不动点 - 版本历史

2026年3月5日 (四) 08:53 星汐镜Littlekk

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 实际上，由此定义出的序数函数 <math>g</math>，同样满足上述三条性质，因此可以继续讨论 <math>g</math> 的不动点．这就是 [[Veblen 函数]]的基本思路．
 [[分类:入门]]
 [[分类:重要概念]]

2026年2月28日 (六) 11:08 Z

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	=== 例子 ===		=== 例子 ===
	在 [[googology]] 中，我们一般只关心 <math>\mathbb N \rightarrow \mathbb N</math> 的递增函数以及 <math>\rm{Ord \rightarrow Ord}</math> 的递增函数．由于前者一般无不动点（即使有也是平凡的，如 <math>f(x)=x</math>），因而只有后者的不动点是重要的．		在 [[Googology\|googology]] 中，我们一般只关心 <math>\mathbb N \rightarrow \mathbb N</math> 的递增函数以及 <math>\rm{Ord \rightarrow Ord}</math> 的递增函数．由于前者一般无不动点（即使有也是平凡的，如 <math>f(x)=x</math>），因而只有后者的不动点是重要的．

	例如 <math>f(x)=1+x</math>：		例如 <math>f(x)=1+x</math>：

Tabelog：文字替换 -“Veblen 函数”替换为“Veblen 函数”

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文字替换 -“Veblen 函数”替换为“Veblen 函数”

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第22行：		第22行：
	如果 <math>X</math> 是其第 <math>m</math> 个不动点，则 <math>\sup \{ X+1,f(X+1),f(f(X+1)),f(f(f(X+1))),\cdots \}</math> 是其第 <math>m+1</math> 个不动点．		如果 <math>X</math> 是其第 <math>m</math> 个不动点，则 <math>\sup \{ X+1,f(X+1),f(f(X+1)),f(f(f(X+1))),\cdots \}</math> 是其第 <math>m+1</math> 个不动点．

	注意到这实际上提供了一种[[基本列]]选取的方法．实际上，著名的序数表示法 [[~~Veblen函数\|~~Veblen 函数]]的强度就高度依赖于不动点．		注意到这实际上提供了一种[[基本列]]选取的方法．实际上，著名的序数表示法 [[Veblen 函数]]的强度就高度依赖于不动点．

	=== 相关结论及证明 ===		=== 相关结论及证明 ===
第70行：		第70行：


	实际上，由此定义出的序数函数 <math>g</math>，同样满足上述三条性质，因此可以继续讨论 <math>g</math> 的不动点．这就是 [[~~Veblen函数\|~~Veblen 函数]]的基本思路．		实际上，由此定义出的序数函数 <math>g</math>，同样满足上述三条性质，因此可以继续讨论 <math>g</math> 的不动点．这就是 [[Veblen 函数]]的基本思路．

	[[分类:入门]]		[[分类:入门]]
	[[分类:重要概念]]		[[分类:重要概念]]

2025年8月20日 (三) 08:38 Z

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	[[分类:入门]]		[[分类:入门]]
			[[分类:重要概念]]

Tabelog：文字替换 -“veblen函数”替换为“Veblen函数”

2025-08-17T02:27:00Z

文字替换 -“veblen函数”替换为“Veblen函数”

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第22行：		第22行：
	如果 <math>X</math> 是其第 <math>m</math> 个不动点，则 <math>\sup \{ X+1,f(X+1),f(f(X+1)),f(f(f(X+1))),\cdots \}</math> 是其第 <math>m+1</math> 个不动点．		如果 <math>X</math> 是其第 <math>m</math> 个不动点，则 <math>\sup \{ X+1,f(X+1),f(f(X+1)),f(f(f(X+1))),\cdots \}</math> 是其第 <math>m+1</math> 个不动点．

	注意到这实际上提供了一种[[基本列]]选取的方法．实际上，著名的序数表示法 [[~~veblen函数~~\|Veblen 函数]]的强度就高度依赖于不动点．		注意到这实际上提供了一种[[基本列]]选取的方法．实际上，著名的序数表示法 [[Veblen函数\|Veblen 函数]]的强度就高度依赖于不动点．

