查看“︁BEAF”︁的源代码

<div style="word-wrap: break-word;text-wrap: pretty;color: var(--color-subtle);font-style: italic;width:Fit-content;padding:1rem 1rem 2rem 1rem;border-left:solid #00000030 5px;background-color:var(--color-surface-2)">曾经最为重要的大数记号早早地止步于 <math>\varepsilon_{0}</math>，并最终湮没于历史的长河之中，这不禁令人扼腕叹息。<ref>曹知秋 (2025). 大数理论. ''(EB/OL)'', Vol.1, pp.126-127. https://github.com/ZhiqiuCao/Googology</ref><br /><span style='float:right'><del>------</del> 曹知秋</span></div>

'''Bowers' Exploding Array Function（BEAF，鲍尔斯爆炸数组函数）'''是由乔纳森·鲍尔斯（Jonathan Bowers）发明的一种表示大数的符号系统。BEAF 类似于[[链式箭头记号|链式箭头符号]]，都是一种历史记号，但强度远超后者。

BEAF 是一个在大数历史上非常重要的数阵记号，它是[[线性数阵|单行线性数阵]]（Bowers' Array Notation）和扩展数阵记号（Extended Array Notation）的超集，两者均由Bowers发明。然而，对于四维数阵以上的符号系统，目前尚无统一认可的定义。因此，严格来说，四维数阵以上的 BEAF 是未明确定义的，而四维数阵及以下的 BEAF 则是定义明确的。

== 定义 ==
以下是对 BEAF 工作原理的大致框架性描述。如前所述，对于原始 BEAF 在四维数阵之外的扩展，目前尚未达成共识的定义，因此这并非一个完整的定义。

一个 BEAF 表达式形如：

:<math>\{b,p,c,d,e,\dots (n)\alpha,\beta,\gamma,\dots (m)\dots\}</math>

其中<math>b,p,c,d,e,\alpha,\beta,\gamma</math>均为正整数，<math>n,m</math>是自然数（序列），<math>(n),(m)</math>分别表示'''n级分隔符'''与m级分隔符，特别地，0级分隔符 <math>(0)</math> 是 <code><big><big>,</big></big></code>（即逗号，用于分割数组中同一行内的每个项）。

我们定义如下概念：

* '''底数（base）'''：数组的第一个元素，记为 <math>b</math>。
* '''指数（prime）'''：数组的第二个元素，记为 <math>p</math>。
* '''驾驶员（pilot）'''：指数之后第一个非 1 的元素，可能最早出现在第三个元素的位置。
* '''副驾驶（copilot）'''：驾驶员左侧的第一个元素。若驾驶员是某行的第一个元素，则副驾驶不存在。
* '''结构（structure）'''：数组中由低维组构成的部分。例如：一个数为0维结构，一行为1维结构，一个平面为2维结构，一个立方块为3维结构，...，以此类推。记为 <math>X^{n}</math>。
* '''前结构（previous structures）'''
** 前项（previous entry）：驾驶员之前、且与所有其他前项在同一行的元素。
** 前行（previous row）：驾驶员所在行之前、且与所有其他前行在同一平面的行。
** 前平面（previous plane）：驾驶员所在平面之前、且与所有其他前平面在同一立方块的平面。
** ...
** 这些统称为“前结构”，即若驾驶员处于X维结构中，那前结构为0维到X-1维的所有结构。
* '''指数块（prime block）'''：
** 对于自然数n，某 <math>n+1</math> 维结构的指数块指的是该 <math>n+1</math> 维结构的前 <math>p</math> 个n维结构，若n维结构的个数少于 <math>p</math>，则使用由1填充的n维结构补充直到满足该条件。
** 对于序列 <math>A=\langle a_{1},a_{2},a_{3},\dots,a_{n}\rangle</math>，某 <math>A</math> 维结构的指数块指的是<math>a_{0}+a_{1}p+a_{2}p^{2}+\cdots+a_{n}p^{n}</math> 维结构；若序列 <math>A</math> 内存在高级分隔符，则按BEAF定义展开。
* '''飞机（airplane）'''：包含驾驶员、所有前项以及所有前结构的指数块。
* '''乘客（passengers）'''：飞机中既非驾驶员也非副驾驶的元素。

