ω-Y - 版本历史

2025年8月24日 (日) 06:38 Tabelog

2025-08-24T06:38:18Z

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第142行：		第142行：
	# actual ω − Y 的规则为：展开用的是 strong magma 规则；最初确定 magma 元素的时候，如果根列元素位于后继序数行（包括第 1 行）就用 strong magma 规则，否则用weak magma 规则。		# actual ω − Y 的规则为：展开用的是 strong magma 规则；最初确定 magma 元素的时候，如果根列元素位于后继序数行（包括第 1 行）就用 strong magma 规则，否则用weak magma 规则。

	这四种规则的 ω-Y 可以用 [https://hypcos.github.io/notation-explorer/ Notation Explorer] 展开。目前已知 weak、strong、medium 三种 magma 的 ω-Y 在 1,3,8 即 ~~catch。~~		这四种规则的 ω-Y 可以用 [https://hypcos.github.io/notation-explorer/ Notation Explorer] 展开。目前已知 weak、strong、medium 三种 magma 的 ω-Y 在 1,3,8 即 [[Catching\|catch]]。

	''主词条：[[~~Y三种magma分析~~]]''{{默认排序:序数记号}}		''主词条：[[ω-Y magma 对比分析]]''{{默认排序:序数记号}}
	[[分类:记号]]		[[分类:记号]]

2025年8月24日 (日) 06:28 Tabelog

2025-08-24T06:28:48Z

显示更改

632zsz：这样的果糕

2025-08-20T12:27:13Z

这样的果糕

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	的序列。		的序列。

	例如：<math>(1,4,6,4)</math>和<math>(1,1,4,5,1,4)</math>都是合法的 <math>\omega\mathrm{-Y}</math> 表达式，而<math>(1,2,\pi)</math>不是。		例如：<math>(1,4,6,4)</math>以及<math>(1,1,4,5,1,4)</math><s>''这样的果糕''</s>都是合法的 <math>\omega\mathrm{-Y}</math> 表达式，而<math>(1,2,\pi)</math>不是。

	=== 山脉图 ===		=== 山脉图 ===

2025年8月20日 (三) 11:14 Z

2025-08-20T11:14:08Z

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第141行：		第141行：
	# actual ω − Y 的规则为：展开用的是 strong magma 规则；最初确定 magma 元素的时候，如果根列元素位于后继序数行（包括第 1 行）就用 strong magma 规则，否则用weak magma 规则。		# actual ω − Y 的规则为：展开用的是 strong magma 规则；最初确定 magma 元素的时候，如果根列元素位于后继序数行（包括第 1 行）就用 strong magma 规则，否则用weak magma 规则。

	这四种规则的ω-Y可以用[https://hypcos.github.io/notation-explorer/ Notation Explorer]展开。目前已知weak、strong、medium三种magma的ω-Y在1,3,8即catch。参见词条：[[Y三种magma分析]]		这四种规则的ω-Y可以用[https://hypcos.github.io/notation-explorer/ Notation Explorer]展开。目前已知weak、strong、medium三种magma的ω-Y在1,3,8即catch。参见词条：[[Y三种magma分析]]{{默认排序:序数记号}}

	~~== α-Y系统 ==~~
	待续

	~~== 参考资料 ==~~
	{{默认排序:序数记号}}
	[[分类:记号]]		[[分类:记号]]

2025年8月20日 (三) 09:31 Z

2025-08-20T09:31:02Z

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第114行：		第114行：
	于是我们完成了本例的展开。		于是我们完成了本例的展开。

	== 枚举 ==		== <math>\mathrm{n-Y}</math>序列 ==
	''(~~开摆!)~~''		如果我们在 ω − Y 序列绘制山脉图的过程中绘制完<math>\omega^{1+n}</math>以下的部分就停止，则这样得到的序列就是 n − Y 序列。n − Y 序列的山脉图只有 <math>\omega^{1+n}</math>行，分隔山脉图的直线最多只有 n 重，它的展开规则与通常的 ω − Y 序列是一致的。n − Y 序列有两个不同的版本，其中C n − Y('''Consistent n−Y''') 在绘制山脉图的过程中进行提取操作，而 D n − Y('''Diagonlizing n−Y''') 在绘制山脉图的过程中不进行提取操作。

			对于 C n − Y 来说，我们有<math>C~ n - Y(1, \omega) = C ~(n + 1) - Y(1, 3)</math>

			对于 D n − Y 来说，我们有<math>D~ n - Y(1, \omega) = D ~(n + 1) - Y(1,4)</math>,以及<math>D~ n - Y(1, \omega) =\omega-Y(1,(n+3))</math>.

