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BO（Buchholz's Ordinal），是 [[googology]] 中一个非常重要的序数。它被认为是具有“里程碑”意义的大序数，是 [[PSS Hydra]]、[[HPrSS]]、双行 [[BMS]] 及诸多[[序数记号]]的极限。学会一个 BO 级别的序数记号被认为是 googology 新人入门的标志。
{| class="wikitable"
![[序数记号]]
!表达式
|-
![[序数坍缩函数#BOCF|BOCF]] / [[序数坍缩函数#MOCF|MOCF]]
!<math>\psi(\Omega_{\omega})</math>
|-
|[[BMS]]
|<math>\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1\\0&1 \end{pmatrix}</math>
|-
|[[0-Y]]
|<math>1,4</math>
|-
|[[Y序列|1-Y]]
|<math>1,2,4,8</math>
|-
|[[BHM]]
|<math>\begin{pmatrix} 0 & 1&1&2 \\ 0 & 1&0&0 \end{pmatrix}</math>
|-
|[[BSM]]
|<math>\begin{pmatrix} 0&1&2&2&3  \end{pmatrix}</math>
|-
|[[NOCF]]
|<math>\psi(\Omega_{\Omega_{\omega}})/\psi(\Omega_{\Omega_{\psi(\Omega)}})</math>
|-
|[[Dropping#M 记号|M 记号]]
|<math>\psi(\psi(M\times\omega))</math>
|-
|[[Catching 函数]]
|<math>C(0)</math>
|}

=== 性质 ===
[[证明论序数]]：<math>\rm \Pi_1^1-CA_0</math>，<math>\rm \Delta_2^1-CA_0</math>，<math>\rm RCA_0+\Sigma_1^0\land\Pi_1^0-det.</math>，<math>\rm RCA_0+\Delta_2^0-RT</math>，<math>{\rm KPl}^r</math>，<math>{\rm KPi}^r</math>，<math>{\rm KP}\beta^r</math>，<math>{\rm ID}_{<\omega}</math>，<math>({\rm ID}_{<\omega}^2)_0</math>

极限在此处的记号： [[PSS Hydra]]，[[HPrSS]]，双行 [[BMS]]（PSS），SIUN，PrGS，b-THIAN，[[BEAF|带 & 的 BEAF]]，ABN I，三就跳函数，FPrSS，mEAN


BO 是 [[增长层级#快速增长层级|FGH]] 和 [[增长层级#慢速增长层级|SGH]] 的第一个[[Catching|追平点]]。

[[分类:序数]]