== 规则 ==
令<math>A</math>是一个 BEAF 表达式，其值计算有以下规则：

# '''主规则（Prime rule）'''：
#* 若 <math>p=1</math>，则 <math>A=b</math>.
# '''初始规则（Initial rule）'''：
#* 若不存在驾驶员，则 <math>A=b^{p}</math>.
# '''灾难性规则（Catastrophic rule）'''：若上述两条规则均不适用，则执行以下操作：
#* 驾驶员减 1；
#* 副驾驶变为 原数组中指数 <math>p</math> 减 1 后的数组；
#* 所有乘客变为 <math>b</math> ；
#* 数组其余部分保持不变。

== 线性数阵 ==
BEAF 中的单行线性数阵是几乎所有数阵记号的基础。上文已经介绍过其原版规则，这里不再赘述。

这里介绍一种改进的线性数阵。它将经典的线性数阵改成了容易分析增长率的一元函数，将每一项的默认值改成了 0，且删除了对增长率提升没有帮助的操作。

一个合法的线性数阵表达式形如<math>F(x,a_1,a_2,\cdots,a_n)</math>，其中，<math>x,n,a_i</math>均为非负整数。

我们用"#"表示任意序列，"Z"表示由若干个 0 组成的序列。

该线性数阵的展开规则如下：

# （基础规则）只有一项时，有 <math>F(x)=x+1</math>；
# （后继规则）若第二项不为 0，有 <math>F(x,a+1,\#)=f^x(x)</math>，其中 <math>f(x)=F(x,a,\#)</math>。例如：<math>F(3,1,4)=F(F(F(3,0,4),0,4),0,4)</math>；
# （删尾规则）若末项为 0，有 <math>F(\#,0)=F(\#)</math>，例如：<math>F(2,1,0)=F(2,1)</math>。
# （借位规则）否则，第二项为 0 且存在不为 0 的项。此时有 <math>F(x,Z,0,a+1,\#)=F(x,Z,x,a,\#)</math>。例如：<math>F(2,0,2,5)=F(2,2,1,5)</math>。

