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pPMPN是''318`4''的第6次山脉记号式高阶山脉图尝试，目的是解决[[FOS]] Ɵ(φ(ε₀,0))之前的主要问题。

== 定义 ==

=== pPMPN ===
protovariance Progressive-mountain parallel Notation 

极限表达式：(0)(,1,,1)(,2,,2',2,,2)(,3,,3',3,,3',3,,3)...

列：序列中以底层逗号分隔的数组，用列标表示一列在序列中的相对位置

项：一个由多逗号分隔符和数字组成的元素，是记号的基本组成部分

阶：一个项中分隔符逗号的数量加一是这个项的阶

坐标记号：坐标是一个形如x(a,b)c的数组，其中x是列标，a,b是坐标数(a²+b²>0)，c是阶记号；x(a,b)c=r中的r、A(x(a,b)c)都表示项的值

坐标规定：一个项左边(b=0时含本身)的","数量是这个项坐标a的值，","数量是这个项坐标b的值，这个项的逗号数量是c的值

坐标记法：#表示任意数组；O表示任意多个1；L表示可取的最大值，有多个L时，按下标从小到大依次取最大值

坐标的序型：坐标x(a,b)c与序数ω²b+ωa+c对应，用C(项)表示该项的序型

位：一个坐标位置x(a,b)，位x(a,b)的序型是ω²b+ωa

第0行：x(0,0)是隐藏的第0行，x+1(0,0)c的父项恒为k(0,0)c

末列：最右侧的列

末项：末列中最右侧的项

位大小比较：按阶数从小到大比较两个位中同阶项的数字的大小

列大小比较：按序型从小到大比较两个列各个位的大小

项的父项：设项为x(#)=n，则其父项的坐标为n(#)

项的祖先：项对父项关系的传递闭包，不包含项自己

右腿项：一个项的右腿项是列中序型小于该项的最大的，以列标为（该项的值）的项为祖先的项

左腿项：

对于项x(a,b)k+1=r，设它的同阶右腿项是x(c,d)k+1=s：

如果该项的坐标是x(1,0)1，则它的左腿项是x-1(0,0)1

否则如果该项的坐标是x(1,0)2=r，则它的左腿项是r(1,0)1

否则如果该项是x(1,b+1)k=r，则它的左腿项是r(y,b)k，其中y=min{r(L,b)k的L值，c}

<nowiki>否则它的左腿项列标是r，序型是min{C(右腿项)，max{C(第r列项)|C(第r列项)<C(该项)}}</nowiki>

左/右腿链：项对“指向左/右腿项”关系的传递闭包，不包含项自己

同阶右腿项：该项的右腿链上序型最大的同阶项，是该项的同阶右腿项

同阶左腿项：如果项与它的左腿项同阶，则同阶左腿项=左腿项，否则同阶左腿项是左腿项的右腿链上序型最大的与该项同阶的项

设末项的坐标是x(#)r，展开前末项的值是w，复制单元长度是λ=x-w

<nowiki>#</nowiki>define U sgn(sgn(s-w)+1) // U是ascension matrix值

根项：如果末项位于x(1,b+1)2，那么根项是末项的左腿项，否则根项是末项的父项

末列展开：

删掉末项，然后把序型为C(根项)+α的项复制到C(原末项)+α的位置，其中α是任意序数；设根项复制前后的坐标数a之差为ō

如果此时末项的左腿项与末项的坐标数b相差大于1，则把末位从x(a,b+1)移动到x(L+1,b)

然后移动末列中序型更大的项以保持C(项)=C(末位)+α中的α不变

非末项展开：

确定从根列（不含）到末列（含）中所有非末项项是否为提升项：r=3时，以给定项为祖先的项是提升项

如果末项的左腿项是3阶项，给定项是末项的左腿所在位的项，否则给定项是末项的左腿项

对于提升项m(a,b)k=s，它对应复制成新的项，k+λ(a+ō,b)m=s+λU，这个项仍然是提升项；

从k+λ(a,b)到k+λ(a+ō-1,b)(两边都含)这些位，复制第s+λU列的同坐标序型项，但数值等于s+λU

如果k(a+i,b)这个位不为空，那么它内部的项对应复制到k+λ(a+i+1,b)(i是正整数)

