2025年8月31日 (日) 03:04 Tabelog

2025-08-31T03:04:58Z

←上一版本		2025年8月31日 (日) 11:04的版本
第32行：		第32行：

	[[分类:集合论相关]]		[[分类:集合论相关]]
	~~[[分类:证明]]~~

2025年8月15日 (五) 10:33 Zhy137036

2025-08-15T10:33:42Z

←上一版本		2025年8月15日 (五) 18:33的版本
第1行：		第1行：
	~~本篇文章在ZFC~~+~~“对于任何基数，都存在一个其后的不可达基数”环境下工作，以证明“存在一个不可达基数”这个命题独立于ZFC~~		本篇文章在 ZFC+“对于任何基数，都存在一个其后的不可达基数”环境下工作，以证明“存在一个不可达基数”这个命题独立于 ZFC。

	~~由tarski给出的不可达基数公理，考虑第一个不可达基数k，则Vk\|=~~ZFC		由 Tarski 给出的不可达基数公理，考虑第一个不可达基数 <math>\kappa</math>，则 <math>V_\kappa\vDash\mathrm{ZFC}</math>。

	~~引理：若k是不可达基数，则V_k\|=ZFC~~		'''引理'''

	~~证明：外延公理：Vk的元素都是集合，所有它们自然满足外延~~		若 <math>\kappa</math> 是不可达基数，则 <math>V_\kappa\vDash\mathrm{ZFC}</math>。

	~~配对公理：对于任意a，b∈Vk，我们都可以找到a，b∈某个Va，则｛a，b｝∈V_a+1⊂V，所以自然满足~~		'''证明'''

	~~分离公理模式：对于任意a∈Vk，我们都可以得到它是某个V_a+1的元素，则任意z∈a都是V_a的元素，a的任意子集应该都是V_a+1的元素，所以自然满足~~		外延公理：<math>V_\kappa</math> 的元素都是集合，所以它们自然满足。

	正则公理模式：考虑任意非空集S∈Vk，以及任意x∈S，因为S可以确定其中任意元素的rank，所以取S中rank最低的元素x(由于ord上存在一个良序，所以任意序数类的子类都有这个良序的最小元，rank是序数，取全体S中元素的rank序数构成一个类即可)，则不存在y∈S使得y∈x，否则y的rank应该低于x，矛盾，所以存在x∈S使得x∩S为空，得以证明		配对公理：对于任意 <math>a,b\in V_\kappa</math>，我们都可以找到 <math>\alpha</math> 使得 <math>a,b\in V_\alpha</math>，则 <math>\{a,b\}\in V_{\alpha+1}\sube V</math>，所以自然满足。

	~~幂集公理：由前面可得任意x∈Va(a＜k)，任意x的子集都在Va中，则P(x)∈V_a~~+1		分离公理模式：对于任意 <math>a\in V_\kappa</math>，我们都可以得到它是某个 <math>V_{\alpha+1}</math>的元素，则任意 <math>z\in a</math> 都是 <math>V_\alpha</math> 的元素，<math>a</math> 的任意子集应该都是 <math>V_{\alpha+1}</math> 的元素，所以自然满足。

	~~并集公理：考虑任意x∈Va~~(~~a＜k~~)~~而言，它们的任意元素u都在某个Vb(b＜a)中，任意u的元素都在某个Vc(c＜b)中，则V_c+1中存在x的并集~~		正则公理模式：考虑任意非空集 <math>S\in V_\kappa</math>，以及任意 <math>x\in S</math>，因为 <math>S</math> 可以确定其中任意元素的 rank，所以取 <math>S</math> 中 rank 最低的元素 <math>x</math>(由于 Ord上存在一个良序，所以任意序数类的子类都有这个良序的最小元，rank 是序数，取全体 <math>S</math> 中元素的 rank 序数构成一个类即可)，则不存在 <math>y\in S</math> 使得 <math>y\in x</math>，否则 <math>y</math> 的 rank 应该低于 <math>x</math>，矛盾，所以存在 <math>x\in S</math> 使得 <math>x\cap S</math>为空，得以证明。

	~~无穷公理：ω是Vk的元素~~		幂集公理：由前面可得任意 <math>x\in V_\alpha(\alpha<\kappa)</math>，任意 <math>x</math> 的子集都在 <math>V_\alpha</math> 中，则 <math>\mathcal P(x)\in V_{\alpha+1}</math>。

	~~替代公理模式：由k是不可达得到k是beth不动点，则k=\|Vk\|，则对于任意X∈Va~~(~~a＜k~~)~~，则对于任意映射f：X→A，A⊂Vk，则\|A\|≤\|X\|＜\|Vk\|，所以存在某个b使得不存在A的元素属于Vb，则A是Vb的元素，则A∈Vk~~		并集公理：考虑任意 <math>x\in V_\alpha(\alpha<\kappa)</math> 而言，它们的任意元素 <math>u</math> 都在某个 <math>V_\beta(\beta<\alpha)</math> 中，任意 <math>u</math> 的元素都在某个 <math>V_\gamma(\gamma<\beta)</math> 中，则 <math>V_{\gamma+1}</math> 中存在 <math>x</math> 的并集。