下面用[[增长层级#快速增长层级|快速增长层级]]对改进的线性数阵进行增长率分析：

<math>F(x)=F(x,0)=x+1=f_0(x)</math>

<math>F(x,1)=F^x(x)\sim f_0^x(x)=f_1(x)</math>

<math>F(x,2)\sim f_1^x(x)=f_2(x)</math>

<math>F(x,n)\sim f_n(x)</math>

<math>F(x,0,1)=F(x,x)\sim f_x(x)=f_\omega(x)</math>

<math>F(x,1,1)=F(F(\cdots,0,1),0,1)\sim f_{\omega+1}(x)</math>

<math>F(x,n,1)\sim f_{\omega+n}(x)</math>

<math>F(x,0,2)=F(x,x,1)\sim f_{\omega+x}(x)=f_{\omega\cdot 2}(x)</math>

<math>F(x,0,n)\sim f_{\omega\cdot n}(x)</math>

<math>F(x,0,0,1)=F(x,0,x)\sim f_{\omega x}(x)=f_{\omega^2}(x)</math>

<math>F(x,1,0,1)\sim f_{\omega^2+1}(x)</math>

<math>F(x,0,1,1)=F(x,x,0,1)\sim f_{\omega^2+x}(x)=f_{\omega^2+\omega}(x)</math>

<math>F(x,0,0,2)=F(x,0,x,1)\sim f_{\omega^2+\omega x}(x)=f_{\omega^22}(x)</math>

<math>F(x,0,0,0,1)=F(x,0,0,x)\sim f_{\omega^2x}(x)=f_{\omega^3}(x)</math>

<math>F(x,0,0,0,0,1)\sim f_{\omega^4}(x)</math>

<math>F(x,\underbrace{0,\cdots,0}_n,1)\sim f_{\omega^n}(x)</math>

一般来说，单独的线性数阵的极限增长率为<math>\omega^\omega</math>，但其强度会随"后继规则"的变化而变化。

例如，若把第二条规则改为 <math>F(x,a+1,\#)=F(x+1,a,\#)</math>，则上述分析应该在[[增长层级#哈代层级|哈代层级]]下进行，故极限函数的增长率相当于<math>H_{\omega^\omega}(x)\sim f_\omega(x)</math>。

对于上文中的记号，通过如下方法可以快速得到增长率：

# 取出一个表达式 <math>F(x,a_0,a_1,\cdots,a_n)</math>；
# 取出 <math>a_0,a_1,\cdots,a_n</math> 的部分并反转，得到 <math>a_n,\cdots,a_1,a_0</math>；
# <math>F(x,a_0,a_1,\cdots,a_n)</math> 的增长率即为 <math>\omega^n\times{a_n}+\cdots+\omega^1\times{a_1}+\omega^0\times{a_0}</math>。

举个例子：<math>F(x,{\color{red}0},{\color{green}1},{\color{blue}1})</math> 的增长率即为 <math>\omega^2\times{\color{blue}1}+\omega^1\times{\color{green}1}+\omega^0\times{\color{red}0}</math>。

由于以上原因，（单行）线性数阵也被称为 '''<math>\omega</math> 进制数阵'''，因为 <math>\omega^n\times{a_n}+\cdots+\omega^1\times{a_1}+\omega^0\times{a_0}</math> 类似于一个“<math>\omega</math> 进制数”。

另外，表达式 <math>\omega^n\times{a_n}+\cdots+\omega^1\times{a_1}+\omega^0\times{a_0}</math> 对于每个 <math>a_i(i=0,1,\cdots,n)</math> 都是“线性”的，这也是线性数阵中“线性”一词的来源。

== 拓展 ==
由于 BEAF 的知名度，其衍生出了十分多样的数阵记号。但大多数增长率超过 <math>\varepsilon_{0}</math> 的拓展记号是不良定义的。

=== 带 & 的 BEAF ===
定义 <math>\&</math> 符号如下，它生成扩展数阵中的项和分隔符：

* <math>1\&^na=a</math>
* <math>b\&a=a,(b-1)\&a</math>
* <math>b\&^{k+1}a=b\&^ka(k)(b-1)\&^{k+1}a</math>

注：在大部分版本中，<math>\&</math> 的指标写在左上侧。此处写在右上侧是为了避免与 <math>b^k</math> 混淆。

注：有的地方认为形如 <math>b\&a</math> 的表达式直接表达了一个（扩展）数阵 <math>\{a,a,\cdots,a\}</math>，实际上这是错误的。

对于扩展数阵 <math>\{a_{01},a_{02},\cdots,a_{0m_0}(x_1)a_{11},\cdots,a_{1m_1}(x_2)\cdots(x_3)\cdots(x_n)a_{n1},a_{n2},\cdots,a_{nm_n}\}</math>，其展开规则如下：

