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'''TREE 函数'''是由数理逻辑学家 Harvey Friedman 提出的图论函数。

=== 定义 ===

==== 树的嵌入 ====
[[文件:树的嵌入.png|缩略图]]
给定两棵树 A 和 B，我们称 A 能嵌入到 B 中，如果 B 能通过有限次以下操作得到 A：

* 删除一个叶子节点。
* 若某点只有两条边和它连接，删除这个点，用一条边连接与它相邻的两个顶点(即将两条相邻的边合并成一条)。
例如，图中右边的两棵树均能嵌入到左边的树中，但它们不能互相嵌入。

==== TREE(n) ====
TREE 函数研究的是一类特殊的树，其每个顶点被赋予一个值，称为该点的“颜色”。

给定正整数 n，<math>\rm TREE(n)</math> 被定义为满足以下条件的“树列”<math>\{T_n\}</math> 的最大长度：

# 所有树的顶点至多有 <math>n</math> 种不同的颜色；
# <math>T_k</math> 至多有 <math>k</math> 个顶点；
# 对于正整数 <math>k<l</math>，<math>T_k</math> 不能嵌入到 <math>T_l</math> 中。

==== tree(n) ====
<math>\rm tree(n)</math>(注意大小写)被称为'''弱tree函数'''，它研究的不是染色树，而是普通树。

给定正整数n，<math>\rm tree(n)</math>被定义为满足以下条件的“树列”<math>\{T_n\}</math>的最大长度：

# <math>T_k</math>至多有<math>n+k</math>个顶点；
# 对于正整数<math>k<l</math>，<math>T_k</math>不能嵌入到<math>T_l</math>中。

=== 有限性证明 ===
<math>\rm TREE(n)</math> 和 <math>\rm tree(n)</math> 的序列总是有限的，这可由 Kruskal 树定理保证。

我们首先要引入'''良拟序（Well-quasi-ordering）'''的概念，它可以看成[[良序]]在一般[[良序#偏序集|偏序集]]上的推广。

设 <math>(X,\le)</math> 为一偏序集，若对于 <math>X</math> 中任意无穷序列 <math>x_0,x_1,x_2,\cdots</math>，总存在 <math>i<j</math> 使得 <math>x_i\le x_j</math>，则称 <math>\le</math> 为集合 <math>X</math> 上的一个良拟序。

换句话说，若偏序集中不存在“无穷降链”，也不存在“无穷不可比较链”，则称该偏序为一个良拟序。

Kruskal 树定理说明，树的嵌入关系是一个良拟序。

也就是说，任意无限棵树构成的序列中，必存在两棵树，前面的树能嵌入到后面的树中。这就证明了 <math>\rm tree(n)</math> 的有限性。

=== 取值 ===

==== n 较小时 ====
对于 <math>\rm TREE(n)</math>，有：

* <math>\rm TREE(1)=1</math>
* <math>\rm TREE(2)=3</math>

对于<math>\rm tree(n)</math>，有：

# <math>\rm tree(1)=2</math>
# <math>\rm tree(2)=5</math>
# <math>{\rm tree(3)\geq844,424,930,131,960}</math>

==== TREE(3) ====
[[文件:TREE(3).jpg|缩略图]]
和 <math>\rm TREE(1)</math>、<math>\rm TREE(2)</math> 仅有一位数的取值相比，<math>\rm TREE(3)</math> 的值出现了“暴涨”，其远远超过了[[葛立恒数]]和 [[Kirby-Paris Hydra|Hydra(5)]]，这使它成为大数领域中最著名的数字之一。

右图是 <math>\rm TREE(3)</math> 序列可能的前几项。

HypCos 在这篇回答<ref>HypCos (2019). 从数学原理上说一说，葛立恒数、tree(3) 等数为什么那么大？[From a mathematical point of view, why are Graham's constants, tree(3) and other numbers so big?]. ''(EB/OL), Zhihu''. https://www.zhihu.com/question/353941713/answer/885942447</ref>中给出了 <math>\rm TREE(3)</math> 的一个下界：

\({\rm TREE(3)}>H_{\varphi(1@\omega,3)\cdot\varphi(1@\omega)}({\rm tree(tree(3)+1)})\)（其中 H 为[[增长层级#哈代层级|哈代层级]]，下同）

==== tree(4) ====
2025 年 5 月 24 日，HypCos 在这篇回答<ref>HypCos (2025). 大数问题：tree(4)有多大？[Googology problem: How big is tree(4)?]. ''(EB/OL), Zhihu''.  https://www.zhihu.com/question/1907086430552950742/answer/1909662327449584802</ref>中给出了 <math>\rm tree(4)</math> 的一个下界：<math>{\rm tree(4)}>H_{\varepsilon_{\omega^22+1}+\alpha}(2\uparrow\uparrow\uparrow6)</math>

=== 增长率 ===
通过对树的嵌入关系进行编序(此处等待进一步说明)，我们可以得到 <math>\rm TREE(n)</math> 和 <math>\rm tree(n)</math> 的增长率分别为

\({\rm TREE(n)}\sim\varphi(\omega@\omega)\)

\({\rm tree(n)}\sim\varphi(1@\omega)\)
== 参考资料 ==
<references />{{默认排序:相关问题}}
[[分类:记号]]