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'''Fake Fake Fake Z(FFFZ)'''，是由 yahtzee 于 2022 年提出，后续由国内的大数研究者夏夜星空完善的'''前沿记号'''。

== 定义 ==
'''注意：FFFZ 的定义尚未完全确定，且有较为频繁的更改(大部分是修改一些小问题,比如简化、修错别字)。这里叙述最新一版(2025.7.26)的定义。'''

'''注意：部分概念的定义被修改为了等价版本。这些修改与原始文本之间是逻辑意义上的等价。'''

=== 主体规则 ===
FFFZ的合法表达式形如<math>\psi_Z[\#](n)</math>，极限基本列为<math>\{\psi_Z(0),\psi_Z(\psi_Z(0)),\psi_Z(\psi_Z(\psi_Z(0))),\cdots\}</math>。

# <math>\psi_Z(0)[s]=1</math>
# <math>\psi_Z[\#](n+1)[s]=\psi_Z[\#](n)\times{s}</math>
# 如果<math>[\#,m,n]</math>存在，<math>\psi_Z[\#,m](n)[s]=f^s(n)</math>，其中<math>f(x)=\psi_Z[\#,m,n](x)</math>
# 如果<math>[\#,m,n]</math>不存在，<math>\psi_Z[\#,m](n)[s]=\psi_Z[\#,m](n[t+s])</math>。其中<math>t</math>定义如下：
* 如果<math>m\geq{n}</math>，那么<math>t=0</math>。
* 如果<math>m<n</math>，那么<math>t</math>是满足<math>n[t]\geq{m}</math>的最小非负整数。

=== 化简规则 ===
* <math>\psi_Z[\#,m](n)=\psi_Z[\#](n)</math>，<math>m>n</math>
* <math>\psi_Z[](n)=\psi_Z(n)</math>

为了判定<math>[\#]</math>的存在性，定义以下概念：

=== 名称解释 ===
对于序列<math>\#=\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m</math>，记它的末项为<math>Endseq(\#)=\alpha_m</math>。

对于序数<math>\alpha</math>，写出它的Cantor范式<math>\sum_{k=1}^{n} \omega^{\alpha_k}</math>。称<math>\omega^{\alpha_n}</math>为<math>\alpha</math>的末项。

如果<math>\alpha</math>等于它的末项，称<math>\alpha</math>为'''简单序数'''，否则为'''复合序数'''。

对于非零简单序数<math>\alpha</math>，它形如<math>\alpha=\psi_Z[\#](n)</math>：
# 如果<math>n</math>是后继序数，称<math>\alpha</math>是<math>+</math>型极限，或0级极限，等级为0。
# 如果<math>[\#,n]</math>不存在，称<math>\alpha</math>是<math>\omega</math>型极限，或1级极限，等级为1。
# 如果<math>[\#,n]</math>存在，称<math>\alpha</math>是<math>\varepsilon</math>型极限，或2级极限，等级为2。

对于两个非零简单序数<math>\alpha</math>和<math>\beta</math>：
# 如果<math>\alpha</math>的等级大于<math>\beta</math>的等级，称<math>\alpha</math>比<math>\beta</math>高等。
# 如果<math>\alpha</math>的等级等于<math>\beta</math>的等级，称<math>\alpha</math>和<math>\beta</math>同等。
# 如果<math>\alpha</math>的等级小于<math>\beta</math>的等级，称<math>\alpha</math>比<math>\beta</math>低等。

对于非零简单序数<math>\alpha</math>，它形如<math>\alpha=\psi_Z[\#,m](n)</math>：
# 如果<math>[\#,m,n]</math>不存在，则<math>\alpha</math>的根为<math>n</math>。
# 如果<math>[\#,m,n]</math>存在，则<math>\alpha</math>的根为<math>m</math>。

对于非零简单序数<math>\alpha</math>，它形如<math>\alpha=\psi_Z(n)</math>，则它的根为<math>n</math>。

对于序数<math>\alpha</math>：
# 如果它是复合序数，它形如<math>\sum_{k=1}^{n} \omega^{\alpha_k}</math>，则每个<math>\omega^{\alpha_k}</math>被它直接包含。
# 如果它是非零简单序数，它形如<math>\psi_Z[\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m](n)</math>，则每个<math>\alpha_k</math>均被它直接包含，<math>n</math>也被它直接包含。
#如果它是0，没有任何序数被它直接包含。

