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'''-1-Y''' 是一种 [[Beklemishev's Worm|Worm]] 型[[序数记号]]。−1−Y 等价于 1 row Y。

== 定义 ==

=== 合法式 ===
一个合法的 -1-Y 表达式是形如 <math>S=(s_{1},s_{2},\cdots,s_{n})</math>，且满足 <math>n,s_{1},s_{2},\cdots,s_{n}\in\mathbb{N},\quad s_1=1</math> 的序列（特别地，空序列 <math>()</math> 是合法的 -1-Y 表达式）。

-1-Y 的极限基本列是 (1,1), (1,2), (1,3), ...

'''例：'''

* <math>(1,3,3)</math> 是一个合法的 -1-Y 表达式
* <math>(\Omega,1,2)</math> 不是一个合法的 -1-Y 表达式，因为 <math>\Omega\notin\mathbb{N}</math>
* <math>(1,9)</math> 是一个合法的 -1-Y 表达式

=== 结构 ===
合法的 -1-Y 表达式可以分为零表达式、后继表达式、极限表达式，其定义如下：

* '''零表达式'''：满足 <math>n=0</math> 的表达式，即空序列 <math>()</math>
* '''后继表达式'''：满足 <math>n>0</math> 且 <math>s_{n}=1</math> 的表达式，例如 <math>(1,3,1)</math>
* '''极限表达式'''：满足 <math>n>0</math> 且 <math>s_{n}>1</math> 的表达式，例如 <math>(1,3,2)</math>

一个 -1-Y 的'''极限表达式'''由以下四个部分组成：

# 末项（Last Term）
# 坏部（Bad Part）
# 坏根（Bad Root）
# 好部（Good Part）
'''末项'''：对于最大下标为 <math>n</math> 的 -1-Y 表达式 <math>S=(s_{1},s_{2},\cdots,s_{n})</math>，其末项 <math>L=s_{n}</math>，即 <math>S=(s_{1},s_{2},\cdots,L)</math>

'''坏根：'''对于 <math>S=(s_{1},s_{2},\cdots,s_{n})|L=s_{n}</math>，令 <math>k=\max\{1 \leq k < n|s_{k}<s_{n}\}</math>，那么坏根定义为 <math>r=s_{k}</math>，即 <math>S=(s_{1},s_{2},\cdots,r,\cdots,L)</math>。通俗的说，是最靠右的小于末项的项。因为极限表达式满足 <math>L=s_n>1</math> 且 <math>s_1=1</math>，所以坏根总是存在的。

'''坏部：'''对于 <math>S=(s_{1},s_{2},\cdots,s_{k},\cdots,s_{n})|L=s_{n},r=s_{k}</math>，坏部定义为 <math>B=(s_{k+1},s_{k+1},\cdots,s_{n}-1)</math>。通俗地说，是坏根（不含）到末项（含）的部分．坏部最短为 1 项。

'''好部：'''对于 <math>S=(s_{1},s_{2},\cdots,s_{k},\cdots,s_{n})|L=s_{n},r=s_{k}</math>，好部定义为 <math>G=(s_{1},s_{2},\cdots,s_{k-1})</math>，即 <math>S=(G,r,B)</math>。通俗地说，好部是坏部之前的部分。好部可以为空。

=== 展开 ===
对于一个合法的 -1-Y 表达式 <math>S=(s_1,s_2,\ldots,s_{n-1},s_n)</math>，其展开规则如下：

* 如果 <math>S</math> 是零表达式，则 <math>S</math> 代表序数 <math>0</math>
* 如果 <math>S</math> 是后继表达式，则其前驱是 <math>S'=(s_1,s_2,\ldots,s_{n-1})</math>
* 如果 <math>S</math> 是极限表达式，则根据前文定义确定好部、坏部，得到 <math>S=(G,r,B)</math>，则其基本列的第 <math>m</math> 项定义为 <math>S[m]=(G,r,\underbrace{B,B,B,\cdots,B}_{m})</math>，其中 <math>m\in\mathbb{N}</math>。或者说 <math>S</math> 的'''展开式'''为 <math>(G,r,\underbrace{B,B,B,\cdots}_{\omega})</math>。

