六) 03:56 灵依

2025-08-16T03:56:29Z

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第1行：	第1行：
		非平凡初等嵌入

		设 M、N 为传递类且满足 ZF⁻（不含幂集公理的 ZF）。

		称映射 j: M → N 为初等嵌入，当且仅当对任意一阶公式 φ(x₁,…,xₙ) 及任意 a₁,…,aₙ ∈ M，都有

		$$

		M\models\varphi[a_1,\dots,a_n] \iff N\models\varphi[j(a_1),\dots,j(a_n)].

		$$

		若存在 x ∈ M 使 j(x) ≠ x，则称该嵌入为非平凡。

		临界点

		对于非平凡初等嵌入 j: M → N，必存在最小序数 κ 使 j(κ) ≠ κ。

		记该最小序数为 j 的临界点：

		$$

		\operatorname{crit}(j)=\kappa.

		$$

		共尾性

		称嵌入 j: M → N 为共尾，当且仅当

		$$

		\forall y\in N,\ \exists x\in M,\ y\in j(x).

		$$

		若 M ⊨ ZF 且 N ⊆ M，则任何初等嵌入都是共尾的。

		一致性（Kunen 定理）

		在 ZFC（或 AC）框架下，不存在非平凡初等嵌入 j: V → V，其中 V 为全集。

		更具体地（Kunen，1971）：对任意序数 λ，不存在非平凡初等嵌入

		$$

		j: V_{\lambda+2}\to V_{\lambda+2}

		$$

		使 V 满足 ZFC。

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第1行：		第1行：
	~~非平凡初等嵌入~~

	~~设 M、N 为传递类且满足 ZF⁻（不含幂集公理的 ZF）。~~

	~~称映射 j: M → N 为初等嵌入，当且仅当对任意一阶公式 φ(x₁,…,xₙ) 及任意 a₁,…,aₙ ∈ M，都有~~

	$$

	~~M\models\varphi[a_1,\dots,a_n] \iff N\models\varphi[j(a_1),\dots,j(a_n)].~~

	$$

	~~若存在 x ∈ M 使 j(x) ≠ x，则称该嵌入为非平凡。~~

	~~临界点~~

	~~对于非平凡初等嵌入 j: M → N，必存在最小序数 κ 使 j(κ) ≠ κ。~~

	~~记该最小序数为 j 的临界点：~~

	$$

	~~\operatorname{crit}(j)=\kappa.~~

	$$

	~~共尾性~~

	~~称嵌入 j: M → N 为共尾，当且仅当~~

	$$

	~~\forall y\in N,\ \exists x\in M,\ y\in j(x).~~

	$$

	~~若 M ⊨ ZF 且 N ⊆ M，则任何初等嵌入都是共尾的。~~

	~~一致性（Kunen 定理）~~

	~~在 ZFC（或 AC）框架下，不存在非平凡初等嵌入 j: V → V，其中 V 为全集。~~

	~~更具体地（Kunen，1971）：对任意序数 λ，不存在非平凡初等嵌入~~

	$$

	~~j: V_{\lambda+2}\to V_{\lambda+2}~~

	$$

	~~使 V 满足 ZFC。~~

2025年8月16日 (六) 03:43 灵依

2025-08-16T03:43:57Z

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		非平凡初等嵌入

		设 M、N 为传递类且满足 ZF⁻（不含幂集公理的 ZF）。

		称映射 j: M → N 为初等嵌入，当且仅当对任意一阶公式 φ(x₁,…,xₙ) 及任意 a₁,…,aₙ ∈ M，都有

		$$

		M\models\varphi[a_1,\dots,a_n] \iff N\models\varphi[j(a_1),\dots,j(a_n)].

		$$

		若存在 x ∈ M 使 j(x) ≠ x，则称该嵌入为非平凡。

		临界点

		对于非平凡初等嵌入 j: M → N，必存在最小序数 κ 使 j(κ) ≠ κ。

		记该最小序数为 j 的临界点：

		$$

		\operatorname{crit}(j)=\kappa.

		$$

		共尾性

		称嵌入 j: M → N 为共尾，当且仅当

		$$

		\forall y\in N,\ \exists x\in M,\ y\in j(x).

		$$

		若 M ⊨ ZF 且 N ⊆ M，则任何初等嵌入都是共尾的。

		一致性（Kunen 定理）

		在 ZFC（或 AC）框架下，不存在非平凡初等嵌入 j: V → V，其中 V 为全集。

		更具体地（Kunen，1971）：对任意序数 λ，不存在非平凡初等嵌入

		$$

		j: V_{\lambda+2}\to V_{\lambda+2}

		$$

		使 V 满足 ZFC。

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