<math>\alpha</math>直接包含<math>\beta</math>，记为<math>dInc(\beta,\alpha)</math>。

接下来是几个较为复杂的定义。

==== 末项，核与层数 ====
对于非零序数<math>\alpha</math>和简单序数<math>s</math>，<math>\alpha</math>关于<math>s</math>的末项是以下两个序数<math>u</math>中较大者：
* <math>u</math>是满足“<math>u<s</math>，且存在序数<math>v</math>使<math>v+u=\alpha</math>”的最大序数。
* <math>u</math>是满足“<math>u</math>是简单序数且存在序数<math>w</math>，使得<math>\alpha=u\times{w}</math>”的最大序数。
* 如果上述两个规则中某条规则没有任何序数<math>u</math>能够满足，那么忽视那条规则。

<math>\alpha</math>关于<math>s</math>的末项记为<math>End(\alpha,s)</math>。特别地，<math>\alpha</math>关于<math>0</math>的末项与上文定义的末项等价，记为<math>End(\alpha)</math>。

对于序数<math>\alpha</math>，序数<math>s</math>，不小于-1的整数<math>k</math>，<math>\alpha</math>关于<math>s</math>的<math>k</math>层核，记为<math>Ker(\alpha,s,k)</math>，定义如下：
* <math>Ker(\alpha,s,-1)=\alpha</math>
* <math>Ker(0,s,k)=0</math>

以下假设<math>\alpha</math>非零，<math>k</math>是非负整数：
* <math>Ker(\alpha,s,k)=Ker(End(\alpha),End(s),k)</math>

以下假设<math>\alpha</math>和<math>s</math>都是非零简单序数，<math>k</math>是非负整数，<math>\alpha</math>形如<math>\psi_Z[\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m](n)</math>：
* <math>Ker(\alpha,s,0)=\psi_Z[End(\alpha_1,s),End(\alpha_2,s),\cdots,End(\alpha_m,s)](End(n,s))</math>
* <math>Ker(\alpha,s,k+1)=Ker(\psi_Z[Ker(\alpha_1,s,k),Ker(\alpha_2,s,k),\cdots,Ker(\alpha_m,s,k)](Ker(n,s,k)),s,0)</math>

对于序数<math>\alpha</math>，其层数是一个非负整数，记为<math>Lev(\alpha)</math>，定义如下：

* <math>Lev(0)=0</math>
* <math>Lev(\alpha)=max\{Lev(\beta)\mid{dInc(\beta,\alpha)}\}+1</math>

层数可以简单的理解为“ψZ嵌套的次数”

对于非零序数<math>\alpha</math>，序数<math>s</math>，<math>\alpha</math>关于<math>s</math>的核记为<math>Ker(\alpha,s)</math>，它定义为<math>Ker(\alpha,s)=Ker(\alpha,s,Lev(\alpha))</math>。

特别地，<math>\alpha</math>的核记为<math>Ker(\alpha)</math>，它定义为<math>Ker(\alpha)=Ker(\alpha,0,Lev(\alpha))</math>。

=== 双元兼容 ===
对于序数<math>\alpha=\psi_Z[\#](n)</math>和<math>\beta=\psi_Z[\&](m)</math>，依次进行以下判定：
# 如果<math>\alpha>\beta</math>，则<math>[\alpha,\beta]</math>存在。
# 如果<math>\alpha</math>和<math>\beta</math>中至少有一个复合序数，则<math>[\alpha,\beta]</math>存在当且仅当<math>[End(\alpha),End(\beta)]</math>存在。
# 如果<math>\alpha=0</math>，则<math>[\alpha,\beta]</math>不存在。
# 当<math>\#=\&</math>时，<math>[\alpha,\beta]</math>存在当且仅当<math>[n,m]</math>存在；否则，如果存在序列<math>\%</math>使得<math>End(Endseq(\%))</math>与<math>End(Endseq(\#))</math>，<math>End(Endseq(\&))</math>之一相等，且存在序数<math>x</math>和序数<math>y</math>使得<math>\alpha=\psi_Z[\%](x)</math>且<math>\beta=\psi_Z[\%](y)</math>，则若<math>[x,y]</math>存在那么<math>[\alpha,\beta]</math>存在
# 如果<math>\beta\geq\psi_Z[\alpha](\alpha)</math>，则<math>[\alpha,\beta]</math>存在当且仅当<math>[\alpha,\beta</math>的根<math>]</math>存在；否则，如果存在简单序数<math>s</math>和不小于-1的整数<math>k</math>，使得<math>Ker(\beta,s,k)\geq\psi_Z[Ker(\alpha,s,k)](Ker(\alpha,s,k))</math>且不存在非零序数<math>x</math>和序列<math>\%</math>使得<math>Ker(\beta,s,k)=\psi_Z[Ker(\alpha,s,k)\times\omega,\%](Ker(\alpha,s,k)\times{x})</math>，则当<math>[\alpha,\beta</math>的根<math>]</math>存在时<math>[\alpha,\beta]</math>存在
# 如果存在两个序数<math>A</math>，<math>B</math>，<math>Ker(A)=Ker(\alpha)</math>，<math>Ker(B)=Ker(\beta)</math>，<math>A</math>属于<math>B</math>基本列，且<math>\alpha</math>比<math>\beta</math>高等，则<math>[\alpha,\beta]</math>存在
# 如果通过上述规则均无法说明<math>[\alpha,\beta]</math>存在，则<math>[\alpha,\beta]</math>不存在