举例：

<math>S=({\color{red}1},3,3,{\color{green}3})</math>

末项是标绿的 <math>{\color{green}3}</math>，坏根是从右往左数第一个比 <math>{\color{green}3}</math> 小的数，也就是标红色的 <math>{\color{red}1}</math>。

接下来，根据坏部的定义可以知道坏部是 <math>(3,3,3)</math>。

坏根之前的好部不用管，末项 -1：

<math>S=({\color{red}1},3,3,{\color{green}2})</math>

复制坏部：

<math>S=({\color{red}1},3,3,{\color{green}2},3,3,{\color{green}2},\cdots)</math>

我们就成功地展开了一个 -1-Y 表达式。

== 与 PrSS 的对应 ==
合法 [[PrSS]] 表达式一定是一个合法 -1-Y 表达式，但合法 -1-Y 表达式不一定是合法 PrSS 表达式。两者的极限表达式不同。若将-1-Y中差大于 1 的相邻项之间被省略的连续的项补回去，那么它将变回 PrSS。我们有：

<math>\text{-1-Y}(1)=\text{PrSS}(1)=1</math>

<math>\text{-1-Y}(1,1)=\text{PrSS}(1,1)=2</math>

<math>\text{-1-Y}(1,2)=\text{PrSS}(1,2)=\omega </math>

<math>\text{-1-Y}(1,2,1)=\text{PrSS}(1,2,1)=\omega +1</math>

<math>\text{-1-Y}(1,2,1,2)=\text{PrSS}(1,2,1,2)=\omega \cdot 2</math>

<math>\text{-1-Y}(1,2,2)=\text{PrSS}(1,2,2)=\omega^{2}</math>

<math>\text{-1-Y}(1,3)=\text{PrSS}(1,2,3)=\omega^{\omega}</math>

<math>\text{-1-Y}(1,3,1)=\text{PrSS}(1,2,3,1)=\omega^{\omega}+1</math>

<math>\text{-1-Y}(1,3,1,1)=\text{PrSS}(1,2,3,1,1)=\omega^{\omega}+2</math>

<math>\text{-1-Y}(1,3,1,2)=\text{PrSS}(1,2,3,1,2)=\omega^{\omega}+\omega </math>

<math>\text{-1-Y}(1,3,1,2,1,2)=\text{PrSS}(1,2,3,1,2,1,2)=\omega^{\omega}+\omega \cdot 2</math>

<math>\text{-1-Y}(1,3,1,2,2)=\text{PrSS}(1,2,3,1,2,2)=\omega^{\omega}+\omega^{2}</math>

<math>\text{-1-Y}(1,3,1,3)=\text{PrSS}(1,2,3,1,2,3)=\omega^{\omega}\cdot 2</math>

<math>\text{-1-Y}(1,3,2)=\text{PrSS}(1,2,3,2)=\omega^{\omega +1}</math>

<math>\text{-1-Y}(1,3,2,1,3)=\text{PrSS}(1,2,3,2,1,2,3)=\omega^{\omega +1}+\omega^{\omega}</math>

<math>\text{-1-Y}(1,3,2,1,3,2)=\text{PrSS}(1,2,3,2,1,2,3,2)=\omega^{\omega +1}\cdot 2</math>

<math>\text{-1-Y}(1,3,2,2)=\text{PrSS}(1,2,3,2,2)=\omega^{\omega +2}</math>

<math>\text{-1-Y}(1,3,2,3)=\text{PrSS}(1,2,3,2,3)=\omega^{\omega \cdot 2}</math>

<math>\text{-1-Y}(1,3,2,3,2)=\text{PrSS}(1,2,3,2,3,2)=\omega^{\omega \cdot 2+1}</math>

<math>\text{-1-Y}(1,3,2,3,2,3)=\text{PrSS}(1,2,3,2,3,2,3)=\omega^{\omega \cdot 3}</math>

<math>\text{-1-Y}(1,3,2,3,2,3,2)=\text{PrSS}(1,2,3,2,3,2,3,2)=\omega^{\omega \cdot 3+1}</math>

<math>\text{-1-Y}(1,3,3)=\text{PrSS}(1,2,3,3)=\omega^{\omega^{2}}</math>

<math>\text{-1-Y}(1,3,3,2)=\text{PrSS}(1,2,3,3,2)=\omega^{\omega^{2}+1}</math>

<math>\text{-1-Y}(1,3,3,2,3)=\text{PrSS}(1,2,3,3,2,3)=\omega^{\omega^{2}+\omega}</math>