如果C(末项)>ω²且r=1，那么序型大于末项的项k(a,b)2=s复制成k+λ(a,b)2=(k(a,b)2的同阶右腿项复制在第k+λ列的值)

对于其余的项，k(a,b)m=s复制成k+λ(a或a+1,b)m=s+λU

== 改版 ==

=== upPMPN ===
uniformized protovariance Progressive-mountain parallel Notation 

将pPMPN定义中的【

''极限表达式：(0)(,1,,1)(,2,,2',2,,2)(,3,,3',3,,3',3,,3)...''

''左腿项：''

''对于项x(a,b)k+1=r,设它的同阶右腿项是x(c,d)k+1=s:''

''如果该项的坐标是x(1,0)1,则它的左腿项是x-1(0,0)1''

''否则如果该项的坐标是x(1,0)2=r,则它的左腿项是r(1,0)1''

''否则如果该项是x(1,b+1)k=r,则它的左腿项是r(y,b)k,其中y=min{r(L,b)k的L值，c}''

''<nowiki>否则它的左腿项列标是r,序型是min{C(右腿项)，max{C(第r列项)|C(第r列项)<C(该项)}}</nowiki>''

】改为【

''极限表达式：(0)(,1',1,,1)(,2',2,,2',2,,2)(,3',3,,3',3,,3',3,,3)...''

''左腿项：''

''对于项x(a,b)k+1=r,设它的同阶右腿项是x(c,d)k+1=s:''

''如果该项的坐标是x(1,0)1,则它的左腿项是x-1(0,0)1''

''否则如果该项的坐标是x(1,1)2=r,则它的左腿项是r(1,1)1''

''否则如果该项是x(1,b+2)k=r,则它的左腿项是r(y,b+1)k,其中y=min{r(L,b+1)k的L值，c}''

''<nowiki>否则它的左腿项列标是r,序型是min{C(右腿项)，max{C(第r列项)|C(第r列项)<C(该项)}}</nowiki>''

】

=== spPMPN ===
subsequencified protovariance Progressive-mountain parallel Notation

将pPMPN定义中的【

''如果C(末项)>w2且r=1,那么序型大于末项的项k(a,b)2=s复制成k+λ(a,b)2=(k(a,b)2的同阶右腿项复制在第k+λ列的值)''

】删掉

=== MpPMPN ===
Mutant protovariance Progressive-mountain parallel Notation 

将pPMPN定义中的【

''根项：''

''如果末项位于x(1,b+1)2,那么根项是末项的左腿项，否则根项是末项的父项''

''末列展开：''

''删掉末项，然后把序型为C(根项)+α的项复制到C(原末项)+α的位置，其中α是任意序数''

''如果此时末项的左腿项与末项的坐标数b相差大于1，则把末位从x(a,b+1)移动到x(L+1,b)''

''然后移动末列中序型更大的项以保持C(项)=C(末位)+α中的α不变''

】改为【

''根项：''

''如果末项位于x(1,b+1)2,那么根项是末项的左腿项''

''否则如果r=1,那么根项是末项的父项''

''否则在末项的同阶左腿链上，找到坐标序型最大的项A,满足A的同阶左腿项[在第0行]或[与A有至少一个坐标数相差大于1]''

''然后在A处沿右腿向上向下各走两步，如果经过的四个项都是[单逗号项或第0行或不存在]，那么A是根项''

''否则取A的父项作为A重复该条，最后取到根项后，记取父项的次数是f''

''末列展开：''

''如果末项是x(a+1,b)2且末项有父项，则删掉末项的一个逗号（原父项变为左腿项），否则删掉末项''

''然后把序型为C(根项)+α的项复制到C(末项)+α的位置，其中α是任意序数，α=0时，复制的项的数值增加f''

''如果此时末项的左腿项与末项的坐标数b相差大于1，则把末位从x(a,b+1)移动到x(L+1,b)''

''然后移动末列中序型更大的项以保持C(项)=C(末位)+α中的α不变''

】
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[[分类:记号]]