=== 多元兼容 ===
对于序列<math>\#=\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m</math>，如果任取满足<math>k>j</math>的<math>\alpha=\alpha_j</math>，<math>\beta=\alpha_k</math>都有'''以下两个条件至少成立一个'''，则<math>[\#]</math>存在。

条件I：以下两个条件至少成立一个：
# <math>[\alpha,\beta]</math>存在
# <math>k<m</math>且存在满足<math>k>l</math>的<math>\gamma=\alpha_l</math>，使得<math>[\gamma,\beta]</math>不存在

条件II：对于任何满足<math>k<l</math>的<math>\gamma=\alpha_l</math>，存在简单序数<math>s</math>，不小于-1的整数<math>n</math>，使得以下两个条件同时成立：
# <math>[\beta,\gamma]</math>存在，且<math>Ker(\alpha,s,n)>Ker(\beta,s,n)</math>
# 

''(好吧还没写完(因为看不懂)。除了这条规则(平移转移)，特殊规则以及各种优先级，还要补不少定义域限制，比如“m为序数或空”之类)''

== 直观解释 ==
FFFZ的前几条规则是
# <math>\psi_Z(0)[s]=1</math>
# <math>\psi_Z[\#](n+1)[s]=\psi_Z[\#](n)\times{s}</math>

类似于BOCF的规则。为了提升强度，我们需要引入“兼容”的概念。

“兼容”就是中括号里的东西(有时也叫“伪链”，伪即Fake)，通过类似于“挡刀”的方式提升强度。举个例子：对<math>\psi_Z(n)</math>取极限，得到的并不是<math>\psi_Z(\omega)</math>，而是<math>\psi_Z[\omega](\omega)</math>，中括号内出现了挡刀的<math>\omega</math>。只有达到<math>\alpha\to\psi_Z[\omega](\alpha)</math>的第一个不动点时，才能得到<math>\psi_Z(\omega)</math>。

当然，我们并不局限于只把一个序数放进兼容里。兼容里可以有多个序数，举个例子：对<math>\psi_Z[\omega^2](\omega^2+n)</math>取极限，得到的并不是<math>\psi_Z[\omega^2](\omega^2+\omega)</math>，而是<math>\psi_Z[\omega^2,\omega^2+\omega](\omega^2+\omega)</math>。

从提升强度的角度考虑，我们当然希望设计一套规则，允许更多的兼容，从而最大限度地提升强度。但是，这样的规则并不是总是可行——考虑这样的规则：“任意一系列极限序数可以兼容”，那么我们有

<math>\psi_Z(\omega)\to\psi_Z[\omega](\psi_Z[\omega](\omega))\to\psi_Z[\omega](\psi_Z[\omega](2))\to\psi_Z[\omega](\omega\times{2})\to\psi_Z[\omega,\omega\times{2}](\psi_Z[\omega,\omega\times{2}](\omega\times{2}))\to\psi_Z[\omega,\omega\times{2}](\omega\times{3})\to\cdots</math>

无穷降链。

造成这种结果的原因在于，<math>[\omega,\omega\times{2},\omega\times{3},\cdots]</math>这些序数可以无限地兼容下去，形成'''无限兼容链'''。所以，我们希望的规则应该满足以下两个条件：

1. 允许兼容存在，以提升强度。

2. 不允许某些兼容存在，以避免无限兼容链。

由于实际分析和构造的需要，我们还有第三个条件：

3. 允许某些关键节点的特殊兼容存在。

基于上述的理念，作者给出了上文提到的那一系列规则。

''(未完待续。主要是补充一些概念的直观理解，比如“末项”之类的)''

== 一些展开 ==
(1)<math>\psi_Z(\omega)[2]</math>

注意到<math>[ ,\omega]</math>等价于<math>[\omega]</math>,存在,故原式=<math>\psi_Z[\omega](\psi_Z[\omega](\omega))</math>. 这印证了前文里伪链存在的必要.