	=== 相关结论及证明 ===		=== 相关结论及证明 ===

2025年8月7日 (四) 08:42 Tabelog

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第1行：		第1行：
	在数学中，函数的不动点（fixed point, fp），指的是在函数定义域内的某一个值，经过函数映射后的值还是其本身．		在数学中，函数的不动点（fixed point, fp），指的是在函数定义域内的某一个值，经过函数映射后的值还是其本身．
	== 例子 ==
	在 [[~~Googology\|~~googology]] 中，我们一般只关心 <math>\mathbb N \rightarrow \mathbb N</math> 的递增函数以及 <math>\rm{Ord \rightarrow Ord}</math> 的递增函数．由于前者一般无不动点（即使有也是平凡的，如 <math>f(x)=x</math>），因而只有后者的不动点是重要的．		=== 例子 ===
			在 [[googology]] 中，我们一般只关心 <math>\mathbb N \rightarrow \mathbb N</math> 的递增函数以及 <math>\rm{Ord \rightarrow Ord}</math> 的递增函数．由于前者一般无不动点（即使有也是平凡的，如 <math>f(x)=x</math>），因而只有后者的不动点是重要的．

	例如 <math>f(x)=1+x</math>：		例如 <math>f(x)=1+x</math>：
第11行：		第12行：
	当 <math>x=\omega^{\omega}</math>时，<math>f(\omega^{\omega})=\omega^{\omega}</math>，因此 <math>\omega^{\omega}</math> 是 <math>f(x)=\omega \times x</math> 的不动点．		当 <math>x=\omega^{\omega}</math>时，<math>f(\omega^{\omega})=\omega^{\omega}</math>，因此 <math>\omega^{\omega}</math> 是 <math>f(x)=\omega \times x</math> 的不动点．

	== 注意 ==		=== 注意 ===

	# 并非所有的 <math>\rm{Ord \rightarrow Ord}</math> 的递增函数都存在不动点．如 <math>f(x)=x+1</math>，就不存在不动点．		# 并非所有的 <math>\rm{Ord \rightarrow Ord}</math> 的递增函数都存在不动点．如 <math>f(x)=x+1</math>，就不存在不动点．
	# <math>f(\alpha)</math> 的不动点可以更清晰地写作 <math>\alpha\mapsto f(\alpha)</math> 的不动点．		# <math>f(\alpha)</math> 的不动点可以更清晰地写作 <math>\alpha\mapsto f(\alpha)</math> 的不动点．
	# 一个序数函数可以存在不止一个不动点．如 <math>\omega^{\omega}\times m</math> 是 <math>f(x)=\omega \times x</math> 的第 <math>1+m</math> 个不动点．		# 一个序数函数可以存在不止一个不动点．如 <math>\omega^{\omega}\times m</math> 是 <math>f(x)=\omega \times x</math> 的第 <math>1+m</math> 个不动点．

	== 不动点与基本列 ==		=== 不动点与基本列 ===
	<math>\rm{Ord \rightarrow Ord}</math> 的连续递增函数 <math>f(x)</math> 且满足 <math>f(x)\ge x</math>，存在这样一个定理：		<math>\rm{Ord \rightarrow Ord}</math> 的连续递增函数 <math>f(x)</math> 且满足 <math>f(x)\ge x</math>，存在这样一个定理：

	如果 <math>X</math> 是其第 <math>m</math> 个不动点，则 <math>\sup \{ X+1,f(X+1),f(f(X+1)),f(f(f(X+1))),\cdots \}</math> 是其第 <math>m+1</math> 个不动点．		如果 <math>X</math> 是其第 <math>m</math> 个不动点，则 <math>\sup \{ X+1,f(X+1),f(f(X+1)),f(f(f(X+1))),\cdots \}</math> 是其第 <math>m+1</math> 个不动点．

	注意到这实际上提供了一种[[基本列]]选取的方法．实际上，著名的序数表示法[[veblen函数]]的强度就高度依赖于不动点．		注意到这实际上提供了一种[[基本列]]选取的方法．实际上，著名的序数表示法 [[veblen函数\|Veblen 函数]]的强度就高度依赖于不动点．

