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超 E 记号（Hyper-E Notation，简称 E# 表示法）是 Sbiis Saibian 发明的大数记号。<ref>Large Numbers. 4.3.1 - A 2nd Grader's Close Encounter with the Infinite. ''(EB/OL), Large Numbers''. https://sites.google.com/site/largenumbers/home/4-3/4-3-1-foray</ref>

== 定义 ==
原始的超 E 记号由一个或多个正整数参数的序列 <math>a_n</math> 组成，这些参数由 # 分隔。我们将其标记为 <math>E[b]a_1\#a_2\#a_3\#\cdots\#a_n</math>。b 称为底数。如果省略它，则默认为 10。E# 的具体操作规则如下：

# <math>E[b]x=b^x</math>
# <math>E[b]a_1\#a_2\#a_3\#\cdots\#a_n\#1=E[b]a_1\#a_2\#a_3\#\cdots\#a_n</math>
# <math>E[b]a_1\#a_2\#a_3\#\cdots\#a_{n-2}\#a_{n-1}\#a_n=E[b]a_1\#a_2\#a_3\#\cdots\#a_{n-2}\#(E[b]a_1\#a_2\#a_3\#\cdots\#a_{n-2}\#a_{n-1}\#(a_n-1))</math>

通俗的说:

# 如果序列只有一个参数 x，则返回<math>b^x</math>
# 否则，如果序列末项为 1，可以直接去掉，不影响结果
#否则，删除原表达式的最后两个条目，随后在后面加入一个新条目 x，其中 x 是原表达式中把末项减一得到的新表达式的值

举例：

<math>E306\#6=EE306\#5=EEE306\#4=\cdots=EEEEEE306=EEEEE10^{306}=\cdots=10^{10^{10^{10^{10^{10^{306}}}}}}</math>

<math>E3\#1\#8\#4</math>

<math>=E3\#1\#(E3\#1\#8\#3)</math>

<math>=E3\#1\#(E3\#1\#(E3\#1\#8\#2))</math>

<math>=E3\#1\#(E3\#1\#(E3\#1\#(E3\#1\#8\#1)))</math>

<math>=E3\#1\#(E3\#1\#(E3\#1\#(E3\#1\#8)))</math>

<math>=E3\#1\#(E3\#1\#(E3\#1\#(E3\#(E3\#1\#7))))</math>

<math>=\cdots</math>

关于它的强度，我们有如下结论：

<math>a\uparrow^cb=E[a]\underbrace{1\#1\#\cdots1\#}_{c-1\text{个}1}b</math><ref>Kyodaisuu (2021). Comparison of up-arrow notation with hyper-E notation. ''(EB/OL), Googology Wiki''. https://googology.fandom.com/wiki/User_blog:Kyodaisuu/Comparison_of_up-arrow_notation_with_hyper-E_notation</ref>

Nathan Ho 和 Wojowu 证明了超 E 记号规则的停机性。<ref>Snappizz. Termination. ''(EB/OL), Snappizz''. https://web.archive.org/web/20160513034718/http://snappizz.com/termination</ref>

== 扩展定义 ==

=== 扩展的超 E 记号 ===
'''扩展的超 E 记号'''允许在每个条目之间显示多个 #。为了这个定义，<math>\#^n</math> 是 ''n'' 个连续的 # 的简写。例如，完整表达式将写成<math>E[b]a_1\#^{n_1}a_2\#^{n_2}\cdots\#^{n_{i-1}}a_i</math>，其中 <math>a_i,n_i</math> 都是自然数。

以下为操作规则，其中&指序列的其余部分。

# <math>E[b]x=b^x</math>
# 末项是 1 的情况下，<math>E[b]\&\#^{n_{i-1}}a_i\#^{n_i}1=E[b]\&\#^{n_{i-1}}a_i</math>
# 如果 <math>n_{i-1}>1</math>，<math>E[b]\&\#^{n_{i-2}}a_{i-1}\#^{n_{i-1}}a_i=E[b]\&\#^{n_{i-2}}a_{i-1}\#^{n_{i-1}-1}a_{i-1}\#^{n_{i-1}}a_i-1</math>
# 否则，<math>E[b]\&\#^{n_{i-2}}a_{i-1}\#a_i=E[b]\&\#^{n_{i-2}}(E[b]\&\#^{n_{i-2}}a_{i-1}\#(a_i-1))</math>

通俗的说，序列只有一个参数、末项是 1、末项之前是单独的 # 的情况，和原超 E 记号是相同的。只有末项之前是多于 1 个 # 的情况下，<math>a_{i-1}\#^{n_{i-1}}a_i=\underbrace{a_{i-1}\#^{n_{i-1}-1}a_{i-1}\#^{n_{i-1}-1}a_{i-1}\#^{n_{i-1-1}}\cdots a_{i-1}}_{n\text{个}a_{i-1}}</math>.

举例：

<math>E5\#^22\#^33</math>

<math>=E5\#^22\#^22\#^22</math>

<math>=E5\#^22\#^22\#2</math>

<math>=E5\#^22\#^2(E5\#^22\#^22\#1)</math>

<math>=E5\#^22\#^2(E5\#^22\#^22)</math>

=……

它的极限 [[FGH]] [[增长率]]是 <math>\omega^\omega</math>。

=== 级联 E 记号 ===
以上讨论暗示着我们可以引入一个超越一切 <math>En\#^mn</math> 的记号。实际我们选取的是如下记号：<math>Ea\#^\#n=Ea\#^nn</math>。这一做法实际上是收到了 FGH 中 ω 的启发。

一般的，我们允许级联 E 记号中出现形如 <math>\#^{X_1}\times\#^{X_2}\times\cdots\#^{X_{n-1}}\times\#^{X_n}</math> 的超分隔符，其中的 <math>X_n</math> 为正整数，或者为一个合法的超分隔符，可以类比[[康托范式]]。级联 E 记号的合法表达式为 <math>E[a]a_1\&_1a_2\&_2\cdots a_n\&_n</math>，其中 <math>a_i</math> 是正整数，<math>\&_i</math> 是合法的超分隔符。下面我们给出级联 E 记号的递归定义：

令 <math>\&_k</math> 为第 k 个超分隔符，以及 <math>L(\&_k)</math> 为第 k 个超分隔符最右端的 <math>\#^n</math>，% 为合法表达式。

# <math>E[a]b=a^b</math>
# 如果 <math>L(\&_{n-1})\neq \#^n</math>，则 <math>E[a]b\%X\#^{X\#^n}\%c=E[a]b\%X\#^{(X\#^{n-1})^b}\%b</math>
# <math>E\%a\#^n1=E\%a</math>
# 如果 <math>L(\&_{n-1})= \#^n</math> 且 <math>\&_k \neq \#</math>，则 <math>E\%aX\#^nb=E\%aX\#^{n-1}aX\#^n(b-1)</math>
# <math>E\%a\#b=E\%(E\%a\#(b-1))</math>

我们有如下的展开示例：

<math>E10\#^\#3=E\#\#\#3</math>

<math>E10\#^\#10\#^\#3=E10\#^\#10\#\#\#10</math>

<math>E10\#^{\#^\#}16=E10\#^{\#^{16}}10</math>

等等。级联 E 记号的极限 <math>Ea\underbrace{\#^{\#^{\#^{\cdots}}}}_{n\text{个}\#}n</math> 的 FGH 增长率是<math>\varepsilon_0</math>。

== 参考资料 ==
<references />{{默认排序:大数记号}}
[[分类:记号]]