(2)<math>\psi_Z[\omega](\omega\times 2)</math>[2]

让我们检验一下<math>[\omega,\omega\times 2]</math>是否存在.

<math>\omega</math>的末项为<math>\omega</math>,<math>\omega\times 2</math>的末项为<math>\omega</math>. 化简完后为<math>[\omega,\omega]</math>. 

第一条:<math>\omega\leq\omega</math>，不行

第二条:<math>\omega</math>为简单序数，不行

第三条:<math>\omega\neq0</math>，不行

第四条:[n,m]=[1,1]，这是什么？

第五条:<math>\omega<\psi_Z[\omega](\omega)</math>,后面的第一个条件不成立,还不行

第六条:<math>\omega
\omega</math>同等,仍然不行

故<math>[\omega,\omega\times 2]</math>不存在,<math>\psi_Z[\omega](\omega\times2)[2]=\psi_Z[\omega](\omega[2])=\psi_Z[\omega](\omega+2).</math>这样避免了上文的无穷降链.

本质上讲,展开一个fffz重点在于判断伪链. 故(3)以后均是这类例子.

(3)<math>[\omega^2,\omega^2+\omega]</math>是否存在?

<math>\omega^2+\omega</math>的末项为<math>\omega</math>,又<math>\omega^2>\omega</math>，存在.

== 衍生版本 ==
上文介绍的版本称为<math>\rm{Strong}</math>版本。除此之外，还有<math>\rm{Actual}</math>版本和<math>\rm{Weak}</math>版本，各版本区别如下：

=== <math>\rm{Actual}</math>版本 ===
   1.除双元兼容第6条外，所有核都必须是关于<math>\omega</math>的
   2.对于能合法而不必标准的写成“<math>\psi_Z</math>[#](X+n)，其中X的末项等于<math>\omega</math>，n是正整数，#是任意序列(可以为空)”的形式的序数A，需遵守下列要求：(k可取全体小于<math>\omega</math>的序数)
     (1).当A处在[]中时，强制固定A关于<math>\omega</math>的k层核为A关于<math>\omega</math>的核(该核无视其它要求另算)
     (2).除(1)之外，强制固定A关于<math>\omega</math>的k层核为A本身

=== <math>\rm{Weak}</math>版本 ===
   1.双元兼容第5条失效
   2.所有核都必须是-1层的

== 分析 ==
主词条：[[fffz分析]]
{| class="wikitable"
|+fffz vs BOCF vs BMS
!Fake Fake Fake Zeta
!MOCF
!BMS
|-
|<math>\psi_Z(0)</math>
|1
|<math>(0)</math>
|-
|<math>\psi_Z(1)</math>
|<math>\omega</math>
|<math>(0)(1)</math>
|-
|<math>\psi_Z(2)</math>
|<math>\omega^2</math>
|<math>(0)(1)(1)</math>
|-
|<math>\psi_Z[\omega](\omega)</math>
|<math>\omega^\omega</math>
|<math>(0)(1)(2)</math>
|-
|<math>{\psi_Z}[\omega](\omega+1)</math>
|<math>\omega^{\omega+1}</math>
|<math>(0)(1)(2)(1)</math>
|-
|<math>\psi_Z[\omega](\omega^2)</math>
|<math>\omega^{\omega^2}</math>
|<math>(0)(1)(2)(2)</math>
|-
|<math>\psi_Z[\omega](\psi_Z[\omega](\omega))</math>
|<math>\omega^{\omega^{\omega}}</math>
|<math>(0)(1)(2)(3)</math>
|-
|<math>\psi_Z[\omega](\psi_Z[\omega](\psi_Z[\omega](\omega)))</math>
|<math>\omega^{\omega^{\omega^{\omega}}}</math>
|<math>(0)(1)(2)(3)(4)</math>
|-
|<math>\psi_Z(\omega)</math>
|<math>\psi(0)</math>
|<math>(0,0)(1,1)</math>
|}
{{默认排序:序数记号}}
[[分类:记号]]