	~~== 相关结论及证明 ==~~

			=== 相关结论及证明 ===
	对于满足如下条件的序数函数 <math>f:\mathrm{Ord}\to\mathrm{Ord}</math>，其不动点呈现出许多良好的性质．		对于满足如下条件的序数函数 <math>f:\mathrm{Ord}\to\mathrm{Ord}</math>，其不动点呈现出许多良好的性质．

第44行：		第43行：
	下面证明：<math>g(0)</math> 是 <math>f</math> 的最小不动点；<math>g(\alpha),g(\alpha+1)</math> 之间没有其他 <math>f</math> 的不动点．		下面证明：<math>g(0)</math> 是 <math>f</math> 的最小不动点；<math>g(\alpha),g(\alpha+1)</math> 之间没有其他 <math>f</math> 的不动点．

	~~命题 1：<math>g(0)</math> 是 <math>f</math> 的最小不动点．~~
	~~证明：反证．设 <math>\beta<g(0)</math> 是 <math>f</math> 的不动点．~~
	~~根据 <math>g(0)</math> 的定义，存在 <math>n\in\N</math> 使得 <math>f^n(0)>\beta</math>，不妨设这样的 <math>n</math> 是最小的．~~
	~~因为 <math>f^0(0)=0\le\beta</math>，所以 <math>n>0</math>．~~
	~~那么有 <math>f^{n-1}(0)\le\beta=f(\beta)<f^n(0)</math>，这与 <math>f</math> 的单调不减性矛盾．~~
	~~所以 <math>g(0)</math> 是 <math>f</math> 的最小不动点．~~

	命题 2：<math>g(\alpha),g(\alpha+1)</math> 之间没有其他 <math>f</math> 的不动点．		'''命题 1'''：<math>g(0)</math> 是 <math>f</math> 的最小不动点．
	~~证明：与命题~~ 1 思路类似，使用反证法．
	设 <math>g(\alpha)<\beta<g(\alpha+1)</math>，其中 <math>\beta</math> 是 <math>f</math> 的不动点．		'''证明'''：反证．设 <math>\beta<g(0)</math> 是 <math>f</math> 的不动点．
	因为 <math>g(\alpha)+1\le\beta</math>，所以 <math>f^n(g(\alpha)+1)\le f^n(\beta)=\beta</math>．
	所以 <math>g(\alpha+1)=\sup\{f^n(g(\alpha)+1)\mid n\in\N\}\le\beta</math>，矛盾．		根据 <math>g(0)</math> 的定义，存在 <math>n\in\N</math> 使得 <math>f^n(0)>\beta</math>，不妨设这样的 <math>n</math> 是最小的．
	所以 <math>g(\alpha),g(\alpha+1)</math> 之间没有其他 <math>f</math> 的不动点．
			因为 <math>f^0(0)=0\le\beta</math>，所以 <math>n>0</math>．

			那么有 <math>f^{n-1}(0)\le\beta=f(\beta)<f^n(0)</math>，这与 <math>f</math> 的单调不减性矛盾．

			所以 <math>g(0)</math> 是 <math>f</math> 的最小不动点．


			'''命题 2'''：<math>g(\alpha),g(\alpha+1)</math> 之间没有其他 <math>f</math> 的不动点．

			'''证明'''：与命题 1 思路类似，使用反证法．

			设 <math>g(\alpha)<\beta<g(\alpha+1)</math>，其中 <math>\beta</math> 是 <math>f</math> 的不动点．

			因为 <math>g(\alpha)+1\le\beta</math>，所以 <math>f^n(g(\alpha)+1)\le f^n(\beta)=\beta</math>．

			所以 <math>g(\alpha+1)=\sup\{f^n(g(\alpha)+1)\mid n\in\N\}\le\beta</math>，矛盾．

			所以 <math>g(\alpha),g(\alpha+1)</math> 之间没有其他 <math>f</math> 的不动点．


	实际上，由此定义出的序数函数 <math>g</math>，同样满足上述三条性质，因此可以继续讨论 <math>g</math> 的不动点．这就是[[Veblen函数]]的基本思路．		实际上，由此定义出的序数函数 <math>g</math>，同样满足上述三条性质，因此可以继续讨论 <math>g</math> 的不动点．这就是 [[Veblen函数\|Veblen 函数]]的基本思路．