			== Magma ==
			以上介绍的 ω − Y 规则称为 weak magma 规则，它是目前最常用的规则。在未做说明的情况下，我们默认 ω −Y 的规则就是 weak magma 规则。除了 weak magma 规则之外，还有三种与之并列的规则，它们分别为 medium magma 规则，strong magma 规则以及 actual规则。在历史上，actual 规则是最先提出的，其余三种规则是之后提出的。而在现在看来，除了 weak magma 之外的三种规则基本已经被淘汰了，它们已经几乎只有历史上的意义了。

	~~== <math>\mathrm{n~~-~~Y}<~~/~~math>序列 ==~~		下面我们简要介绍上述四种规则的区别。我们引入 ω − Y 原版定义中的 magma 元素、wildfire 边、eruption 边以及 magma 边的概念（这与上面给出定义的顶点元素、参考边、轮廓边、平移边的概念并不完全相同）。每个根列元素都对应一组 magma 元素和 magma边，有两种不同的方法来对它们进行确定，分别为 weak magma 和 strong magma 两种规则。

			# weak magma 的确定规则如下：从一个根列元素出发，沿左腿往右上方走一步（可能有多种走法），然后沿右腿向下走一步，如果到达了与根列元素同一行的复制部分，这个元素就是 magma 元素。从 magma 元素出发也（递归地）走同样的路。所有经过的边就是 magma 边。
			# strong magma 的确定规则如下：从一个根列元素出发，沿右腿向下走一步，然后沿左腿往右上方走一步（可能有多种走法），如果到达了与根列元素同一行的复制部分，这个元素就是 magma 元素。从 magma 元素出发也（递归地）走同样的路。所有经过的边就是 magma 边。

			作出新边的过程，可以分成 3 种不同的边，它们分别为 wildfire 边、eruption 边、magma边，这些边都是从复制部分复制出来的。其中，wildfire 边通常高度是不变的；eruption 边高度会提高，但数量仍与复制源相同；而 magma 边则会从一个复制源复制出许多份。而 weak magma 和 strong magma 两种规则在 magma 边的复制规则处又有所不同。

			# weak magma 的复制规则如下：对每个 magma 元素，先沿右腿向上走一步，然后沿左腿向下一步，这个左腿就是我们接下来要复制的复制源。
			# strong magma 的复制规则如下：对每个 magma 元素，直接沿左腿向下一步。这个左腿就是我们接下来要复制的复制源。

			至此我们就可以区分出四种不同 ω − Y 的规则如下。

			# weak magma ω − Y 的规则为：展开用的是 weak magma 规则，最初确定 magma 元素的时候用的也是 weak magma 规则。
			# strong magma ω − Y 的规则为：展开用的是 strong magma 规则，最初确定 magma元素的时候用的也是 strong magma 规则。
			# medium magma ω − Y 的规则为：展开用的是 strong magma 规则，最初确定 magma元素的时候用的是 weak magma 规则。
			# actual ω − Y 的规则为：展开用的是 strong magma 规则；最初确定 magma 元素的时候，如果根列元素位于后继序数行（包括第 1 行）就用 strong magma 规则，否则用weak magma 规则。

			这四种规则的ω-Y可以用[https://hypcos.github.io/notation-explorer/ Notation Explorer]展开。目前已知weak、strong、medium三种magma的ω-Y在1,3,8即catch。参见词条：[[Y三种magma分析]]

	== ~~<math>\mathrm{C\ n~~-~~Y}\&\mathrm{D\ n-Y}</math>~~ ==		== α-Y系统 ==
			待续

	== 参考资料 ==		== 参考资料 ==
	{{默认排序:序数记号}}		{{默认排序:序数记号}}
	[[分类:记号]]		[[分类:记号]]

