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Taranovsky 序数记号 (Taranovsky’s ordinal notation, TON) 是 Taranovsky 提出的一系列记号的总称。

无反射配置的情况下，TON 具有如下的版本：

* 反射度：Degrees of Reflection (DR)。
* 包含通过的自下而上：Built-from-below with Passthrough (BP)。
* 包含通过的反射度：Degrees of Reflection with Passthrough (DRP)。
* 主要序数体系：Main Ordinal Notation System (M)。
* 主要序数体系（通过扩展）：Main ordinal notation system (Passthrough extension)(MP)。
* ''n'' 自下而上迭代（无 4b 版本）：Iteration of ''n''-built from below (variation without 4b)(I)。
* ''n'' 自下而上迭代：Iteration of ''n''-built from below (IBP)。
* ''n'' 自下而上迭代（通过扩展）：Iteration of ''n''-built from below (Passthrough extension)(IP)。

有反射配置的情况下，TON 具有如下的版本：

* 反射配置版反射度：Reflection configuration version of Degrees of Reflection (DRC)。
* 反射配置版包含通过的反射度：Reflection configuration version of Degrees of Reflection with Passthrough (DRPC)。
* 反射配置版主要序数记号体系：Reflection configuration version of Main Ordinal Notation System (MC)。
* 反射配置版主要序数记号体系（通过扩展）：Reflection configuration version of Main ordinal notation system (Passthrough extension) (MPC)。

=== 共同定义 ===
大多数记号都是使用两个常数和一个函数构建的。常数包括 <math>0</math> ，以及 <math>\Omega</math> 或 <math>\Omega_n</math> 之一（其

中 ''n'' 是系统内的给定自然数）。函数通常用 ''C'' 表示，是二元的。

# <math>0</math> 或 和 <math>\Omega</math> （或 <math>\Omega_n</math>  ）是项。
# 如果 a 和 ''b'' 是项，则C(a,b)是项。


项可以用“''>''”、“''<''”或“=”进行比较和连接。

首先，以后缀形式写出项，即删除所有“(”、“)”和“'',''”，然后反转字符串。其次，按

字典序比较后缀形式，其中<math>C</math> < <math>0</math>  <  <math>\Omega</math> （或  <math>\Omega_n</math>  为最大单个字母）。


在体系之中，只有一部分项是标准的。

常数是标准的。

如果以下 3 项全部为真，则  是标准的。

# a 和 b 都是标准的。
# 如果 b = C(c, d)，则 a ≤ c。
# 此条件在各个不同的体系之间有所不同，通常称之为“自下而上条件”。


要检查“自下而上条件”，我们需要检查 a 的语法树。在定义中：

# 量词不是在项上，而是在 a 内的位置上，因此不同位置的相同项会得到不同的处理。
# <math>x \sqsubseteq y</math> 表示 x 是 y 的子项（也是 <math>x \sqsupseteq y</math> ）。使用位置索引（例如，<math>C(C(C(C(C(\Omega, 0), C(\Omega, \Omega)), 0), 0)</math>中的三个 0 位于位置 (1, 1, 1, 2),(1, 2) 和 (2)），y 的位置索引是 x 的位置索引的初始子串。
# x <math>x \sqsubset y</math>  y 表示 x 是 y 的真子项（也是 y <math>x \sqsupset y</math>  x ）。即<math>x\subseteq y \wedge x \neq y</math>。


一个标准项表示一个序数，不同的标准项表示不同的序数。序数的序关系被定义为标准项的序关系。

因此，最小标准项 0 对应于最小序数 0 。大于 b<sub>1</sub>, b<sub>2</sub>, · · · 的标准项 a 对应于大于 b<sub>1</sub>, b<sub>2</sub>, · · ·对应的序数。

这些定义并不能确保良定义，因此需要证明。目前，只有一个体系被充分证明是良定义的。


Taranovsky 记号具有如下共同的性质：

1. <math>C(a,b)>b</math>。

2. <math>C(a,b)</math>在a和b上都是单调的，在a上是连续的。

3. <math>C(a,b)=b+\omega^{a}</math>当且仅当C(a,b)≥a。

第三个性质可以帮助我们进行标准项和 [[康托范式|Cantor 标准形式]] (CNF) 之间的转换。

由于 Ω是一个“大”序数，使得ω<sup>Ω</sup>= Ω，因此也可以在标准项和基数为 Ω 的 CNF 之间进行转换。

自下而上的条件是不同系统的不同之处。它由 3 个不同的概念组合而成：自下而上方法、通过和反射配置。自下而上方法最先引入，然后是通过，最后是反射配置。因此，这三个概念构成了 TON 的三代。