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EPMS(Enjambment Parented Matrix System，跨行父项矩阵系统),是qwerty在2025.6.21创造的序数记号，

== EPMS ==

=== 定义 ===
极限表达式：(0)(1)(2,2)(3,3,3)(4,4,4,4)(5,5,5,5,5)……

规则：

1、空矩阵=0

2、如果矩阵的最右列全为0，则该矩阵对应的序数等于去掉最右列后对应的序数的后继

3、矩阵中的所有非0项都有一个父项(0没有父项，空项等价于0)

矩阵第一行非0项的父项是满足以下条件的项中最靠右的项：位于该项的正左方，比该项的值小1

一个项的父项、父项的父项、父项的父项的父项、……共同组成该项的祖先项，一个项的所有祖先项所在列共同组成该项的祖先列

我们将在一个项正上方且与该项距离为1的项称为该项的上项

矩阵其他行非0项的父项是满足以下条件的项中最靠右且最靠上(最靠右的优先级更高)的项：位于该项的正左方或左上方，比该项的值小1，是所在行中满足“在该项上项的祖先列上且与该列对应祖先项的距离不超过该项所在列中与该项上项数值相同的项的个数”的项中最靠右的比该项小的项

4、任意合法的最右列不全为0的矩阵都可以展开，矩阵对应的序数是其展开后矩阵对应序数的极限

5、我们将矩阵最右列最靠下的非0项称为矩阵的末项，末项的父项称为坏根

末项上方所有行的展开(如果末项为1且不在第一行，则此处改为末项上项上方所有行的展开)：找到矩阵最右列除末项外所有非0项在坏根所在列的祖先项，记录祖先项的方向和距离以及与祖先项的差值；在最右列右侧新增一些项，每一项在其左侧都有一个对应项，对应项的方向和距离都和与其同行的原最右列的项在坏根所在列的祖先项的方向和距离相同；如果对应项的祖先项不经过坏根所在列，则将对应项的值作为该项的值；如果对应项的祖先项经过坏根所在列，则将对应项的值加上与其同行的原最右列的项和其在坏根所在列的祖先项的差值作为该项的值

其他行的展开：如果末项为1，则将末项改为0，将矩阵补全使得以末项上项为左上角的矩阵中，所有和以坏根上项为左上角的矩阵中祖先项经过坏根所在列的项相对位置相同的项的父项方向和距离都相同，所有和以坏根上项为左上角的矩阵中除坏根上项外祖先项不经过坏根所在列的项相对位置相同的项的数值都相同；如果末项不为1，则将末项减1，将矩阵补全使得以末项为左上角的矩阵和以坏根为左上角的矩阵完全相同

=== 问题 ===
夏夜星空在2025.7.1发现了EPMS的一条无穷降链：

0 1 21 21>0 1 21 2 32 31 43>0 1 21 2 32 31 4>0 1 21 2 32 31 31>0 1 21 2 32 31 3 42 42>0 1 21 2 32 31 3 42 41 4 53>0 1 21 2 32 31 3 42 41 4 52 51 5 63>0 1 21 2 32 31 3 42 41 4 52 51 5 62 61 6 73＞……

== EPM2 ==
qwerty在2025.6.29创造了EPM2。

=== 定义 ===
极限表达式：(0)(1)(2,2,2,2,2,……)

规则：

一、空矩阵=0

二、如果矩阵的最右列全为0，则该矩阵对应的序数等于去掉最右列后对应的序数的后继

三、任意合法的最右列不全为0的矩阵都可以展开，矩阵对应的序数是其展开后矩阵对应序数的极限

四、矩阵中的所有非0项都有一个父项(0没有父项，空项等价于0)

一个项的父项、父项的父项、父项的父项的父项、……共同组成该项的祖先项，一个项的所有祖先项所在列共同组成该项的祖先列

我们将在一个项正上方且与该项距离为n的项称为该项的n阶上项(一个项的0阶上项是它本身)

矩阵第一行非0项a的父项，是满足以下条件的项中最靠右的项x：

1、x位于a的正左方

2、x=a-1

矩阵其他行非0项a的父项，是满足以下条件的项中最靠右且最靠上(最靠右的优先级更高)的项x：

1、x位于a的正左方或左上方

2、x=a-1

3、x在a的1阶上项的祖先列Y上

4、(x与Y中的(a的1阶上项的祖先项))的距离≤(a所在列)中(a的1阶上项)这一数值出现的次数

5、x是所在行中满足3~4的项y中最靠右的比a小的项

五、我们将矩阵最右列最靠下的非0项称为矩阵的末项，末项的父项称为坏根，坏根所在的列称为根列

用{x,y}a表示从项a出发，向右走x格(负数向左)再向下走y格(负数向上)到达的项

矩阵前n行的展开(n=末项所在行数-坏根所在行数)：

1、对于矩阵最右列除末项外任意非0项a(i)，a(i)在根列的祖先项写成{x(i),y(i)}a(i)

2、在最右列右侧新增项。对于新增的项b，

2.1、找与b同行的a(j)，确定j。定义b的对应项c为{x(j),y(j)}b

2.2、如果c的祖先项不经过根列，则b=c

2.3、如果c的祖先项经过根列，则b=c+a(j)-{x(j,y(j)}a(j)

其他行的展开：

设m=坏根所在行数-1

1、将末项减去1

2、在末项的m阶上项的正右方和右下方填充矩阵，且满足条件：

2.1、设末项的m阶上项是a，坏根的m阶上项是b

2.2、设(还未确定出值的)待填补的项是{x,y}a(由待填补项的位置确定x、y)

2.3、如果{x,y}b的祖先项不经过根列，那么{x,y}a={x,y}b

2.4、如果{x,y}b的祖先项经过根列，那么设{x,y}b的父项是{s,t}({x,y}b)(即{x+s,y+t}b)，那么{x,y}a={x+s,y+t}a+1
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