	[[分类:入门]]		[[分类:入门]]

2025年7月4日 (五) 05:38 Zhy137036

2025-07-04T05:38:58Z

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第1行：		第1行：
	在数学中，函数的不动点（fixed point,~~fp），指的是在函数定义域内的某一个值，经过函数映射后的值还是其本身。~~		在数学中，函数的不动点（fixed point, fp），指的是在函数定义域内的某一个值，经过函数映射后的值还是其本身．
	== 例子 ==		== 例子 ==
	在[[Googology\|googology]]中，我们一般只关心<math>\mathbb N \rightarrow \mathbb N</math>~~的连续递增函数以及~~<math>\rm{Ord \rightarrow Ord}</math>~~的连续递增函数。由于前者一般无不动点(即使有也是平凡的，如~~<math>~~\rm{~~f(x)=x}</math>~~)，因而只有后者的不动点是重要的。~~		在 [[Googology\|googology]] 中，我们一般只关心 <math>\mathbb N \rightarrow \mathbb N</math> 的递增函数以及 <math>\rm{Ord \rightarrow Ord}</math> 的递增函数．由于前者一般无不动点（即使有也是平凡的，如 <math>f(x)=x</math>），因而只有后者的不动点是重要的．

	如<math>~~\rm{~~f(x)=1+x}</math>		例如 <math>f(x)=1+x</math>：

	注意到当<math>~~\rm{~~x=\omega}</math>时，<math>~~\rm{~~f(x)=1+\omega =sup\{ 1+0,1+1,1+2,1+3,\cdots \}=\omega} </math>~~。因此~~<math>\omega</math>是<math>\rm{f(x)=1+x}</math>~~的不动点。~~		注意到当 <math>x=\omega</math> 时，<math>f(x)=1+\omega =\sup\{ 1+0,1+1,1+2,1+3,\cdots \}=\omega</math>．因此 <math>\omega</math> 是 <math>\rm{f(x)=1+x}</math> 的不动点．

	又如<math>f(x)=\omega \times x</math>		又如 <math>f(x)=\omega \times x</math>：

	当<math>~~\rm{~~x=\omega^{\omega}}</math>时，<math>~~\rm{~~f(\omega^{\omega})=\omega^{\omega}}</math>，因此<math>\omega^{\omega}</math>是<math>f(x)=\omega \times x</math>~~的不动点。~~		当 <math>x=\omega^{\omega}</math>时，<math>f(\omega^{\omega})=\omega^{\omega}</math>，因此 <math>\omega^{\omega}</math> 是 <math>f(x)=\omega \times x</math> 的不动点．

	== 注意 ==		== 注意 ==

	# ~~并非所有的Ord→Ord的连续递增函数都存在不动点。如f~~(x)=x+1~~,就不存在不动点。~~		# 并非所有的 <math>\rm{Ord \rightarrow Ord}</math> 的递增函数都存在不动点．如 <math>f(x)=x+1</math>，就不存在不动点．
	# ~~在googology中，我们一般把f~~(α)~~的不动点写作α→f~~(α)~~不动点。~~		# <math>f(\alpha)</math> 的不动点可以更清晰地写作 <math>\alpha\mapsto f(\alpha)</math> 的不动点．
	# ~~一个序数函数可以不只存在一个不动点。如~~<math>\omega^{\omega}\times m</math>是<math>f(x)=\omega \times x</math>~~的第m个不动点。~~		# 一个序数函数可以存在不止一个不动点．如 <math>\omega^{\omega}\times m</math> 是 <math>f(x)=\omega \times x</math> 的第 <math>1+m</math> 个不动点．

	== 不动点与基本列 ==		== 不动点与基本列 ==
	<math>\rm{Ord \rightarrow Ord}</math>~~的连续递增函数f(x)~~<math>f(x)</math>~~且满足f(x)≥x~~<math>~~\rm{~~f(x)\~~geq~~ x}</math>，存在这样一个定理：		<math>\rm{Ord \rightarrow Ord}</math> 的连续递增函数 <math>f(x)</math> 且满足 <math>f(x)\ge x</math>，存在这样一个定理：

