查看“︁Y序列”︁的源代码

'''<math>\mathrm{Y}</math>序列'''，一般指<math>\mathrm{1-Y}</math>，一种[[Beklemishev's Worm|Worm]]型序数记号。

== 定义 ==

=== 合法表达式 ===
一个合法的 <math>\mathrm{1-Y}</math> 表达式是以 1 开头的正整数序列，即形如

<math>(a_1,a_2,\cdots,a_n)\quad(n,a_1,a_2,\cdots,a_n\in\N,a_1=1)</math>

的序列。

例如：<math>(1,4,6,4)</math>和<math>(1,1,4,5,1,4)</math>都是合法的 <math>\mathrm{1-Y}</math> 表达式，而<math>(1,2,\pi)</math>不是。

===  结构 ===
<math>\mathrm{1-Y}</math> 的合法表达式可分为'''零表达式'''、'''后继表达式'''和'''极限表达式'''。

* '''零表达式'''指<math>n=0</math>的表达式，即空序列；
* '''后继表达式'''指<math>n>0,a_n=1</math>的表达式，即末项为1的非空序列；
* '''极限表达式'''指<math>n>0,a_n>1</math>的表达式，末项不为1的非空序列。

对于 <math>\mathrm{1-Y}</math> 的一个极限表达式<math>(a_1,a_2,\cdots,a_n)</math>，定义以下术语：

==== 行标与列标 ====
设想我们在一个无限大的矩阵下工作，从左往右是第1,2,...列，从下往上是第0,1,...行。'''与 <math>\mathrm{0-Y}</math> 不同的是：'''
* 行标现在可以是一个超限序数，例如第<math>\omega</math>行。
* 一些项现在可以不赋予任何数作为取值，这些项称为空项，记作<math>\varnothing</math>。'''
第<math>\alpha</math>行第<math>j</math>列的项记为<math>x_{\alpha,j}</math>。

初始时，我们有<math>x_{0,j}=a_j</math>，<math>1\leq{j}\leq{n}</math>。

==== 后继序数行的父项 & 阶差项 ====
对于后继序数<math>\alpha+1</math>和非空项<math>x_{\alpha+1,j}</math>，它的父项是与它位于同一行，且满足以下条件的最右侧非空项<math>x_{\alpha+1,k}</math>：

* <math>k<j</math>且<math>x_{\alpha+1,k}<x_{\alpha+1,j}</math>。
* <math>x_{\alpha,k}</math>是<math>x_{\alpha,j}</math>的祖先项。

这里“祖先项”的定义类似于[[BMS]]：一个元素自己，以及它的父项、父项的父项、父项的父项的父项......共同构成它的祖先项。

对于第0行的项<math>x_{0,j}</math>，它的父项是与它位于同一行，且同时满足<math>k<j</math>和<math>x_{0,k}<x_{0,j}</math>的最右侧项<math>x_{0,k}</math>。

如果满足上述条件的项不存在，那么<math>x_{\alpha+1,j}</math>(或者<math>x_{0,j}</math>)的父项不存在。特别地，等于1的项的父项不存在。

对于任何序数<math>\alpha</math>，项<math>x_{\alpha,j}</math>：
* 如果它有父项<math>x_{\alpha,k}</math>，则它的阶差项为<math>x_{\alpha+1,j}=x_{\alpha,j}-x_{\alpha,k}</math>。
* 如果它没有父项，或者为空项，它的阶差项为<math>x_{\alpha,j}=\varnothing</math>。

由于第<math>\alpha</math>行的项的阶差项构成了第<math>\alpha+1</math>行，称第<math>\alpha+1</math>行的序列是第<math>\alpha</math>行的序列的'''阶差序列'''。

==== 极限序数行的父项 & 提取 ====
上述定义只给出了后继序数行的项的取值和父项关系。接下来给出极限序数的情形：

设极限序数<math>\alpha=\beta+\omega<\omega^2</math>，<math>\beta</math>为极限序数。则定义项<math>x_{\alpha,j}</math>如下：

取出最大的非负整数<math>p</math>使得<math>x_{\beta+p,j}</math>不为空项，则<math>x_{\alpha,j}=x_{\beta+p,j}</math>。这些项<math>x_{\beta+p,j}</math>称为主项。

