查看“︁Catching 函数”︁的源代码

'''Catching 函数'''，是由 HypCos 创造的[[序数记号]]，用以记录 [[增长层级#快速增长层级|FGH]] 和 [[增长层级#慢速增长层级|SGH]] 的[[Catching|追平点]]。<ref>HypCos (2013). Analysis - BEAF, FGH and SGH (part 3). ''(EB/OL), Googology Wiki''. https://googology.fandom.com/wiki/User_blog:Hyp_cos/Analysis_-_BEAF,_FGH_and_SGH_(part_3)</ref>

=== 定义 ===
将 <math>C(\alpha)</math> 用于表示这个函数，其定义如下：

* 当 <math>\alpha=0</math> 时：<math>C(0)</math> 是第一个[[序数]] <math>\beta</math>，使得 <math>g_{\beta(n)}</math> 与 <math>f_{\beta(n)}</math> 可比；
* 当 <math>\alpha</math> 为[[序数#序数的后继|后继序数]]时（即 <math>\alpha=\gamma+1</math>）：<math>C(\alpha+1)</math> 是 <math>C(\alpha)</math> 之后下一个满足 <math>g_{\beta(n)}</math> 与 <math>f_{\beta(n)}</math> 可比的序数 <math>\beta</math>；
* 当 <math>\alpha</math> 为[[序数#极限序数|极限序数]]时（即 <math>\alpha=L</math>）：<math>C(\alpha)[n]=C(\alpha[n])</math>（其中 <math>\alpha[n]</math> 表示 <math>\alpha</math> 的[[基本列]]第 <math>n</math> 项）。

此外，<math>C(\alpha)</math> 是最小的序数 <math>\beta</math>，使得 <math>g_{\beta(n)}</math> 与 <math>f_{\beta(n)}</math> 可比，且对于所有 <math>\gamma<\alpha</math>，<math>\beta</math> 都大于 <math>C(\gamma)</math>。

"可比"是一个模糊的术语，但此处可理解为：<math>f_{\beta(n)}</math> 与<math>g_{\beta(n)}</math> 可比当且仅当存在某个 <math>k</math>，使得对任意 <math>n</math> 都有 <math>g_{\beta(n+k)}>f_{\beta(n)}</math>D。

现在，使用第一个[[序数#可数序数与不可数序数|不可数序数]] Ω 作为 C( ) 中的对角化器。想象一下：当我们遇到一个 Ω 并需要处理它时，首先找到最近的 C( ) 结构，然后复制该 C( ) 内部的内容（但不包括这个 Ω 本身）n 次，每次都将复制的内容插入到原本 Ω 的位置。换句话说，C(#Ω@) 等于嵌套 n 层的 C(#C(...C(#0@)...@)@)，其中 @ 位置不包含任何序数（即仅保留结构占位）。

我们知道，一个 Catching 序数必定形如 <math>\psi(\alpha)</math>。也就是说，它是满足 <math>\beta\rightarrow \omega^{\beta}</math> 的固定点。而一个[[基数]] <math>\alpha</math> 可以作为 <math>\psi_{\alpha}()</math> 中的对角化参数。在常规记法中，<math>\psi_{\Omega_{1+k}}()</math> 对于正整数 <math>k</math> 也可写作 <math>\psi_{k}()</math>，而 <math>\psi_{\Omega}()</math> 也可简写为 <math>\psi()</math>。自然地，一个更强的 Catching 层次结构应运而生。
* <math>C_{\pi}(0)=\psi_{\pi}(\Omega_{\omega})</math>
* 若 <math>C_{\pi}(\alpha)=\psi_{\pi}(\beta)</math>，则<math>C_{\pi}(\alpha+1)=\psi_{\pi}(\gamma)</math>，其中 <math>\psi(\gamma)</math> 是满足 <math>g_{\psi(\gamma)}(n)</math> 与 <math>f_{\psi(\gamma)}(n)</math> 可比较的最小序数，且 <math>\gamma>\beta</math>，同时 <math>\psi_{\pi}(\beta)</math> 和 <math>\psi_{\pi}(\gamma)</math> 均为完全简化的。
* 对于极限序数 <math>\alpha</math>，<math>C_{\pi}(\alpha)[n]=C_{\pi}(\alpha[n])</math>
* <math>\pi</math> 是 <math>C_{\pi}()</math> 函数的对角化参数

对于正整数 <math>k</math>，<math>C_{\Omega_{1+k}}()</math> 也可写作 <math>C_{k}()</math>，而 <math>C_{\Omega}()</math> 可简写为 <math>C()</math>。

<nowiki>- </nowiki>什么是完全简化的？

<nowiki>- </nowiki>记法 <math>\psi(\beta)</math> 是完全简化的当且仅当 <math>\psi(\beta+1)>\psi(\beta)</math>。例如，<math>\psi(\Omega_{2})</math> 是完全简化的，但<math>\psi(\psi_{1}(\Omega_{2}))</math>则不是，因为 <math>\psi(\Omega_{2}+1)>\psi(\Omega_{2})=\psi(\psi_{1}(\Omega_{2})+1)=\psi(\psi_{1}(\Omega_{2}))</math>。有时 <math>\psi</math> 函数会增长，有时则保持不变，而完全简化记法处于增长部分或保持部分的末尾。

==== 形式化定义 ====
我们记 <math>\bold{Ord}</math> 为序数类；<math>\bold{Ord}_\text{lim}</math> 为极限序数；<math>\alpha[n]</math> 是极限序数 <math>\alpha</math> 的基本列；称 <math>\psi_\alpha(\beta)</math> 是完全简化的（Full-simplified），当且仅当 <math>\psi_\alpha(\beta+1)>\psi_\alpha(\beta)</math>。

<math>C(\alpha)=\mu\beta\in\bold{Ord}\left(\begin{aligned}
(\alpha=0\Rightarrow\forall n\exists k\forall m(g_\beta(m+k)>f_\beta(m)))\land\\
(\alpha=\gamma+1\Rightarrow\beta>C(\gamma)\land\forall n\exists k\forall m(g_\beta(m+k)>f_\beta(m)))\land\\
(\alpha\in\bold{Ord}_\text{lim}\Rightarrow\forall n(\beta[n]=C(\alpha[n])))\land\\
\forall\gamma<\alpha(\beta>C(\gamma))
\end{aligned}\right)</math>

<math>C_\pi(\alpha)=\mu\beta\in\bold{Ord}\left(\begin{aligned}
(\alpha=0\Rightarrow\beta=\psi_\pi(\Omega_\omega))\land\\
(\alpha=\gamma+1\Rightarrow\exists\gamma'\in\bold{Ord}(\beta=\psi_\pi(\gamma')\land C_\pi(\gamma)=\psi_\pi(\beta_\gamma)\land\gamma'>\beta_\gamma\land\begin{aligned}
\forall n\exists k\forall mg_\beta(m+k)>f_\beta(m))\land\\\psi_\pi(\beta_\gamma),\psi_\pi(\gamma')\text{ is full-simplified}\end{aligned}))\land\\
(\alpha\in\bold{Ord}_\text{lim}\Rightarrow\forall n(\beta[n]=C(\alpha[n])))\land\\
\forall\gamma<\alpha(\beta>C(\gamma))
\end{aligned}\right)</math>

== 参考资料 ==
<references />{{默认排序:序数记号}}
[[分类:记号]]