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递归 Mahlo 序数 <math>M</math> 是一个大[[反射序数]]，定义为 <math>2-2</math>。

=== Mahlo OCF ===
Mahlo OCF 是一种使用递归 Mahlo 序数进行折叠的 [[序数坍缩函数|OCF]]。目前没有通用的 Mahlo OCF 的定义，以下给出几种被使用的定义。

'''Suzuka Cat 版'''：<ref>SuzukaCat (2024). 走向非递归：大序数在OCF中的应用(1)——递归马洛序数 [Towards non-recursion: the application of large ordinals in OCF (1) - recursive Mahlo ordinals]. ''(EB/OL), Zhihu''. https://zhuanlan.zhihu.com/p/695123458</ref>

# <math>\psi_M(0)=\Omega</math>
# 当 <math>\psi_M(\alpha+1)>\psi_M(\alpha)</math> 时，有 <math>\psi_M(\alpha+1)=2~\mathrm{aft}~\psi_M(\alpha)</math>
# 在 <math>\psi_M</math> 内部以 M 收尾时，<math>\psi_M(\#\sim M)</math> 是函数 <math>f(\alpha)=\psi_M(\#\sim\alpha)</math> 的最小的容许点，其中 <math>\#</math> 是任意合法字符，<math>\sim</math> 是加、乘、幂三种运算之一
# 在 <math>\psi_M</math> 内部不符合规则 (2) 和 (3) 的情况时，有 <math>\psi_M(\alpha)[n]=\psi_M(\alpha[n])</math>

这里的规则 (2) 有一个限制条件，是为了防止类似 <math>\psi(\zeta_0+1)</math> 之类“卡住”的情况。规则 (3) 的“以 M 收尾”的概念与[https://zhuanlan.zhihu.com/p/677124391 这篇文章]里的“以 ω 收尾”的概念类似；<ref>SuzukaCat (2025). SGH与Catching函数(3)——SVO~BO [SGH and Catching function (3) - SVO~BO]. ''(EB/OL), Zhihu''. https://zhuanlan.zhihu.com/p/677124391</ref>这里的规则 (4) 则相当于一条“兜底条款”，也适用于 <math>\psi_M(\Omega),~\psi_M(M\times I)</math> 等显式基本列的长度大于 ω 的情形。

'''帕秋莉版'''：<ref>core.exe (2023). 大数数学入门（Part 3.3-高阶的不可达序数） [Introduction to Googology (Part 3.3 - Advanced Inaccessable Ordinals)]. ''(EB/OL), Zhihu''. https://zhuanlan.zhihu.com/p/668292248</ref>

# <math>\psi_M(0) = \Pi_2</math>
# <math>\psi_M(\alpha+1) = 2\;1- \psi_M(\alpha)</math>
# <math>\psi_M(\# \sim M) = (2\;1 -)^{\min 2\;1-\{\psi_M(\# \sim x)|x<M\}}</math>

这个第三条规则看上去有些奇怪，我们看看如果把它改成之前那样的不动点定义有什么后果：

3'. <math>\psi_M(\# \sim M) = \psi_M(\# \sim (1,0))</math>

* <math>\psi_M(0) = \Pi_2 = \Omega</math>
* <math>\psi_M(1) = 2\;1-2 = I</math>
* <math>\psi_M(2) = (2\;1-)^2 2 = I(1,0)</math>
* <math>\psi_M(\omega) = (2\;1-)^\omega 2 = I(\omega,0)</math>
* <math>\psi_M(\Omega) = (2\;1-)^\Omega 2 = I(\Omega,0)</math>
* <math>\psi_M(I) = (2\;1-)^I 2 = I(I,0)</math>
* <math>\psi_M(\psi_M(\omega)) = (2\;1-)^{I(\omega, 0)} 2 = I(I(\omega,0),0)</math>
* <math>\psi_M(M) = \psi_M(\psi_M(\cdots)) = (2\;1-)^{(1,0)} 2 = (x\mapsto I(x,0))(1,0)</math>

再之后依然是和之前一样的，去折叠 <math>(2\;1-)^{x} 2</math> 的递归运算。也就是说，我们卡在了 <math>I(1,0,0)</math> 之下。

== 参考资料 ==
<references />{{默认排序:非递归记号}}
[[分类:记号]]