对大于1的项<math>x_{\alpha,j}</math>定义如下概念：
# 设<math>x_{\alpha,j}=x_{\beta+p,j}</math>，令<math>a=j</math>。
# 设<math>x_{\beta+p-1,a}</math>的父项为<math>x_{\beta+p-1,k}</math>。如果<math>x_{\beta+p-1,k}</math>是主项，或者<math>x_{\beta+p,k}</math>是主项，称<math>x_{\alpha,k}</math>是<math>x_{\alpha,j}</math>的拟父项。
# 否则令<math>a=k</math>并回到第2步，直到找到某个主项，设其列标是<math>l</math>，称<math>x_{\alpha,l}</math>是<math>x_{\alpha,j}</math>的拟父项。

对于极限序数<math>\alpha</math>和大于1的项<math>x_{\alpha,j}</math>，它的父项是与它位于同一行，且满足以下条件的最右侧项<math>x_{\alpha,k}</math>：

* <math>k<j</math>且<math>x_{\alpha,k}<x_{\alpha,j}</math>。
* <math>x_{\alpha,k}</math>是<math>x_{\alpha,j}</math>的拟祖先项。

这里“拟祖先项”的定义是：一个元素自己，以及它的拟父项、拟父项的拟父项......共同构成它的拟祖先项。

如果满足上述条件的项不存在，那么<math>x_{\alpha,j}</math>的父项不存在。另外，等于1的项的父项不存在。

以上定义项<math>x_{\alpha,j}</math>时，将所有位于<math>\beta</math>到<math>\beta+\omega</math>之间的行中每一列的最上方非空项取了出来，并“提”到了<math>\alpha=\beta+\omega</math>行(还保留了其下的一些父项关系)，这就是'''提取(Extraction)'''的含义。

''注：此处的“主项”，“拟父项/拟祖先项”是编者引入的等价的临时定义。在主流的定义与教程中，通常使用山脉图(见下文)定义此部分内容。''

==== 末列与坏根 ====
第<math>n</math>列称为'''末列'''。

对于末列的某一项<math>x_{\alpha,n}</math>，它的父项设为<math>x_{\alpha,r}</math>。如果在计算到某行(第<math>\gamma</math>行)时有<math>x_{\gamma,n}-x_{\gamma,r}=1</math>，则称<math>a_r</math>为'''坏根'''，称第<math>r</math>列为'''根列'''。

以上给出了 <math>\mathrm{1-Y}</math> 极限表达式<math>(a_1,a_2,\cdots,a_n)</math>的完整寻找坏根流程。

== 山脉图 ==
''此部分内容来自梅天狸的知乎内容''

=== 1,3前的Y序列山脉图 ===
这一部分的1-Y，山脉图与0-Y是相当相似的。区别仅在于，每个序列的1在阶差序列中将不再是1，而是空项。例如，<math>Y(1,2,4,5,7)</math>的阶差序列为<math>(\varnothing,1,2,1,2)</math>，二级阶差序列为<math>(\varnothing,\varnothing,1,\varnothing,1)</math>，山脉图如图1所示。找父项时，如果沿左腿向下走一步之后无法向上走，那么认为这一项在当前行不存在父项。例如在图1中，如果右上角的是2，那么它找父项时不能连续沿左腿向下走两步再沿右腿向上两步，找到前面的1。(仅用来举例，实际上右上角是2的时候不标准)

[[文件:v2-b67049dc75cd6f4cdea1bd80ec4a1e0f 1440w.png|center|图1]]<pre style="border:0;margin:0;background-color:inherit;padding:0;font-family:inherit;width:100%;text-align:center">图1，Y(1,2,4,5,7)的山脉图</pre>


再来个<math>Y(1,2,4,8,10,7,12)</math>的例子，如图2。可以看到除了会出现缺项以外，这部分的1-Y山脉图规则和0-Y没什么不同。
[[文件:v2-a27b4b147b696d0029d6f2f2898e858f 1440w.png|center|图2]]<pre style="border:0;margin:0;background-color:inherit;padding:0;font-family:inherit;width:100%;text-align:center">图2，Y(1,2,4,8,10,7,12)的山脉图</pre>


=== 1,3后的Y序列山脉图 ===
对于一个Y序列的山脉图，它被展开完全的一大特征是所有列的最上层都为1。但按照前一部分的规则，展开<math>Y(1,3)</math>的结果会是这样，如图3：
[[文件:v2-8a4d66f125b135b47eebf08ff0e3ea69 1440w.png|center|图3]]<pre style="border:0;margin:0;background-color:inherit;padding:0;font-family:inherit;width:100%;text-align:center">图3</pre>