<math>\text{-1-Y}(1,3,3,2,3,2,3)=\text{PrSS}(1,2,3,3,2,3,2,3)=\omega^{\omega^{2}+\omega \cdot 2}</math>

<math>\text{-1-Y}(1,3,3,2,3,2,3,2)=\text{PrSS}(1,2,3,3,2,3,2,3,2)=\omega^{\omega^{2}+\omega \cdot 2+1}</math>

<math>\text{-1-Y}(1,3,3,2,3,3)=\text{PrSS}(1,2,3,3,2,3,3)=\omega^{\omega^{2}\cdot 2}</math>

<math>\text{-1-Y}(1,3,3,2,3,3,2)=\text{PrSS}(1,2,3,3,2,3,3,2)=\omega^{\omega^{2}\cdot 2+1}</math>

<math>\text{-1-Y}(1,3,3,2,3,3,2,3,3,2)=\text{PrSS}(1,2,3,3,2,3,3,2,3,3)=\omega^{\omega^{2}\cdot 3+1}</math>

<math>\text{-1-Y}(1,3,3,3)=\text{PrSS}(1,2,3,3,3)=\omega^{\omega^{3}}</math>

<math>\text{-1-Y}(1,4)=\text{PrSS}(1,2,3,4)=\omega^{\omega^{\omega}}</math>

<math>\text{-1-Y}(1,4,2)=\text{PrSS}(1,2,3,4,2)=\omega^{\omega^{\omega}+1}</math>

<math>\text{-1-Y}(1,4,2,3)=\text{PrSS}(1,2,3,4,2,3)=\omega^{\omega^{\omega}+\omega}</math>

<math>\text{-1-Y}(1,4,2,3,2,3)=\text{PrSS}(1,2,3,4,2,3,2,3)=\omega^{\omega^{\omega}+\omega \cdot 2}</math>

<math>\text{-1-Y}(1,4,2,3,3)=\text{PrSS}(1,2,3,4,2,3,3)=\omega^{\omega^{\omega}+\omega^{2}}</math>

<math>\text{-1-Y}(1,4,2,4)=\text{PrSS}(1,2,3,4,2,3,4)=\omega^{\omega^{\omega}\cdot 2}</math>

<math>\text{-1-Y}(1,4,2,4,2)=\text{PrSS}(1,2,3,4,2,3,4,2)=\omega^{\omega^{\omega}\cdot 2+1}</math>

<math>\text{-1-Y}(1,4,2,4,2,4,2)=\text{PrSS}(1,2,3,4,2,3,4)=\omega^{\omega^{\omega}\cdot 3+1}</math>

<math>\text{-1-Y}(1,4,3)=\text{PrSS}(1,2,3,4,3)=\omega^{\omega^{\omega +1}}</math>

<math>\text{-1-Y}(1,4,3,2)=\text{PrSS}(1,2,3,4,3,2)=\omega^{\omega^{\omega +1}+1}</math>

<math>\text{-1-Y}(1,4,3,2,3)=\text{PrSS}(1,2,3,4,3,2,3)=\omega^{\omega^{\omega +1}+\omega}</math>

<math>\text{-1-Y}(1,4,3,2,4)=\text{PrSS}(1,2,3,4,3,2,3,4)=\omega^{\omega^{\omega +1}+\omega^{\omega}}</math>

<math>\text{-1-Y}(1,4,3,2,4,2,4)=\text{PrSS}(1,2,3,4,3,2,3,4,2,3,4)=\omega^{\omega^{\omega +1}+\omega^{\omega}\cdot 2}</math>

<math>\text{-1-Y}(1,4,3,2,4,3)=\text{PrSS}(1,2,3,4,3,2,3,4,3)=\omega^{\omega^{\omega +1}\cdot 2}</math>

<math>\text{-1-Y}(1,4,3,2,4,3,2)=\text{PrSS}(1,2,3,4,3,2,3,4,3,2)=\omega^{\omega^{\omega +1}\cdot 2+1}</math>

<math>\text{-1-Y}(1,4,3,2,4,3,2,4,3,2)=\text{PrSS}(1,2,3,4,3,2,3,4,3,2,3,4,3,2)=\omega^{\omega^{\omega +1}\cdot 3+1}</math>