# 如果扩展数阵只有 <math>a_{01},a_{02}</math> 两项，扩展数阵的值为 <math>b^p</math>。
# 如果指数为 1，扩展数阵的值为 <math>b</math>。
# 如果某个 <math>a_{km_k}=1</math>，扩展数阵的值相当于删掉 <math>a_{km_k}</math> 后得到的扩展数阵的值。
# 如果某个 <math>m_k=0</math>，而且 <math>k=n</math> 或 <math>x_k<x_{k+1}</math>，那么扩展数阵的值相当于删掉 <math>(x_k)</math> 后得到的扩展数阵的值。
# 如果扩展数阵中没有分隔符，按数阵记号的规则展开。
# 如果以上规则均不适用：此时扩展数阵形如 <math>\{a,b(x_1)(x_2)(x_3)\cdots(x_n)b_1,b_2,\cdots,b_t\#\}</math>，满足 <math>x_1\geq{x_2}\geq\cdots\geq{x_n}</math>，<math>b_1=b_2=\cdots=b_{t-1}=1</math>。
## 如果 <math>t=1</math>，其展开为 <math>\{b\&^{x_1}a(x_1)b\&^{x_2}a(x_2)b\&^{x_3}a(x_3)\cdots{b}\&^{x_n}a(x_n)b_1-1\#\}</math>。
## 如果 <math>t>1</math>，其展开为 <math>\{b\&^{x_1}a(x_1)b\&^{x_2}a(x_2)b\&^{x_3}a(x_3)\cdots{b}\&^{x_n}a(x_n)a,a,\cdots,a,\{a,b-1(x_1)(x_2)(x_3)\cdots(x_n)b_1,b_2,\cdots,b_t\#\},b_t-1\#\}</math>。

类似于数阵记号，“乘客”的定义可以如下理解：

分隔符 <math>(k)</math> 给出了一个尺寸为 <math>p^k</math> 的“块”（类似于 <math>\&</math> 符号的结构），“乘客”则是驾驶员左侧的所有这样的块（不完整的用 1 补齐）去掉副驾驶员。于是上述展开规则 5. 和 6. 可以写为：

# 复制一个这个扩展数阵的副本，并将副本中指数的值减 1。
# 将原本扩展数阵的驾驶员减 1，全体乘客替换为底数。
# 如果副驾驶存在，将副驾驶换为之前得到的扩展数阵副本。

=== -gions 表示法 ===
-gions 表示法是基于<math>\&</math>符号的一类表示法，分为如下表示：
* Legions（分隔符为 L1）
* Lugions（分隔符为 L2）
* Lagions（分隔符为 L3）
* Ligions （分隔符为 L4）
* ...

== 枚举 ==
BEAF 及其 -gions 表示法的枚举详见 HypCos 的分析 Analysis - BEAF, FGH and SGH, [https://googology.fandom.com/wiki/User_blog:Hyp_cos/Analysis_-_BEAF,_FGH_and_SGH_(part_1) (Part1)] [https://googology.fandom.com/wiki/User_blog:Hyp_cos/Analysis_-_BEAF,_FGH_and_SGH_(part_2) (Part2)] [https://googology.fandom.com/wiki/User_blog:Hyp_cos/Analysis_-_BEAF,_FGH_and_SGH_(part_3) (Part3)]。

== 历史 ==
数阵记号对整个大数领域的影响是重要的，其思想至今仍然可以在许多记号之中找到痕迹，而 BEAF 则是早期最为重要的数阵型记号。

在更强大的 Array 型记号（如 [[BAN]]、[[SAN]]）与 Worm 型记号发明之前，由于其简洁性和极快的增长速度，BEAF 在 Googology 中颇具名气，更不用说那些用该函数定义的充满奇思妙想的命名数（如 golapulus 和传奇的 meameamealokkapoowa oompa——这是 Bowers 定义的最大数之一）。尽管克里斯·伯德（Chris Bird）和约翰·斯宾塞（John Spencer，Bowers 的朋友）协助构建了 BEAF，但通常认为该函数完全由 Bowers 独立创造。

萨比斯·赛比安（Sbiis Saibian）指出，是否存在一种完全符合 Bowers 规则的符号系统，是大数研究领域的一个未解决问题。尽管他仅直接提到五级超运算数阵，但这一问题可能也适用于 BEAF 的其他层级。

由于四级超运算以上的 BEAF 是'''非形式化'''的，并且对其形式化'''仍然是 Googology 中的一个重要开放问题'''，因此四级超运算以上的 BEAF 的可计算性在数学上没有意义。

== 参考资料 ==
<references />{{默认排序:大数记号}}
[[分类:记号]]