此时，第二列的最上层是2而不是1，表明展开未完全。但这一层，又已经只剩它一个数，它没有同一层的父项。因此，我们需要添加新规则以继续展开它。

这个新规则，便是1-Y的核心“提取”。

所谓提取，指的是将山脉图所有列最上层的数取出来构成一个新的序列，同时保持原来的父项关系。用稍复杂的<math>Y(1,3,7,14,7,13)</math>举个例子,如图4：
[[文件:v2-8695e518d24ed87fef09adac5bbd1466 1440w.png|center|图4]]<pre style="border:0;margin:0;background-color:inherit;padding:0;font-family:inherit;width:100%;text-align:center">图4，Y(1,3,7,14,7,13)的山脉图(提取前)</pre>


我们从上面这个山脉图中，能提取出的新序列就是<math>(1,2,2,1,2,2)</math>。所谓的“保持原来的父项关系”，指的是这个提取出的新序列，在寻找待定父项时要回到原来的山脉图中寻找。例如在上面的例子中，新序列最后两项的2的父项都是首项的1，而不是第四项的1。

把这些信息画在一个山脉图上，会像这样,如图5：
[[文件:v2-565896c533c7b73bc69dc8e1a86a470b 1440w.png|center|图5]]<pre style="border:0;margin:0;background-color:inherit;padding:0;font-family:inherit;width:100%;text-align:center">图5，Y(1,3,7,14,7,13)的山脉图(提取后)</pre>


这里的虚线表明经历了一次提取操作。这些灰色的“右腿”将原山脉图每一列顶端的项和提取序列对应的项相连，灰色的“左腿”由这些顶端项沿原山脉图中的左腿向下走一步，再沿右腿向上走一步，重复这个过程直到遇见另一个顶端项得到。由于这些“左腿”和“右腿”不直接表示父项关系，所以用灰色表示。现在，要找提取序列中某一项的父项，也只需要像之前我们做的那样，先沿灰色的左腿向左下，再沿灰色的右腿向上就可以了。

对提取序列再次取阶差、作山脉图，直到每一列的最上端都为1为止，就得到了完整的山脉图。例如，下面是<math>Y(1,3,7,14,7,13)</math>的完整山脉图，如图6：
[[文件:v2-e5f766fbe6373b5b5e6582d3187c379d 1440w.png|center|图6]]<pre style="border:0;margin:0;background-color:inherit;padding:0;font-family:inherit;width:100%;text-align:center">图6，Y(1,3,7,14,7,13)的完整山脉图</pre>


如果提取后的序列作山脉图之后，仍不能使每一列最上端都为1，那么就需要再次提取。下面的<math>Y(1,4,11,21)</math>就是一个要提取两次的例子，如图7：
[[文件:v2-c6ae6da7293037ad17d6082b6d98932e 1440w.png|center|图7]]<pre style="border:0;margin:0;background-color:inherit;padding:0;font-family:inherit;width:100%;text-align:center">图7，Y(1,4,11,21)的山脉图</pre>


网站[https://naruyoko.github.io/whYmountain/ whY mountain]可以绘制 <math>\mathrm{1-Y}</math> 的山脉图。

== 展开 ==
<math>\mathrm{1-Y}</math> 的展开难度远高于[[0-Y]]。

对于 <math>\mathrm{1-Y}</math> 的极限表达式<math>\mathrm{Y}(a_1,a_2,\cdots,a_n)</math>，其基本列第<math>q</math>项可按以下方式确定：

先作出其山脉图，求出根列<math>r</math>，根列右侧的结构称为'''坏部'''。

设序列一共进行了<math>m</math>次提取操作，此时山脉图被分为<math>m+1</math>层，第<math>k</math>层的行标位于<math>\omega(k-1)</math>和<math>\omega k</math>之间。

<math>\mathrm{1-Y}</math> 的展开是从上到下逐层进行的。

对于最上面一层，其展开规则和 <math>\mathrm{0-Y}</math> 类似：

# 先将末列行标第二大的项<math>x_{\omega m+p,n}</math>减1(行标最大的项为1)，删除本层坏部第<math>\omega m+p</math>行以下元素的数值。
# 将本层的坏部平移并复制在山脉图末尾，复制<math>q-1</math>次。“坏部平移”是指左右腿及端点同时平移
# 特别地，如果某一条左腿的端点位于根列左侧，复制时左腿的端点不向右平移。
# 接下来，从根列右侧开始从上到下，每一行从左到右填入数字。对于某个位置，若其向上通过右腿移动到值为<math>x</math>的项，然后向左下通过左腿移动到值为<math>y</math>的项，则这个位置应填入<math>x+y</math>。

第<math>k(1\le k \le m)</math>层山脉图的展开需要引入几个概念<ref>Suzuka梅天狸：Y序列专题(4)——让我们请出主角登场(下) ，https://zhuanlan.zhihu.com/p/671375564</ref>：顶点元素、平移边、轮廓边、参考边。