<math>\text{-1-Y}(1,4,3,3)=\text{PrSS}(1,2,3,4,3,3)=\omega^{\omega^{\omega +2}}</math>

<math>\text{-1-Y}(1,4,3,3,3)=\text{PrSS}(1,2,3,4,3,3,3)=\omega^{\omega^{\omega +3}}</math>

<math>\text{-1-Y}(1,4,3,4)=\text{PrSS}(1,2,3,4,3,4)=\omega^{\omega^{\omega \cdot 2}}</math>

<math>\text{-1-Y}(1,4,3,4,3)=\text{PrSS}(1,2,3,4,3,4,3)=\omega^{\omega^{\omega \cdot 2+1}}</math>

<math>\text{-1-Y}(1,4,3,4,3,4,3)=\text{PrSS}(1,2,3,4,3,4,3,4,3)=\omega^{\omega^{\omega \cdot 3+1}}</math>

<math>\text{-1-Y}(1,4,4)=\text{PrSS}(1,2,3,4,4)=\omega^{\omega^{\omega^{2}}}</math>

<math>\text{-1-Y}(1,4,4,4)=\text{PrSS}(1,2,3,4,4,4)=\omega^{\omega^{\omega^{3}}}</math>

<math>\text{-1-Y}(1,5)=\text{PrSS}(1,2,3,4,5)=\omega^{\omega^{\omega^{\omega}}}</math>

由此可见，-1-Y 的第二项每增加一，ω 指数塔就增加一层。因此 -1-Y 的极限和 PrSS 相同，均为 [[SCO]]，即

<math>\text{-1-Y}(1,\omega)=\text{PrSS}(1,2,3,4,5,\cdots)=\varepsilon_0</math>

这就是 −1−Y 序列的极限，它与 PrSS 具有完全相同的[[序数]]结构。
== 拓展 ==
=== 超限 -1-Y ===
-1-Y 记号的拓展为超限 -1-Y。规则为：
==== 结构 ====
合法表达式的要求改为：满足 <math>n\in\mathbb{N},\quad s_{1},s_{2},\cdots,s_{n}<\Omega,\quad s_1=1</math> 的序列。

极限表达式的定义改为：满足 <math>n>0</math> 且 <math>s_{n}\neq1</math> 的表达式。末项、坏部、坏根、好部的定义同 -1-Y。

==== 展开 ====
对于一个合法的超限 -1-Y 表达式 <math>S=(s_1,s_2,\ldots,s_{n-1},s_n)</math>，其展开规则如下：

* 如果 <math>S</math> 是零表达式，则 <math>S</math> 代表序数 <math>0</math>
* 如果 <math>S</math> 是后继表达式，则其前驱是 <math>S'=(s_1,s_2,\ldots,s_{n-1})</math>
* 如果 <math>S</math> 是不以极限序数结尾的极限表达式，则展开同 -1-Y
* 如果 <math>S</math> 是以极限序数结尾的极限表达式，则其基本列的第 <math>m</math> 项定义为 <math>S[m]=(s_1,s_2,\ldots,s_{n-1},s_n[m])</math>

举例：

<math>S=({\color{red}1},\omega^\omega,{\color{green}\omega+1})</math>

末项是标绿的 <math>{\color{green}\omega+1}</math>，坏根是从右往左数第一个比 <math>{\color{green}\omega+1}</math> 小的数，也就是标红色的 <math>{\color{red}1}</math>。

接下来，根据坏部的定义可以知道坏部是 <math>(\omega^\omega,\omega)</math>。

坏根之前的好部不用管，末项 -1：

<math>S=({\color{red}1},\omega^\omega,{\color{green}\omega})</math>

复制坏部：

<math>S=({\color{red}1},\omega^\omega,{\color{green}\omega},\omega^\omega,{\color{green}\omega},\cdots)</math>

我们就成功地展开了一个超限 -1-Y 表达式。

==== 强度 ====
超限 -1-Y 的极限为 <math>\psi(\Omega^\Omega)</math>。

分析可参见词条[[超限 -1-Y VS Veblen 函数|超限-1-Y VS Veblen 函数]]。

{{默认排序:序数记号}}
[[分类:记号]]
[[分类:分析]]