	~~如果X是其第m个不动点，则~~<math>\~~rm{~~sup \{ X+1.f(X+1),f(f(X+1)),f(f(f(X+1))),\cdots \}}</math>~~是其第m~~+~~1个不动点~~		如果 <math>X</math> 是其第 <math>m</math> 个不动点，则 <math>\sup \{ X+1,f(X+1),f(f(X+1)),f(f(f(X+1))),\cdots \}</math> 是其第 <math>m+1</math> 个不动点．

	注意到这实际上提供了一种[[基本列]]~~选取的方法。实际上，著名的序数表示法~~[[veblen函数]]~~的强度就高度依赖于不动点.~~		注意到这实际上提供了一种[[基本列]]选取的方法．实际上，著名的序数表示法[[veblen函数]]的强度就高度依赖于不动点．

	== 相关结论及证明 ==		== 相关结论及证明 ==
第45行：		第45行：

	命题 1：<math>g(0)</math> 是 <math>f</math> 的最小不动点．		命题 1：<math>g(0)</math> 是 <math>f</math> 的最小不动点．
	~~证明：反证. 设~~ <math>\beta<g(0)</math> 是 <math>f</math> 的不动点．		证明：反证．设 <math>\beta<g(0)</math> 是 <math>f</math> 的不动点．
	根据 <math>g(0)</math> 的定义，存在 <math>n\in\N</math> 使得 <math>f^n(0)>\beta</math>，不妨设这样的 <math>n</math> 是最小的．		根据 <math>g(0)</math> 的定义，存在 <math>n\in\N</math> 使得 <math>f^n(0)>\beta</math>，不妨设这样的 <math>n</math> 是最小的．
	因为 <math>f^0(0)=0\le\beta</math>，所以 <math>n>0</math>．		因为 <math>f^0(0)=0\le\beta</math>，所以 <math>n>0</math>．

2025年7月3日 (四) 16:07 Zhy137036

2025-07-03T16:07:35Z

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第34行：		第34行：
	另外，若 <math>f</math> 严格递增，则 <math>f</math> 自动满足前两条性质．		另外，若 <math>f</math> 严格递增，则 <math>f</math> 自动满足前两条性质．

	若 <math>f</math> 满足如上条件，那么就可以定义序数函数 <math>g:\mathrm{Ord}\to\mathrm{Ord}</math>，使得 <math>g(\alpha)</math> 表示 <math>f</math> 的第 <math>\alpha</math> 个不动点．具体定义为		若 <math>f</math> 满足如上条件，那么就可以定义序数函数 <math>g:\mathrm{Ord}\to\mathrm{Ord}</math>，使得 <math>g(\alpha)</math> 表示 <math>f</math> 的第 <math>1+\alpha</math> 个不动点．具体定义为

	* <math>g(0)=\sup\{0,f(0),f(f(0)),\cdots\}=\sup\{f^n(0)\mid n\in\N\}</math>．		* <math>g(0)=\sup\{0,f(0),f(f(0)),\cdots\}=\sup\{f^n(0)\mid n\in\N\}</math>．

2025年7月3日 (四) 15:59 Zhy137036

2025-07-03T15:59:25Z

2025年7月3日 (四) 15:55 Zhy137036

2025-07-03T15:55:06Z

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第30行：		第30行：
	* 单调不减：对任意两个序数 <math>\alpha<\beta</math>，有 <math>f(\alpha)\le f(\beta)</math>.		* 单调不减：对任意两个序数 <math>\alpha<\beta</math>，有 <math>f(\alpha)\le f(\beta)</math>.
	* 对任意序数 <math>\alpha</math>，有 <math>f(\alpha)\ge\alpha</math>.		* 对任意序数 <math>\alpha</math>，有 <math>f(\alpha)\ge\alpha</math>.
	* 连续性. 对任意递增序数列 <math>\alpha_1,\alpha_2,\cdots</math>，记 <math>\alpha=\sup\{\alpha_1,\alpha_2,\cdots\}</math>，则有		* 连续性. 对任意递增序数列 <math>\alpha_1,\alpha_2,\cdots</math>，记 <math>\alpha=\sup\{\alpha_1,\alpha_2,\cdots\}</math>，则有 <math>f(\alpha)=\sup\{f(\alpha_1),f(\alpha_2),\cdots\}</math>