顶点元素的定义如下：从本层根列的主项出发，重复“沿左腿向上走一步，再沿右腿向下走若干步(终点的行标不能低于起点)”，得到的所有主项称为顶点元素。或者说，顶点元素是在提取之后以根列为“拟祖先项”的主项。

平移边、轮廓边、参考边的定义和顶点元素有关：

* '''轮廓边'''：从一个顶点元素出发，重复“沿左腿向上走一步，再沿右腿向下走一步”直至无路可走，中间经过的所有边称为轮廓边。
* '''平移边'''：根列右侧的非轮廓边称为平移边。
* '''参考边'''：从本层根列的主项出发，得到的所有轮廓边称为参考边。取基本列第<math>q</math>项时，根列右边的结构需要循环复制<math>q-1</math>次。在每一轮复制的过程中，三种边的行为如下：

* 平移边只需要简单地向右平移。特别地，若左腿的端点位于根列左侧，则左腿的端点保持不动。这一点和 <math>\mathrm{0-Y}</math> 的规则类似。
* 轮廓边在向右平移的同时，还需要向上提升它的高度。具体来说，提升的高度为最右列和根列顶点元素的高度差。
*参考边在向右平移后，还要向上复制，用来填补平移边和轮廓边之间的空隙。

在所有的边复制完成之后，我们还是按照从上到下、从左到右的顺序向山脉图填入数字。

首先，本层每一列最上方的项等于上层最底行(即第<math>\omega k</math>行)对应项，即保持虚线两端的对应关系

填充完最上方的数字之后，按照之前相同的规则继续填充其它项，就得到了第<math>k</math>层的山脉图。

从第最上面一层开始，依次对每一层进行复制和填充，直到填充完第1层，得到第0行的序列就是<math>\mathrm{Y}(a_1,a_2,\cdots,a_n)</math>的基本列第<math>q</math>项。

举例：
[[文件:v2-8ea9da29bb778a9d577ae4f7455bb442 1440w.png|center|图8]]<pre style="border:0;margin:0;background-color:inherit;padding:0;font-family:inherit;width:100%;text-align:center">图8，Y(1,2,4,8,10,8)的山脉图</pre>


Y(1,2,4,8,10,8)的展开：首先，画出山脉图如图8：
[[文件:v2-04b98bfa0936f5757b7d1e857f9af1de 1440w.png|center|图9]]<pre style="border:0;margin:0;background-color:inherit;padding:0;font-family:inherit;width:100%;text-align:center">图9</pre>


图中，标红的1便是根元素。把它所在的行按照0-Y规则展开为1,2,1,1,2,1,1,2,1,1,……，随后从上向下逐行复制山脉图，得到展开式。注意：第二行靠右侧的2父项位于根列左侧，它始终维持不变，如图9


Y(1,3,4,3)的展开：首先，我们画出它的完整山脉图，如图10：
[[文件:v2-01ca19613eeac67784c67ace55bb749e 1440w.png|center|图10]]<pre style="border:0;margin:0;background-color:inherit;padding:0;font-family:inherit;width:100%;text-align:center">图10</pre>


用红色标出了这个序列的根元素，可以看到，它位于最左列。因此，最左列是这个序列的根列。接着，我们展开上半部分，同时对下半部分的元素进行标注，如图11：
[[文件:v2-366835de9c43f63f82380de5173fb47d 1440w.png|center|图11]]<pre style="border:0;margin:0;background-color:inherit;padding:0;font-family:inherit;width:100%;text-align:center">图11</pre>


在这个序列中，下半部分的所有边都是轮廓边，因为它们都可以由最左侧的顶点元素 

沿左腿向上一步之后沿右腿向下一步，并重复这个过程得到。这对我们来讲毫无疑问是个好消息。

接着，我们把这些轮廓边向右复制，同时向上提升高度。由于最右侧的顶点元素位于第二行，而根列的顶点元素位于第一行，所以每次复制的时候，我们都需要把这些边向上提升一行。如图12
[[文件:v2-f8ad04d9e2e37fab0f5ae88cd77e9cde 1440w.png|center|图12]]<pre style="border:0;margin:0;background-color:inherit;padding:0;font-family:inherit;width:100%;text-align:center">图12</pre>


现在，我们可以看到山脉图下半部分的右下方出现了空隙。这些空隙就需要我们使用参考边填充进去了。找出参考边，并进行复制，直到空隙被填满。如图13：
[[文件:v2-4af19259d110b19974cc14a92acc1527 1440w.png|center|图13]]<pre style="border:0;margin:0;background-color:inherit;padding:0;font-family:inherit;width:100%;text-align:center">图13</pre>