2025年8月20日 (三) 08:21 Z

2025-08-20T08:21:25Z

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第122行：		第122行：

	== 参考资料 ==		== 参考资料 ==
			{{默认排序:序数记号}}
	[[分类:记号]]		[[分类:记号]]

2025年8月20日 (三) 07:33 Z

2025-08-20T07:33:19Z

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2025年8月15日 (五) 05:55 Apocalypse

2025-08-15T05:55:57Z

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第1行：		第1行：
	1		<math>\omega\mathrm{-Y}</math>，是一种[[Beklemishev's Worm\|Worm]]型序数记号。

			== 定义 ==

			=== 合法表达式 ===
			一个合法的<math>\omega\mathrm{-Y}</math>表达式是以 1 开头的正整数序列，即形如

			<math>(a_1,a_2,\cdots,a_n)\quad(n,a_1,a_2,\cdots,a_n\in\N,a_1=1)</math>

			的序列。

			例如：<math>(1,4,6,4)</math>和<math>(1,1,4,5,1,4)</math>都是合法的 <math>\omega\mathrm{-Y}</math> 表达式，而<math>(1,2,\pi)</math>不是。

			=== 结构 ===
			<math>\omega\mathrm{-Y}</math>的合法表达式可分为'''零表达式'''、'''后继表达式'''和'''极限表达式'''。

			* '''零表达式'''指<math>n=0</math>的表达式，即空序列；
			* '''后继表达式'''指<math>n>0,a_n=1</math>的表达式，即末项为1的非空序列；
			* '''极限表达式'''指<math>n>0,a_n>1</math>的表达式，末项不为1的非空序列。

			对于<math>\omega\mathrm{-Y}</math>的一个极限表达式<math>(a_1,a_2,\cdots,a_n)</math>，定义以下术语：

			==== 行标与列标 ====
			设想我们在一个无限大的矩阵下工作，从左往右是第1,2,...列，从下往上是第0,1,...行。'''与<math>\mathrm{1-Y}</math>相同：
			* 行标现在可以是一个超限序数，例如第<math>\omega</math>行。
			* 一些项现在可以不赋予任何数作为取值，这些项称为空项，记作<math>\varnothing</math>。'''
			第<math>\alpha</math>行第<math>j</math>列的项记为<math>x_{\alpha,j}</math>。

			初始时，我们有<math>x_{0,j}=a_j</math>，<math>1\leq{j}\leq{n}</math>。

			==== 后继序数行的父项 & 阶差项 ====
			对于后继序数<math>\alpha+1</math>和非空项<math>x_{\alpha+1,j}</math>，它的父项是与它位于同一行，且满足以下条件的最右侧非空项<math>x_{\alpha+1,k}</math>：

			* <math>k<j</math>且<math>x_{\alpha+1,k}<x_{\alpha+1,j}</math>。
			* <math>x_{\alpha,k}</math>是<math>x_{\alpha,j}</math>的祖先项。

			这里“祖先项”的定义类似于[[Bashicu矩阵\|BMS]]：一个元素自己，以及它的父项、父项的父项、父项的父项的父项......共同构成它的祖先项。

			对于第0行的项<math>x_{0,j}</math>，它的父项是与它位于同一行，且同时满足<math>k<j</math>和<math>x_{0,k}<x_{0,j}</math>的最右侧项<math>x_{0,k}</math>。

			如果满足上述条件的项不存在，那么<math>x_{\alpha+1,j}</math>(或者<math>x_{0,j}</math>)的父项不存在。特别地，等于1的项的父项不存在。

			对于任何序数<math>\alpha</math>，项<math>x_{\alpha,j}</math>：
			* 如果它有父项<math>x_{\alpha,k}</math>，则它的阶差项为<math>x_{\alpha+1,j}=x_{\alpha,j}-x_{\alpha,k}</math>。
			* 如果它没有父项，或者为空项，它的阶差项为<math>x_{\alpha,j}=\varnothing</math>。

			由于第<math>\alpha</math>行的项的阶差项构成了第<math>\alpha+1</math>行，称第<math>\alpha+1</math>行的序列是第<math>\alpha</math>行的序列的'''阶差序列'''。

