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'''滤子'''是一类常见的集合论对象，在多个非集合论强相关的数学领域也多有应用（但也可能是它的对偶，即[[理想]]）。

== 定义 ==

我们称对于一个集合<math>S</math>而言，作为<math>P(S)</math>子集的<math>F</math>是<math>S</math>上的一个'''滤子'''，当且仅当：

# <math>\emptyset \notin F</math>且<math>S \in F</math>
# 如果<math>A \in F</math>且<math>A</math>是<math>B</math>的子集，那么<math>B \in F</math>
# 如果<math>A</math>，<math>B \in F</math>，则<math>A \cap B \in F</math>

这就是滤子的所有要求。

== 类型 ==

对于一个<math>S</math>上滤子<math>F</math>，如果存在一个<math>S</math>的非空子集<math>C</math>使得任意<math>X \in F</math>而言，<math>C</math>是<math>X</math>的子集，那么我们称<math>F</math>是一个'''主滤子'''。反之，则称其是一个'''非主滤子'''。

下面我们举出一个经典非主滤子的例子：

frechet滤子(余有限滤子)：
对于一个无穷集合<math>S</math>,集合<math>F=\{X\text{是}S\text{的子集}:S-X\text{是有限集}\}</math>是<math>S</math>上的一个'''frechet滤子'''，并且它是非主的。

一个滤子<math>F</math>被称为'''超滤'''，当且仅当对于任意<math>S</math>的子集<math>X</math>而言，要么<math>X \in F</math>,要么<math>S-X \in F</math>.

同时，一个滤子<math>F</math>是'''极大的'''，当且仅当不存在<math>S</math>上滤子<math>F_1</math>使得<math>F</math>是<math>F_1</math>的子集。

可以证明，极大滤子和超滤是等价的。

== 性质 ==

由此，我们有了以下的引理：

'''引理1 (tarski)'''：任何一个滤子都能被扩张为一个超滤。

证明：我们考虑一个集合<math>S</math>上包含起始滤子<math>F</math>的全体滤子构成的[[良序#偏序集|偏序集]]<math>A</math>，使得子集关系成为其上的偏序。现在，考虑任何一条滤子之间构成的子集链<math>\langle F_n : n \in \text{ord} \rangle</math>

我们可以验证，任何一个滤子之间构成的子集链的并也是一个滤子，那么它应该也是<math>A</math>的元素。那么，这也就是在说，任何<math>A</math>上这个子集偏序的链都有上界。由zorn引理，<math>A</math>存在极大元<math>U</math>，那么它应该是一个极大滤子，则它是一个超滤，得证。
[[分类:集合论相关]]