	<math>f(\alpha)=\sup\{f(\alpha_1),f(\alpha_2),\cdots\}</math>

	另外，若 <math>f</math> 严格递增，则 <math>f</math> 自动满足前两条性质.		另外，若 <math>f</math> 严格递增，则 <math>f</math> 自动满足前两条性质.

←上一版本		2025年7月3日 (四) 23:59的版本
第26行：		第26行：
	== 相关结论及证明 ==		== 相关结论及证明 ==

	对于满足如下条件的序数函数 <math>f:\mathrm{Ord}\to\mathrm{Ord}</math>~~，其不动点呈现出许多良好的性质.~~		对于满足如下条件的序数函数 <math>f:\mathrm{Ord}\to\mathrm{Ord}</math>，其不动点呈现出许多良好的性质．

	* 单调不减：对任意两个序数 <math>\alpha<\beta</math>，有 <math>f(\alpha)\le f(\beta)</math>.		* 单调不减：对任意两个序数 <math>\alpha<\beta</math>，有 <math>f(\alpha)\le f(\beta)</math>．
	* 对任意序数 <math>\alpha</math>，有 <math>f(\alpha)\ge\alpha</math>.		* 对任意序数 <math>\alpha</math>，有 <math>f(\alpha)\ge\alpha</math>．
	* ~~连续性. 对任意递增序数列~~ <math>\alpha_1,\alpha_2,\cdots</math>，记 <math>\alpha=\sup\{\alpha_1,\alpha_2,\cdots\}</math>，则有 <math>f(\alpha)=\sup\{f(\alpha_1),f(\alpha_2),\cdots\}</math>		* 连续性．对任意递增序数列 <math>\alpha_1,\alpha_2,\cdots</math>，记 <math>\alpha=\sup\{\alpha_1,\alpha_2,\cdots\}</math>，则有 <math>f(\alpha)=\sup\{f(\alpha_1),f(\alpha_2),\cdots\}</math>．

	另外，若 <math>f</math> 严格递增，则 <math>f</math> ~~自动满足前两条性质.~~		另外，若 <math>f</math> 严格递增，则 <math>f</math> 自动满足前两条性质．

	若 <math>f</math> 满足如上条件，那么就可以定义序数函数 <math>g:\mathrm{Ord}\to\mathrm{Ord}</math>，使得 <math>g(\alpha)</math> 表示 <math>f</math> 的第 <math>\alpha</math> ~~个不动点. 具体定义为~~		若 <math>f</math> 满足如上条件，那么就可以定义序数函数 <math>g:\mathrm{Ord}\to\mathrm{Ord}</math>，使得 <math>g(\alpha)</math> 表示 <math>f</math> 的第 <math>\alpha</math> 个不动点．具体定义为

	* <math>g(0)=\sup\{0,f(0),f(f(0)),\cdots\}=\sup\{f^n(0)\mid n\in\N\}</math>		* <math>g(0)=\sup\{0,f(0),f(f(0)),\cdots\}=\sup\{f^n(0)\mid n\in\N\}</math>．
	* <math>g(\alpha+1)=\sup\{f^n(g(\alpha)+1)\mid n\in\N\}</math>		* <math>g(\alpha+1)=\sup\{f^n(g(\alpha)+1)\mid n\in\N\}</math>．
	* <math>g(\alpha)=\sup\{g(\beta)\mid\beta<\alpha\}</math>，其中 <math>\alpha</math> ~~是极限序数.~~		* <math>g(\alpha)=\sup\{g(\beta)\mid\beta<\alpha\}</math>，其中 <math>\alpha</math> 是[[序数#极限序数\|极限序数]]．