	~~选择公理：任意a=｛a_n：n∈b｝∈Vk，则a∈Vc(c＜k)，则存在某个Vd(d＜c)包含的任意a_n的元素，则一定存在一个集合使得它是Ua_n：n∈b的子集，得证~~		无穷公理：<math>\omega</math> 是 <math>V_\kappa</math> 的元素。

	~~进一步可以得到Vk~~\|=ZFC+~~不存在不可达基数，考虑第二个不可达基数y则可以得到Vy\|=~~ZFC+~~存在一个不可达基数~~		替代公理模式：由 <math>\kappa</math> 是不可达得到 <math>\kappa</math> 是 Beth 不动点，则 <math>\kappa=\|V_\kappa\|</math>，则对于任意 <math>X\in V_\alpha(\alpha<\kappa)</math>，则对于任意映射 <math>f:X\to A,A\sube V_\kappa</math>，则 <math>\|A\|\le\|X\|<\|V_\kappa\|</math>，所以存在某个 <math>b</math> 使得不存在 <math>A</math> 的元素属于 <math>V_\beta</math>，则 <math>A</math> 是 <math>V_\beta</math> 的元素，则 <math>A\in V_\kappa</math>。

			选择公理：任意 <math>a={a_n\mid n\in b}\in V_\kappa</math>，则 <math>a\in V_c(c<\kappa)</math>，则存在某个 <math>V_d(d<c)</math> 包含的任意 <math>a_n</math> 的元素，则一定存在一个集合使得它是 <math>\bigcup\{a_n\mid n\in b\}</math> 的子集，得证。

			进一步可以得到 <math>V_\kappa\vDash\mathrm{ZFC}+</math> 不存在不可达基数，考虑第二个不可达基数 <math>y</math> 则可以得到 <math>V_y\vDash\mathrm{ZFC}+</math> 存在一个不可达基数。

			于是，得证：命题“存在一个不可达基数”独立于 ZFC。

	~~于是，得证：命题“存在一个不可达基数”独立于ZFC~~
	[[分类:集合论相关]]		[[分类:集合论相关]]
	[[分类:证明]]		[[分类:证明]]

虚妄之幻：独立性证明

2025-08-15T10:08:59Z

独立性证明

新页面

本篇文章在ZFC+“对于任何基数，都存在一个其后的不可达基数”环境下工作，以证明“存在一个不可达基数”这个命题独立于ZFC

由tarski给出的不可达基数公理，考虑第一个不可达基数k，则Vk|=ZFC

引理：若k是不可达基数，则V_k|=ZFC

证明：外延公理：Vk的元素都是集合，所有它们自然满足外延

配对公理：对于任意a，b∈Vk，我们都可以找到a，b∈某个Va，则｛a，b｝∈V_a+1⊂V，所以自然满足

分离公理模式：对于任意a∈Vk，我们都可以得到它是某个V_a+1的元素，则任意z∈a都是V_a的元素，a的任意子集应该都是V_a+1的元素，所以自然满足

正则公理模式：考虑任意非空集S∈Vk，以及任意x∈S，因为S可以确定其中任意元素的rank，所以取S中rank最低的元素x(由于ord上存在一个良序，所以任意序数类的子类都有这个良序的最小元，rank是序数，取全体S中元素的rank序数构成一个类即可)，则不存在y∈S使得y∈x，否则y的rank应该低于x，矛盾，所以存在x∈S使得x∩S为空，得以证明

幂集公理：由前面可得任意x∈Va(a＜k)，任意x的子集都在Va中，则P(x)∈V_a+1

并集公理：考虑任意x∈Va(a＜k)而言，它们的任意元素u都在某个Vb(b＜a)中，任意u的元素都在某个Vc(c＜b)中，则V_c+1中存在x的并集

无穷公理：ω是Vk的元素

替代公理模式：由k是不可达得到k是beth不动点，则k=|Vk|，则对于任意X∈Va(a＜k)，则对于任意映射f：X→A，A⊂Vk，则|A|≤|X|＜|Vk|，所以存在某个b使得不存在A的元素属于Vb，则A是Vb的元素，则A∈Vk

选择公理：任意a=｛a_n：n∈b｝∈Vk，则a∈Vc(c＜k)，则存在某个Vd(d＜c)包含的任意a_n的元素，则一定存在一个集合使得它是Ua_n：n∈b的子集，得证

进一步可以得到Vk|=ZFC+不存在不可达基数，考虑第二个不可达基数y则可以得到Vy|=ZFC+存在一个不可达基数

于是，得证：命题“存在一个不可达基数”独立于ZFC
[[分类:集合论相关]]
[[分类:证明]]

不可达基数的独立性 - 版本历史

2025年8月31日 (日) 03:04 Tabelog

2025年8月15日 (五) 10:33 Zhy137036

虚妄之幻：​独立性证明

虚妄之幻：独立性证明