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'''Circle 函数'''是 Harvey Friedman 提出的一个快速增长的函数。<ref>Friedman, H. M. (2000). Enormous integers in real life. (EB/OL). https://bpb-us-w2.wpmucdn.com/u.osu.edu/dist/1/1952/files/2014/01/EnormousInt.12pt.6_1_00-23kmig3.pdf</ref>

=== 定义 ===
由平面上 n 个不相交的圆（可能外离或内含）组成的一个有限序列 <math>\{C_1,C_2,\cdots,C_n\}</math>，记为 '''n 圆组'''。

将并集 <math>C_a\cup C_{a+1}\cup\cdots \cup C_{b-1}\cup C_b</math> 记作 <math>C_{[a,b]}</math>。

给定一个正整数 k，如果存在满足 “<math>k\leq i<j\leq \frac{n}{2}</math>，且存在把 <math>C_{[i,2i]}</math> 变成 <math>C_{[j,2j]}</math> 的子集的同胚拓扑变换” 的 <math>(i,j)</math> 对，那么称这样的 n 圆组为 '''k-好'''的。

我们定义如下的 '''Circle 序列'''：

<math>\mathrm{Circle}(k)</math> 定义为所有不是 k-好的 n 圆组中 n 的最大值。

==== 解释 ====
对于平面上任何圆的集合 S，我们可以自然地将 S 解释为森林，每个圆对应于森林中的不同顶点。根顶点将对应于不包含在任何其他圆中的圆。

如果顶点 v 对应于圆 C，则 v  的子圆将对应于 C 中包含的 S 中的圆，中间没有中间圆。当且仅当对应的顶点 v<sub>1</sub> 是 v<sub>2</sub> 的后代时，圆 C<sub>1</sub> 才会包含在圆 C<sub>2</sub> 中。

对于任何一对圆的集合 S<sub>1</sub> 和 S<sub>2</sub> 使用相应的森林 F<sub>1</sub> 和 F<sub>2</sub>，当且仅当存在 F<sub>1</sub> 的嵌入时，S<sub>1</sub> 才会同胚到 S<sub>2</sub> 到 F<sub>2</sub>。

因此，我们可以将 <math>\mathrm{Circle}(k)</math> 的定义重新表述为：

最大的 n，使得存在一个森林 F，其中 n 个顶点标记为 1 到 n，满足以下条件：F<sub>i</sub> 是 F 的子林，由标记为 i  到 2i 的顶点组成（如果我们删除了任何顶点及其后代之间的顶点，则后一个顶点连接到其第一个未删除的祖先）。那么对于任何 <math>k\leq i<j\leq \frac{n}{2}</math>，不存在 F<sub>i</sub> 到 F<sub>j</sub> 的嵌入。

=== 取值 ===
Friedman 指出，<math>\mathrm{Circle}(k)</math> 一定是有限的，但我们对其具体取值仍了解不多。我们有 <math>\mathrm{Circle}(1)=1</math> 以及<math>\mathrm{Circle}(2)\geq 13</math>。

Circle 函数的 [[FGH]] [[增长率]]是 <math>\varepsilon_0</math>，这意味着命题“<math>\mathrm{Circle}(k)</math> 是否有限”不可能在 [[皮亚诺公理体系|PA]] 中证明。

== 参考资料 ==
{{默认排序:相关问题}}
[[分类:记号]]