			==== 极限序数行的父项 ====
			上述定义只给出了后继序数行的项的取值和父项关系。接下来给出极限序数的情形：

			设极限序数<math>\alpha=\beta+\omega^k<\omega^\omega</math>，<math>\beta</math>为极限序数，<math>k</math>是正整数。

			取出最大的序数<math>\gamma<\omega^k</math>使得<math>x_{\beta+\gamma,j}</math>不为空项，这些项<math>x_{\beta+\gamma,j}</math>称为顶端元素。如果这样的<math>\gamma</math>不存在，则记顶端元素为空项。

			对于任何项<math>x_{\delta,j}</math>，定义如下概念：
			* 取出最大的<math>\delta_1</math>使得<math>\delta_1<\delta</math>且<math>x_{\delta_1,j}</math>有父项，记为<math>x_{\delta_1,k}</math>，然后取出最大的<math>\delta_2</math>使得<math>\delta_1\leq\delta_2\leq\delta</math>且<math>x_{\delta_2,k}</math>非空。得到的<math>x_{\delta_2,k}</math>称为<math>x_{\delta,j}</math>的待定父项。

			对于顶端元素<math>x_{\beta+\gamma,j}</math>定义如下概念：
			* 如果顶端元素为空项，或<math>\gamma=0</math>，则<math>x_{\alpha,j}=\varnothing</math>。
			* 否则，从<math>x_{\beta+\gamma,j}</math>开始不断取待定父项，得到第一个小于<math>x_{\beta+\gamma,j}</math>的项，记为<math>x_{\delta,k}</math>。则令<math>x_{\alpha,j}=x_{\beta+\gamma,j}-x_{\delta,k}</math>，称<math>x_{\alpha,k}</math>为<math>x_{\alpha,j}</math>的拟父项。

			对于极限序数<math>\alpha</math>和大于1的项<math>x_{\alpha,j}</math>，它的父项是与它位于同一行，且满足以下条件的最右侧项<math>x_{\alpha,k}</math>：

			* <math>k<j</math>，<math>x_{\alpha,k}</math>非空且<math>x_{\alpha,k}<x_{\alpha,j}</math>。
			* <math>x_{\alpha,k}</math>是<math>x_{\alpha,j}</math>的拟祖先项。

			这里“拟祖先项”的定义是：一个元素自己，以及它的拟父项、拟父项的拟父项......共同构成它的拟祖先项。

			如果满足上述条件的项不存在，那么<math>x_{\alpha,j}</math>的父项不存在。另外，等于1的项的父项不存在。

			''注：此处的“拟父项/拟祖先项”是编者引入的等价的临时定义。在主流的定义与教程中，通常使用山脉图(见下文)定义此部分内容。''

			==== 末列与坏根 ====
			第<math>n</math>列称为'''末列'''。

			对于末列的某一项<math>x_{\alpha,n}</math>，它的父项设为<math>x_{\alpha,r}</math>。如果在计算到某行(第<math>\gamma</math>行)时有<math>x_{\gamma,n}-x_{\gamma,r}=1</math>，则称<math>a_r</math>为'''坏根'''，称第<math>r</math>列为'''根列'''。

			以上给出了<math>\omega\mathrm{-Y}</math>极限表达式<math>(a_1,a_2,\cdots,a_n)</math>的完整寻找坏根流程。

			== 山脉图 ==
			要描述<math>\omega\mathrm{-Y}</math>的展开规则或者直观理解部分定义，需要用到'''山脉图'''的辅助。

			''(不会写了，要不直接复制一下教程)''

			网站[https://naruyoko.github.io/MEGAwhYmountain MEGAwhY mountain]可以绘制<math>\omega\mathrm{-Y}</math>的山脉图。

			''(待补充附有配图的ω-Y山脉图绘制例子)''

			== 展开 ==
			''(还是不会写，要不直接复制一下教程)''

			== 枚举 ==
			''(开摆!)''

			== <math>\mathrm{n-Y}</math>序列 ==

			== <math>\mathrm{C\ n-Y}\&\mathrm{D\ n-Y}</math> ==

			== 参考资料 ==
			[[分类:记号]]

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2025-08-15T05:51:29Z

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