[[文件:v2-94284efe95c3e9a6a79f49acc335d4ac 1440w.png|center|图14]]<pre style="border:0;margin:0;background-color:inherit;padding:0;font-family:inherit;width:100%;text-align:center">图14</pre>


Y(1,3,4,2,5,6,5)的展开：首先，还是画出它的山脉图，如图14

这次的根列是第四列。展开最上层。这次的轮廓边只有两条了。底下的那些通通是平移边。进行向右的复制，同时提升轮廓边的高度。在这个例子中，依旧是每复制一次，高度提升一行。如图15：
[[文件:v2-cd1ff02db7ebfe3f4d3b73d4bbb6a0da 1440w.png|center|图15]]<pre style="border:0;margin:0;background-color:inherit;padding:0;font-family:inherit;width:100%;text-align:center">图15</pre>


找到参考边，复制，填满空隙。注意第六列的1在复制时不向上提升。如图16
[[文件:v2-86605a0fb0e63cc168cd3bd31c1c4267 1440w.png|center|图16]]<pre style="border:0;margin:0;background-color:inherit;padding:0;font-family:inherit;width:100%;text-align:center">图16</pre>


[[文件:v2-4c562d36df45c83b3212af01f38eaec9 1440w.png|center|图17]]<pre style="border:0;margin:0;background-color:inherit;padding:0;font-family:inherit;width:100%;text-align:center">图17</pre>


Y(1,4,9,4)的展开：先画出山脉图。如图17

展开上层，标注中层。如图18
[[文件:v2-b2a2c40d30044a456d266a748f9454d6 1440w.png|center|图18]]<pre style="border:0;margin:0;background-color:inherit;padding:0;font-family:inherit;width:100%;text-align:center">图18</pre>


复制中层的轮廓边和平移边(这个例子中没有)。把参考边填进去。如图19
[[文件:v2-8e90467f32cfc627f9e3d5c9f0dc2a77 1440w.png|center|图19]]<pre style="border:0;margin:0;background-color:inherit;padding:0;font-family:inherit;width:100%;text-align:center">图19</pre>


现在我们完成了中层的展开，只需要再重复一次就大功告成了。由于这部分操作没什么不同，就一步到位了。如图20
[[文件:v2-c9537353c15a43bb98e60a25381fb7f8 1440w.png|center|图20]]<pre style="border:0;margin:0;background-color:inherit;padding:0;font-family:inherit;width:100%;text-align:center">图20</pre>


== 强度分析 ==
主词条：[[Y序列 VS TBMS]]、[[Y序列 VS BTBMS]]、[[fffz分析]]

对Y序列进行强度分析是一个微妙的事情——它已经是[[googology]]最强的记号之一了，有能力和它对照的记号大多是与它类似的山脉型记号（如[[MBO|MN]]系列、[[MMS]]、[[ω-Y]]等），只有[[Fake Fake Fake Zeta|fffz]]、[[FOS]]、[[LTY#BLP|BLP]]等记号与其不存在表面上的相似性，但它们要么定义不全，要么分析困难。这里展示一些Y序列与TBMS的对照的关键节点。
{| class="wikitable"
|+
!Y序列
!TBMS
|-
|1,3
|<math>(0)(1^\omega)</math>
|-
|1,3,2,5,4
|<math>(0)(1^\omega)(1,1)</math>
|-
|1,3,3
|<math>(0)(1^\omega)(1^\omega)</math>
|-
|1,3,4
|<math>(0)(1^\omega)(2)</math>
|-
|1,3,4,2,5,6,5
|<math>(0)(1^\omega)(2)(1^\omega)</math>
|-
|1,3,4,2,5,7
|<math>(0)(1^\omega)(2,1)</math>
|-
|1,3,4,2,5,7,5
|<math>(0)(1^\omega)(2,1^\omega)</math>
|-
|1,3,4,2,5,7,10
|<math>(0)(1^\omega)(2,2)</math>
|-
|1,3,4,2,5,7,10,5
|<math>(0)(1^\omega)(2^\omega)</math>
|-
|1,3,4,2,5,7,11
|<math>(0)(1^{\omega+1})</math>
|-
|1,3,4,2,5,8
|<math>(0)(1^{\omega^2})</math>
|-
|1,3,4,2,5,8,8
|<math>(0)(1^{\omega^3})</math>
|-
|1,3,4,2,5,8,10
|<math>(0)(1^{\Omega})</math>
|}

== 参考资料 ==
{{默认排序:序数记号}}
[[分类:记号]]