	从定义中不难看出，对任意序数 <math>\alpha</math>，<math>g(\alpha)</math> 总是 <math>f</math> ~~的不动点.~~		从定义中不难看出，对任意序数 <math>\alpha</math>，<math>g(\alpha)</math> 总是 <math>f</math> 的不动点．

	下面证明：<math>g(0)</math> 是 <math>f</math> 的最小不动点；<math>g(\alpha),g(\alpha+1)</math> 之间没有其他 <math>f</math> ~~的不动点.~~		下面证明：<math>g(0)</math> 是 <math>f</math> 的最小不动点；<math>g(\alpha),g(\alpha+1)</math> 之间没有其他 <math>f</math> 的不动点．

	命题 1：<math>g(0)</math> 是 <math>f</math> ~~的最小不动点.~~		命题 1：<math>g(0)</math> 是 <math>f</math> 的最小不动点．
	证明：反证. 设 <math>\beta<g(0)</math> 是 <math>f</math> ~~的不动点.~~		证明：反证. 设 <math>\beta<g(0)</math> 是 <math>f</math> 的不动点．
	根据 <math>g(0)</math> 的定义，存在 <math>n\in\N</math> 使得 <math>f^n(0)>\beta</math>，不妨设这样的 <math>n</math> ~~是最小的.~~		根据 <math>g(0)</math> 的定义，存在 <math>n\in\N</math> 使得 <math>f^n(0)>\beta</math>，不妨设这样的 <math>n</math> 是最小的．
	因为 <math>f^0(0)=0\le\beta</math>，所以 <math>n>0</math>.		因为 <math>f^0(0)=0\le\beta</math>，所以 <math>n>0</math>．
	那么有 <math>f^{n-1}(0)\le\beta=f(\beta)<f^n(0)</math>，这与 <math>f</math> ~~的单调不减性矛盾.~~		那么有 <math>f^{n-1}(0)\le\beta=f(\beta)<f^n(0)</math>，这与 <math>f</math> 的单调不减性矛盾．
	所以 <math>g(0)</math> 是 <math>f</math> ~~的最小不动点.~~		所以 <math>g(0)</math> 是 <math>f</math> 的最小不动点．

	命题 2：<math>g(\alpha),g(\alpha+1)</math> 之间没有其他 <math>f</math> ~~的不动点.~~		命题 2：<math>g(\alpha),g(\alpha+1)</math> 之间没有其他 <math>f</math> 的不动点．
	证明：与命题 1 ~~思路类似，使用反证法.~~		证明：与命题 1 思路类似，使用反证法．
	设 <math>g(\alpha)<\beta<g(\alpha+1)</math>，其中 <math>\beta</math> 是 <math>f</math> ~~的不动点.~~		设 <math>g(\alpha)<\beta<g(\alpha+1)</math>，其中 <math>\beta</math> 是 <math>f</math> 的不动点．
	因为 <math>g(\alpha)+1\le\beta</math>，所以 <math>f^n(g(\alpha)+1)\le f^n(\beta)=\beta</math>.		因为 <math>g(\alpha)+1\le\beta</math>，所以 <math>f^n(g(\alpha)+1)\le f^n(\beta)=\beta</math>．
	所以 <math>g(\alpha+1)=\sup\{f^n(g(\alpha)+1)\mid n\in\N\}\le\beta</math>~~，矛盾.~~		所以 <math>g(\alpha+1)=\sup\{f^n(g(\alpha)+1)\mid n\in\N\}\le\beta</math>，矛盾．
	所以 <math>g(\alpha),g(\alpha+1)</math> 之间没有其他 <math>f</math> ~~的不动点.~~		所以 <math>g(\alpha),g(\alpha+1)</math> 之间没有其他 <math>f</math> 的不动点．

	实际上，由此定义出的序数函数 <math>g</math>，同样满足上述三条性质，因此可以继续讨论 <math>g</math> ~~的不动点. 这就是~~[[Veblen函数]]~~的基本思路.~~		实际上，由此定义出的序数函数 <math>g</math>，同样满足上述三条性质，因此可以继续讨论 <math>g</math> 的不动点．这就是[[Veblen函数]]的基本思路．

	[[分类:入门]]		[[分类:入门]]